›
›
›

Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 8: Phương trình

doc 142 trang hoaithuong97 7570
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 8: Phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_on_tap_mon_toan_8_chuyen_de_8_phuong_trinh.doc

Nội dung text: Bài ôn tập môn Toán 8 - Chuyên đề 8: Phương trình

  1. Hiệu quãng đường đi được của ô tô và xe đạp: 60. x 2 15x Theo đề Câu ta có phương trình: 45 x 1 60 x 2 60 x 2 15x Giải phương trình tìm được x 3,25 giờ 3 giờ 15 phút Vậy lúc 8 giờ 15 phút thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy. Bài 63: Giải phương trình 1 2x2 5 4 a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Lời giải a) 2 3x 4 2 0 3x 4 1(khẳng định sai vì 3x 4 0x ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1 2x2 5 4 b) ĐKXĐ: x 1 x 1 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 x3 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 3x2 3x 0 3x x 1 0 x 0 (tm) x 1 (ktm) Vậy S 0 Bài 64: Giải các phương trình sau: 2 a) 6x 8 6x 6 6x 7 72 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải a) Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t2 72 t2 1 t2 72 2 2 x 4 2 t 8(ktm) t 3 3 t t 72 0 t2 9(tm) t 3 5 x 3 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  2. 2 5 Vậy x ;  3 3  x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; b) x2 13x 42 x 6 x 7 DKXD : x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18(x 4) x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13(tm) x 2(tm) Bài 65: Giải các phương trình sau: x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 b) x4 2x2 400x 9999 Lời giải x 7 x 6 x 5 x 2025 a) 0 2003 2004 2005 5 x 7 x 6 x 5 x 2005 1 1 3 0 2003 2004 2005 5 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2003 2004 2005 5 1 1 1 1 x 2010 0 2003 2004 2005 5 x 2010 0 x 2010 b) x4 2x2 400x 9999 x4 2x2 1 4x2 400x 10000 (thêm 4x2 1 vào 2 vế) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  3. 2 2 x2 1 2x 100 x2 1 2x 100 x2 1 2x 100 0 VN x2 2x 101 0 2 x 9 x 2x 99 0 x 11 Vậy S 11; 9 Bài 66: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 Ta có: 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 x 258 17 19 21 23 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 67: Tìm biết: x 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 Lời giải 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 2 a 1 a 1 a a 19 a2 a 1 19 2 a 1 a 1 a a2 49 3a 49 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  4. 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2a 1 42 0 2a 3 2a 5 0 2 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 Bài 68: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một 2 ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu 3 sẽ xong công việc Lời giải Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc x 0 . 1 Một ngày người thứ nhất làm được (công việc) x 2 Một ngày người thứ hai làm được (công việc) 3x 1 2 Một ngày hai người làm chung được (công việc) x 3x 1 2 1 Theo Câu ta có phương trình x 20 x 3x 12 Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày Người thứ hai làm xong trong 30 ngày. Bài 69: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Tìm x biết 34x 19 rằng: 2x 1 11 Lời giải 34x 19 34x 19 2x 1 0 2x 1 1vả 2x 1 ¢ 11 11 4 1 1 3 0 12x 8 11 8 12x 3 2x 2x 1 3 2 3 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  5. 