Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 2: Giới hạn hàm số

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Bài 2: Giới hạn hàm số

1. Bài 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ •Chương 4. GIỚI HẠN Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I. Giới hạn hàm số 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, xn K \{x0} và xn x0 , ta có f (xn ) L . Ta kí hiệu: lim f (x) L hay f (x) L khi x x0 . x x0 Các giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c x x0 x x0 b) Giới hạn vô cực + Ta nói hàm số y f (x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn ) thỏa xn x0 thì f (xn ) . Kí hiệu lim f (x) . x x0 + Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực + Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi hoặc . 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực + Ta nói hàm số y f (x) xác định trên a; có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (xn ) thỏa xn a và xn thì f (xn ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . x + Ta nói hàm số y f (x) xác định trên ( ;b) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (xn ) thỏa xn b và xn thì f (xn ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . x Các giới hạn đặc biệt: c + lim c c ; lim 0 với c là hằng số x x x + lim xk với k nguyên dương; lim xk với k lẻ, lim xk với k chẵn x x x 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: a. Nếu lim f (x) L, lim g(x) M thì x x0 x x0 lim  f (x) g(x) L M ; x x0 lim  f (x).g(x) L.M ; x x0 f (x) L lim (M 0) x x0 g(x) M b. Nếu f (x) 0, lim f (x) L thì lim f (x) L x x0 x x0 c. lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x x x x x 0 0 0 Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực. Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số f (x), g(x),h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0 ). Nếu g(x) f (x) h(x) x K và lim g(x) lim h(x) L thì lim f (x) L . x x0 x x0 x x0 Các giới hạn đặc biệt + lim x2k ; lim x2k 1 ( ) x x (x ) (x ) k + lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) . x x0 x x0 f (x) 4. Giới hạn vô cực a) Quy tắc 1. Cho lim f (x) ; lim g(x) L 0. Ta có: x x0 x x0 lim f (x) Dấu của L lim f (x).g(x) x x   0 x x0  b) Quy tắc 2. Cho lim f (x) L; lim g x 0; L 0 . Ta có: x x0 x x0 Dấu của L Dấu của g x f (x) lim x x0 g(x) +  II. Giới hạn một bên 1. Giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa 1 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0 ;b , x0 R . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số bất kì xn những số thuộc khoảng x0 ;b mà lim xn x0 ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi x x . 0 x x0 b) Định nghĩa 2 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; x0 , x0 R . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy bất kì xn những số thuộc khoảng a; x0 mà lim xn x0 ta đều có lim f xn L Khi đó ta viết lim f x L hoặc f x L khi x x . 0 x x0 Chú ý: 1. lim f x L lim f x lim f x L . x x0 x x0 x x0 2. Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x x0 bởi x x0 hoặc x x0 . 2. Giới hạn vô cực + Các định nghĩa lim f x , lim f x , lim f x và lim f x được phát biểu x x0 x x0 x x0 x x0 tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2. + Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi hoặc . Trang 2