1 2x 1 0 x Do 2x 1 ¢ 2 2x 1 1 x 0 Bài 70: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Lời giải a) x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 x 1 4 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 y 1 2 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 c) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  6. x 2 2 2 x 8 2 8 x 4 2 4 x 6 2 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 2 Bài 71: Giải phương trình: 3x 2 x 1 3x 8 16 Lời giải 2 2 Ta có: 3x 2 x 1 3x 8 16 3x 2 3x 3 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5;3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Bài 72: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  7. X 2 X 12 0 X 2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 Bài 73: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ , x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 2 2 2 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 1 x 1 x(x 1) 1 2 3 x 1 2 2 Lập được phương trình x 10 (tm) x(x 1) 2 x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 74: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 b) 2x 3 x 2 2 2x 5 3 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  8. x 43 x 46 x 49 x 52 a) pt 1 1 1 1 57 54 51 48 x 100 x 100 x 100 x 100 0 57 54 51 48 1 1 1 1 x 100 0 x 100 57 54 51 48 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 2x 3 2x 5 x 2 2 3 4x2 16x 15 x2 4x 4 3(2) Đặt y x2 4x 4 4x2 16x 16 4y 1 y 1 Khi đó 2 y 4y 1 3 0 y 1 4y 3 0 4y 3 0 2 x 1 y 1 x 4x 4 1 x 3 4y 3 4x2 16x 16 3 0(VN) Vậy S 1; 3 Bài 75. a) Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km. Khi đi tới vị trí C cách vị trí A 39km thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa chữa mất 15 phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so với vận tốc đi từ A tới C là 3km / h. Tổng thời 11 gian xe đi từ A đến B hết giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc 6 mấy giờ ? b) Giải phương trình x2 2x 2 x2 8x 20 x2 4x 6 x2 6x 12 x 1 x 4 x 2 x 3 Lời giải a) Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ A đến C là x km / h; x 3 thì vận tốc của xe buýt khi đi từ C đến B là x 3 km / h Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  9. 39 Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường AC là (h),thời gian để xe buýt đi hết quãng đường x 21 1 CB là h . Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút (h) x 3 4 39 21 1 11 Theo bài ta có phương trình: x x 3 4 6 x 39(tm) Giải ra được 36 x (ktm) 19 Vậy khi đi từ Atới C xe buýt đi với vận tốc 39km / h , suy ra thời gian để xe buýt đo đi hết quãng đường AC là : 39:39 1(giờ) Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng. b) Giải phương trình x2 2x 2 x2 8x 20 x2 4x 6 x2 6x 12 x 1; 2; 3; 4 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 2 1 x 4 2 4 x 2 2 2 x 3 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 1 4 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 1 4 2 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 4 4x 4 2x 6 3x 6 x2 5x 4 x2 5x 6 5x 8 x2 5x 6 5x 12 x2 5x 4 5x3 33x2 70x 48 5x3 37x2 80x 48 4x2 10x 0 x 0(tm) 5 x (tm) 2 Bài 76. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  10. x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 * 2 2 1 3 Vì x x 1 x 0x 2 4 x 5 * x 5 x 6 0 x 6 Bài 77. Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 78. Giải các phương trình sau: 1) x2 3x 2 x 1 0 9x x 2) 8 2x2 x 3 2x2 x 3 Lời giải 1. * Với x 1 * ta có phương trình Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  11. 2 x2 3x 2 x 1 0 x2 2x 1 0 x 1 0 x 1 (Thỏa *) *Với x 1 ta có phương trình x2 3x 2 1 x 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 + x 1 0 x 1 (không thỏa mãn điều kiện ) x 3 0 x 3 ( không thỏa mãn điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình là x 1 2. Xét x 0 không phải là nghiệm Xét x 0 9x x 8 2x2 x 3 2x2 x 3 9 1 8 3 3 2x 1 2x 1 x x 3 Đặt 2x t, ta có phương trình: x 9 1 8 t 1 t 1 2 1 PT 8t 2 8t 2 0 2 2t 1 0 t 2 3 1 2x x 2 4x2 x 6 0 2 1 95 2x 0 4 16 Suy ra phương trình vô nghiệm. 2x 3 2x 5 6x2 9x 9 Bài 79:Giải phương trình : 1 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 Lời giải 1 7 a) ĐK: x ; x 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  12. 2x 3 2x 7 2x 5 2x 1 2x 7 2x 1 6x2 9x 9 2x 1 2x 7 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 4x2 20x 21 4x2 12x 5 4x2 16x 7 6x2 9x 9 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 8x 16 2x2 7x 16 2x 7 2x 1 2x 7 8x 16 2x2 7x 16 2x2 x 0 x 2x 1 0 x 0 (tm) 1 x (ktm) 2 Vậy phương trình có một nghiệm x 0 Bài 80: Giải phương trình: 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Lời giải 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Nhân cả 2 vế với 6 ta được: 2 2 2 3. x 2 1.2. 3 0 2.3. 4 1 2006.2007. 2008 2005 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 1 1 1 1 1 3. x 1.2 2.3 2.3 3.4 2006.2007 2. 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1 1 1003.1004.669 3. x 2.2006.2007.2008 x 1.2 2006.2007 5.100.651 Bài 81: Giải các phương trình sau: x 2008 4 x 2010 4 2 a) b) x 1 2 x 2 3 x 3 4 Lời giải 4 4 a) x 2008 x 2010 2 (I) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  13. Đặt y x 2009 ta có: I y 1 4 y 1 4 2 2y4 12y2 0 2y2 y2 6 0 y 0 x 2009 0 x 2009 b)x 1 2 x 2 3 x 3 4 (II) +Nếu x 1 ta có II 2x 6 4 x 1 (ktm) +Nếu 1 x 2 ta có: II 0.x 4 4 , Phương trình nghiệm đúng với 1 x 2 +Nếu 2 x 3 ta có: II 4x 8 x 2(thỏa mãn) +Nếu 3 x ta có: II 2x 10 x 5(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình II là x 5 hoặc 1 x 2 . k(x 1) Bài 82. Tìm k để phương trình sau có nghiệm dương: k 1 2x 1 Lời giải Ta có phương trình tương đương: 2k 1 k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 x k 2 Vậy x 0 thì k phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: *) k(x 1) (k 1)(2x 1) kx k 2xk k 2x 1 2k 1 x và k 2 0 hoặc 2k 1 0 và k 2 0 k 2 1 *)k 0 (vì x ) 2 1 Vậy x 0 k 2 hoặc k và k 0 2 Bài 83. Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – sạch – đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét ? Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  14. Gọi x(m) là chiều dài đoạn đường cả khối 8 là vệ sinh (x 0 ) Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x 9 Sau khi lớp 8 /1nhận, đoạn đường còn lại: x 0,1x 9 0,9x 9 Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9x 9 20 0,09x 17,1 Ta có phương trình : 0,1x 9 0,09x 17,1 Giải ra : x 810 (thích hợp) Khối 8 có 9 lớp Bài 84. Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: 1 Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, 11 1 bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối 11 1 cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Lời giải Gọi số kẹo phân đội được tặng là x (cái) ; x ¥ * 1 x 10 Số kẹo bạn thứ nhất nhận: 1 (x 1) (cái) 11 11 11 x 10 10x 10 Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận x (cái) 11 11 11 11 1 10x 10 10x 210 Số kẹo bạn thứ hai nhận : 2 . 2 (cái) 11 11 11 121 121 Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình: x 10 10x 210 11x 10x 210 110 x 100 11 11 121 121 121 121 121 121 100 10 Số kẹo mỗi đội viên nhận là: 10 11 11 Số đội viên là : 100:10 10(bạn) Bài 85. Giải các phương trình sau: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  15. a)2x4 x3 22x2 15x 36 0 x 2 x 42 x 121 b) 3 2009 1969 1890 Lời giải PT x 3 2x3 7x2 x 12 0 a) x 3 x 4 2x2 x 3 0 Do 2x2 x 3 0 với mọi x nên phương trình có tập nghiệm S 3; 4 x 2 x 42 x 121 b) PT 1 1 1 0 2009 1969 1890 x 2011 x 2011 x 2011 0 2009 1969 1890 x 2011 0 x 2011 Bài 86 x 5x Giải phương trình: 2 x2 4x 4 x2 4 Lời giải Điều kiện x 2 x 5x Với x 0 không phải là nghiệm của phương trình : 2 x2 4x 4 x2 4 x 5x Với x 0phương trình 2 trở thành: x2 4x 4 x2 4 1 5 4 2 * . Đặt y x 2 phương trình * trở thành: 4 4 x 4 x x x x 1 5 2 y 2 y 2 Điều kiện : y 2 2 y 0 Phương trình trở thành: y 3y 0 y y 3 0 y 3 4 2 Với y 0 thì x 2 0 x2 2x 4 0 x 1 3 0 VN x Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  16. Với