3. PHẦN 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Dạng 1. Giới hạn tại 1 điểm a. Giới hạn hữu hạn Giả sử a;b là một khoảng chứa điểm x0 và f ' là một hàm số xác định trên tập hợp a;b \{x0}. Ta nói rằng hàm số f ' có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 ( hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong tập hợp a;b \{x0}, mà Lim xn x0 ta đều có Lim f xn L . Khi đó ta viết Lim f x L hoặc f x khi x x0 x x0 Nhận xét: f x c .Nếu thì Lim f x c x x0 .Nếu f x x thì Lim f x x0 x x0 b. Giới hạn vô cực Giả sử a;b là một khoảng chứ điểm x0 và f ' là một hàm số xác định trên tập hợp a;b \ x0 . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực khi x dần tới x0 ( hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong tập hợp a;b \ x0 mà Lim xn x0 ta đều có Lim f xn L Khi đó ta viết: Lim f x hoặc f x L khi Lim 3x2 7x 11 x x0 x 2 II. Định lý về giới hạn Định lý 1. Cho Lim f x L , Lim g x M x x0 x x0 Ta có: Lim f x g x L M . x x0 Lim f x .g x L.M . x x0 Lim c. f x c.L . x x0 f x L Lim x x0 g x M . với M 0 . Định lý 2. Nếu Lim f x L thì Lim f x L ; Lim 3 f x 3 L ; Lim f x L với L 0 . x x0 x x0 x x0 x x0 Bài tập tự luận Câu 1. Tính giới hạn 3x 1 2 3x 1 x x2 x3 a. Lim b. Lim x 2 x 1 x 0 1 x 3x2 1 x c. Lim x 1 x 1 5x 1 x2 x 1 d. Lim e. Lim x 1 2x 7 x 2 x 1 Trang 3
4. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ x 8 3 f. Lim x 1 x 2 Lời giải 3x 1 2 3x a. Lim 40 x 2 x 1 1 x x2 x3 b. Lim 1 x 0 1 x 3x2 1 x 3 c. Lim x 1 x 1 2 5x 1 5 1 2 d. Lim x 1 2x 7 2 7 3 x2 x 1 4 2 1 e. Lim 3 x 2 x 1 2 1 x 8 3 1 8 3 f. Lim 0 x 1 x 2 1 2 Câu 2. Tính giới hạn x 1 2 x 2x2 x 1 a. Lim b. Lim x 3 x 1 x 1 x 1 Lời giải x 1 2 x 3 1 2 3 5 a. Lim x 3 x 1 3 1 2 2x2 x 1 2 1 1 2 b. Lim x 1 x 1 1 1 2 Câu 3. Tính giới hạn x4 16 x2 3x 4 a. Lim b. Lim x 2 x3 2x2 x 4 x2 4x x3 1 c. Lim x 1 x x 5 6 x2 2x 15 x x2 xn n d. Lim e. Lim x 5 x 5 x 1 x 1 Lời giải 2 2 2 x4 16 x 4 x 4 x 2 x 4 a. Lim Lim Lim 8 x 2 x3 2x2 x 2 x2 x 2 x 2 x2 x2 3x 4 x 1 x 4 x 1 5 b. Lim Lim Lim x 4 x2 4x x 4 x x 4 x 4 x 4 2 x3 1 x 1 x x 1 x2 x 1 3 c. Lim Lim Lim x 1 x x 5 6 x 1 x 1 x 6 x 1 x 6 7 Trang 4
5. x2 2x 15 x 5 x 3 d. Lim Lim Lim x 3 8 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x x2 xn n x 1 x2 1 xn 1 e. Lim Lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 n x 1 x 1 n 1 n 2 Lim 1 Lim 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 n Lim 1 1 x x xn 2 xn 2 xn 1 n n 1 n 2 1 n 1 x 1    n n 1 2 2 Câu 4. Tính giới hạn 4 x 2 3 x 7 2 a. Lim b. Lim x 0 4x x 1 x 1 Lời giải a. 4 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 4 1 1 Lim Lim Lim Lim x 0 4x x 0 4x. 4 x 2 x 0 4x. 4 x 2 x 0 4. 4 x 2 16 3 x 7 2 3 x 7 2 2 3 x 7 4 3 x 7 2 b. Lim Lim x 1 x 1 x 1 x 1 . 3 x 7 2 2 3 x 7 4 x 7 23 1 1 Lim Lim x 1 x 1 . 3 x 7 2 2 3 x 7 4 x 1 3 x 7 2 2 3 x 7 4 12 Câu 5. Tính giới hạn 2x 5 3 x3 3x 2 a. Lim b. Lim x 2 x 2 2 x 1 x 1 Lời giải 2x 5 3 2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 a. Lim Lim x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2 4 Lim Lim x 2 x 2 4 2x 5 3 x 2 2x 5 3 3 3 x3 3x 2 x 1 3x 2 1 x3 1 3x 2 1 b. Lim Lim Lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 3x 2 1 2 3 3 3 Lim x x 1 Lim x x 1 3 x 1 x 1 3x 2 1 x 1 3x 2 1 2 2 Câu 6. Tính giới hạn Trang 5
6. 4 x 2 1 3 x 7 x 3 a. Lim b. Lim x 1 3 x 2 1 x 1 x 1 Lời giải a. Đặt t 12 x 2 x t12 2 khi đó x 1 thì t 1. Do đó: 2 4 x 2 1 t3 1 t 1 t t 1 t 2 t 1 3 Lim Lim Lim Lim x 1 3 x 2 1 x 1 t 4 1 x 1 t 1 t 1 t 2 1 x 1 t 1 t 2 1 4 3 3 x 7 x 3 x 7 2 x 3 2 3 x 7 2 x 3 2 b. Lim Lim Lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 7 23 1 Lim x 1 2 x 1 3 x 7 2 3 x 7 4 x 3 2 1 1 1 1 1 Lim x 1 3 2 3 x 3 2 12 4 6 x 7 2 x 7 4 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 6