y 3 thì 4 2 x 1 x 2 3 x 5x 4 0 x 1 x 4 0 (TMDK) x x 4 Vậy tập nghiệm phương trình là S 1; 4 Bài 87 2 2 a) Tìm x, biết: 4 x 1 2x 1 8 x 1 x 1 11 x y y z b) Tìm x, y, z biết: ; và x y z 195 3 2 5 7 Lời giải a) 4 x 1 2 2x 1 2 8 x 1 x 1 11 4 x2 2x 1 4x2 4x 1 8 x2 1 11 4x2 8x 4 4x2 4x 1 8x2 8 11 4x 13 11 4x 2 x 0,5 b) x y x y y z y z ; 3 2 15 10 5 7 10 14 x y z Do đó: và x y z 195 15 10 14 x y z x y z 195 5 15 10 14 15 10 14 39 Vậy x 5.15 75; y 5.10 50; z 5.14 70 Bài 88: a) Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 2x 10 y2 Lời giải a) Phân tích được x 1 x3 x2 2x 8 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  17. x 1 x 2 x2 x 4 0 (1) 2 x 1 0 x 1 Vì x x 4 0 1 x 2 0 x 2 x2 2x 10 y2 x 1 2 y2 11 b) Ta có: x 1 y x 1 y 11 (2) Vì x, y ¥ nên x 1 y x 1 y 0 (2) viết thành: x 1 y x 1 y 11.1 x 1 y 11 x 5 x 1 y 1 y 5 Vậy x; y 5;5 x2 3x 7 3x 2 Bài 89: Giải phương trình sau: x2 5x 6 x 15 Lời giải a) ĐKXĐ: x 15; x 1; x 6 2 x2 3x 7 3x 2 x2 3x 7 3x 2 x2 6x 9 x 3 2 2 2 2 x 5x 6 x 15 x 5x 6 x 15 x 6x 9 x 3 Thay x 3 vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình Với x 3 ta có: 2 x2 3x 7 3x 2 x 3 13 2 2 1 3x 2 x 15 x (tm) x 5x 6 x 15 x 3 2 13  Vậy S ; 3 2  Bài 90: 21 1. Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 2. Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi” Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ? Lời giải 1. Điều kiện xác định x ¡ , đặt t x2 4x 8 21 21 x2 4x 6 0 t 2 0 t 2 x2 4x 10 t 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  18. 21 t 2 t 2 0 21 t2 4 0 t2 25 t 5 x2 4x 8 5 x2 4x 3 0 giải ra x 1; x 3 x2 4x 8 5 x2 4x 13 0 vô nghiệm vì x2 4x 13 0 Vậy x 1; x 3 2. Gọi x là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là 66 (x nguyên dương) Ta có: x x 4 66 2x 62 x 31 Gọi y là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay (y nguyên dương) Tổng số tuổi hiện nay của hai người là 66 2y Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 10 2y Ta có phương trình: 3 10 2y 66 2y 30 6y 66 2y y 9 Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là 9 31 40 tuổi Tuổi của cha Bắc hiện nay là 9 35 44 tuổi Bài 91: Giải các phương trình sau: 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 x 9 x 10 9 10 b) 10 9 x 10 x 9 Lời giải 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 2 2x2 3x 1 3 2x2 3x 1 4 0(*) Đặt t 2x2 3x 1 2 t 1 Pt * t 3t 4 0 t 4 x 0 3 2 x 2x 3x 1 1 x 2x 3 0 2 2x2 3x 1 4 x 1 2x 5 0 x 1 5 x 2 3 5 Vậy S 1;0; ;  2 2  x 9 x 10 9 10 b) * 10 9 x 10 x 9 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  19. ĐKXĐ: x 9; x 10 * x x 19 19x 181 0 x 0 x 19 (TMDK) 181 x 19 181 Vậy S 0; 19;  19  Bài 92: Giải phương trình sau: 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 2 a2 4b2 4ab a 2b 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 93: x m x 3 1. Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2 x 3 x m 2 2. Giải phương trình: 2x 8x 1 . 4x 1 9 Lời giải 1) ĐKXĐ: x 3; x m ta có: x m x 3 2 x2 m2 x2 9 2 x 3 x m x 3 x m 2 2x2 m2 9 2 x2 3x 3m mx 2 m 3 x m 3 (1) Với m 3 thì 1 có dạng 0x 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa mãn điều kiện x 3 x m,do đó tập nghiệm của phương trình là x 3 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  20. 2 m 3 m 3 Với m 3 thì phương trình 1 có nghiệm x 2 m 3 2 Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có: m 3 m 3 m 3 3 và m tức là m 3. Vậy nếu m 3 thì x là nghiệm. 2 2 2 m 3 Kết luận : với m 3 thì S x / x 3.Với m 3 thì S  2  2 2) Ta có: 2x 8x 1 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 * Đặt 64x2 16x t ta có: t 9 * t t 1 72 0 t 8 2 Với t 9 ta có: 64x2 16x 9 64x2 16x 9 0 8x 1 8 0 2 (Vô nghiệm vì 8x 1 8 0) 1 x Với t 8 ta có 64x2 16x 8 64x2 16x 8 0 2 1 x 4 Bài 94: Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc 1 áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và số còn lại, rồi 9 1 đến lớp thứ n n 2; 3; 4 nhận được 4n áo và số áo còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số 9 áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo ? Lời giải Gọi số lớp của trường A được nhận áo là x Vì lớp thứ x nhận áo cuối cùng và số áo được phát hết nên số áo lớp thứ x nhận được là 4x . 1 Lớp thứ x 1nhận số áo là 4 x 1 .4x 4,5x 4 8 Vì số áo các lớp nhận được như nhau nên ta có phương trình: 4,5x 4 4x x 8 Suy ra số áo mỗi lớp nhận được: 4.8 32 (áo) Suy ra số áo trường A nhận được: 32.8 256 (áo) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  21. Bài 95: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Lời giải +Nếu x 2,phương trình đã cho trở thành : x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2 . x2 5 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2,phương trình đã cho trở thành: 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 2 4 Phương trình có một nghiệm x 5 Bài 96: a) Giải phương trình sau: x2 3x 2 x 1 0 b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3 x 2 8 x m 4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1 Lời giải a) x2 3x 2 x 1 0 1 2 + Nếu x 1: 1 x 1 0 x 1(TM) +Nếu x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1(ktm) x 3(ktm) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  22. m3 x 2 8 x m 4m2 m3 8 x 2m m2 2m 4 b)Ta có: m 2 m2 2m 4 x 2m m2 2m 4 2m x (Do m2 2m 4 0) m 2 2m Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì 1 2 m 2(TM) m 2 Vậy 2 m 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Bài 97: Tìm x,biết: 6 0 1000 999 998 997 996 995 Lời giải x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 x 1001 1000 999 998 997 996 995 2 Bài 98: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72 Lời giải Đặt 6x 7 t . Ta có: t 1 t 1 t2 72 t2 1 t2 72 t4 t2 72 0 2 2 x t 8 0(VN) t 3 3 t2 9 0 t 3 5 x 3 Bài 99: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 x 2 x 8 x 4 x 6 Lời giải a) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  23. x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 4 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 2 y 1 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 c) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 2 2 2 2 x 2 2 x 8 8 x 4 4 x 6 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 2 Bài 100: Giải phương trình: 3x 2 x 1 3x 8 16 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  24. 2 2 Ta có: 3x 2 x 1 3x 8 16 3x 2 3x 3 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5; 3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t2 t 5 144 t4 25t2 144 0 t2 9 t2 16 0 t2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Bài 101: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X2 X 12 0 X2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 Bài 102: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ ,x 0 , số lần dừng là x 1 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian đi: 2 2 2 2 x 1 1 x 1 x(x 1) Thời gian dừng: 1 2 3 x 1 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  25. x 10 (tm) x(x 1) 2 Lập được phương trình: x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 103: Giải phương trình x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 Lời giải x 43 x 46 x 49 x 52 a)pt 1 1 1 1 57 54 51 48 x 100 x 100 x 100 x 100 0 57 54 51 48 1 1 1 1 x 100 0 x 100 57 54 51 48 2 b) 2x 3 x 2 2x 5 3 2 2x 3 2x 5 x 2 3 4x2 16x 15 x2 4x 4 3(2) Đặt y x2 4x 4 4x2 16x 16 4y 1 y 1 Khi đó 2 y 4y 1 3 0 y 1 4y 3 0 4y 3 0 2 x 1 +) y 1 x 4x 4 1 x 3 +) 4y 3 4x2 16x 16 3 0(VN) Vậy S 1; 3 Bài 104: Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Lời giải Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5;3x 8 t 5 Ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 5 2 8 Xét các trường hợp ta tìm được x 0; x 2; x ; x 3 3 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  26. Bài 105: Giải phương trình: x3 6x x 30 0 Lời giải Ta có: x3 6x2 x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 3 0 x 3 x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 Bài 106: Tìm m sao cho phương trình ẩn x : m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 1 Lời giải m 1 phương trình đã cho trở thành 1=0 (vô lý) nên phương trình vô nghiệm, loại 3m 2 m 1phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x m 1 3m 2 4m 3 3 x 1 1 0 m 1 m 1 m 1 4 3 Kết hợp điều kiện ta có m 1 thì m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 1 4 9x2 Bài 107: Giải phương trình x2 40 x 3 2 Lời giải ĐKXĐ: x 3 2 2 2 2 2 2 9x 3x 6x x 6x x 2 40 x 40 40 0 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x2 10 x2 x2 x 3 10 . 4 0 x 3 x 3 x2 4 x 3 x 5 2 5(VN) x2 10x 30 0 2 2 x 6(tm) x 4x 12 0 x 2 16 x 2(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 2;6 Bài 108: Giải các phương trình sau: 2 2 2 101 x 100 x x 99 2 a) 1 b) 4x 7 2x 5 x 1 1 2015 2016 2017 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  27. a) 101 x2 100 x2 x2 99 1 2015 2016 2017 101 x2 100 x2 x2 99 1 1 1 2015 2016 2017 2116 x2 2116 x2 2116 x2 2015 2016 2017 2 1 1 1 2116 x 0 2015 2016 2017 2116 x2 0 x 46 b) 4x 7 2 2x 5 x 1 1 16x2 56x 49 2x2 7x 5 1 Đặt 2x2 7x 5 a thì 16x2 56x 49 8a 9 Ta có phương trình: a 8a 9 1 8a2 9a 1 0 1 a 1 8a 1 0 a 1hoặc a 8 x 2 2 2 )2x 7x 5 1 2x 7x 6 0 (x 2)(2x 3) 0 3 x 2 1 2 8 7 )2x2 7x 5 16x2 56x 41 0 4x 7 8 s 8 4 3 8 7  Vậy S 2; ;  2 4  x 2 1 2 Bài 109: Giải phương trình sau: x 2 x x(x 2) Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 2 x 2 1 2 x 2 x x(x 2) x(x 2) (x 2) 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x2 x 0 x(x 1) 0 x = 0 (loại) hoặc x = - 1(nhận) Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 Bài 110: Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 Lời giải +Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành : Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  28. x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 0 x2. x2 5 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5(ktm) +)Nếu x 2, phương trình đã cho trở thành: 2 x x 1 x 1 x 2 4 x 2 x 1 x 1 x 2 4 x2 1 x2 4 4 x4 5x2 8 0 2 2 5 7 x 0 vô nghiệm 2 4 Phương trình có một nghiệm x 5 2x m x 1 Bài 111: Cho phương trình 3 . Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm dương. x 2 x 2 Lời giải ĐKXĐ: x 2 2x m x 1 3 x 2 x 2 2x m x 2 x 1 x 2 3 x2 4 x 1 m 2m 14(*) Nếu m = 1 thì phương trình (*) có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 2m 14 Nếu m 1 phương trình (*) trở thành x 1 m Khi đó phương trình đã cho có nghiệm dương 2m 14 2 1 m 2m 14 m 4 2 1 m 1 m 7 2m 14 0 1 m Mà m nguyên. Vậy m 2;3;5;6 thì thỏa mãn đầu bài Bài 112: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  29. Lời giải 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nên 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 1 1 1 1 Bài 113: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x2 9x 20 x 4 x 5 ; x2 11x 30 x 6 x 5 ; x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 Bài 114: x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 a) Giải phương trình: 2010 2012 2011 2013 b) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2 x2 1 2y x 1 Lời giải a) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  30. x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 1 1 1 1 2010 2012 2011 2013 x 5 x 5 x 5 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 Do 0 2010 2012 2011 2013 b) y2 2 x2 1 2y x 1 y2 2y x 1 2 x2 1 0 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 y x 1 2 x 1 2 0 y x 1 0 x 1 x 1 0 y 2 Bài 115: Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 86 84 82 x 300 b) Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  31. 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 Từ đó tìm được x 13; x 2 Bài 116: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Lời giải Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số cua phân số cần tìm là x 1 . 1Phân số cần tìm là x x 11 x 11 x 7 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị ta được phân số: x 15 x 15 x x 15 Theo bài ta có phương trình: x 5 (thỏa mãn) x 11 x 7 5 Từ đó ta tìm được phân số 6 Bài 117: Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Lời giải 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0 * Do: x 1 2 0; y 3 2 0; z 1 2 0 Nên : * x 1; y 3; z 1 Vậy x, y, z 1;3; 1 1 1 1 1 Bài 118: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  32. x2 13x 42 x 6 x 7 TXĐ: x 4; 5; 6; 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 S 13;2 Bài 119: Giải các phương trình sau: a) x x 2 x2 2x 2 1 0 b) y2 4x 2y 2x 1 2 0 x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 c) x 2 x 8 x 4 x 6 Lời giải d) x x 2 x2 2x 2 1 0 x2 2x x2 2x 2 1 0 2 x2 2x 2 x2 2x 1 0 2 x2 2x 1 0 x 1 4 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1 e) y2 4x 2y 2x 1 2 0 2 y2 2y 1 2x 2.2x 1 0 y 1 2 2x 1 0 y 1 0 y 1 x 2 1 0 x 0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x; y 0; 1 f) x2 4x 6 x2 16x 72 x2 8x 20 x2 12x 42 (1) x 2 x 8 x 4 x 6 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  33. ĐKXĐ: x 2; x 4; x 6; x 8 x 2 2 2 x 8 2 8 x 4 2 4 x 6 2 6 1 x 2 x 8 x 4 x 6 2 8 4 6 x 2 x 8 x 4 x 6 x 2 x 8 x 4 x 6 2 4 6 8 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 8 4x 8 6x 48 8x 48 x 2 x 4 x 6 x 8 2x 2x x 2 x 4 x 6 x 8 x 0 x 0 x 0 (tm) x 2 x 4 x 6 x 8 8x 40 x 5 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 0; x 5 1 2x2 5 4 Bài 120: Giải phương trình a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Lời giải a) 2 3x 4 2 0 3x 4 1(khẳng định sai vì 3x 4 0x ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1 2x2 5 4 b) ĐKXĐ: x 1 x 1 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 x3 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 3x2 3x 0 3x x 1 0 x 0 (tm) x 1 (ktm) Vậy S 0 Bài 121: Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc trong một 2 ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, mỗi người làm trong bao lâu 3 sẽ xong công việc Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  34. Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc x 0 . 1 Một ngày người thứ nhất làm được (công việc) x 2 Một ngày người thứ hai làm được (công việc) 3x 1 2 Một ngày hai người làm chung được (công việc) x 3x 1 2 1 Theo bài ta có phương trình x 20 x 3x 12 Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày Người thứ hai làm xong trong 30 ngày. Bài 122: Giải phương trình sau: (2x2 + x – 2013)2 + 4.(x2 – 5x – 2012)2 = 4.(2x2 + x – 2013)(x2 – 5x – 2012) Lời giải Đặt Phương trình đã cho trở thành: a2 + 4b2 = 4ab  (a - 2b)2 = 0  a - 2b = 0  a = 2b Khi đó ta có: 2x2 + x – 2013 = 2.(x2 – 5x – 2012)  2x2 + x – 2013 = 2x2 – 10x – 4024  11x = -2011  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài 123: Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số): Lời giải ĐKXĐ : ta có: Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0. Nghiệm dúng với mọi x thỏa mãn điều kiện , do đó tập nghiệm của phương trình là . Với thì phương trình (1) có nghiệm Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  35. Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có: tức là . Vậy nếu thì là nghiệm Kết luận : + Với m = -3 thì + Với thì Bài 124: Giải phương trình: 2x(8x – 1)2(4x-1) = 9 Lời giải Ta có: 2x(8x -1)2(4x – 1) = 9  (64x2 – 16x + 1)(8x2 – 2x) = 9 (64x2 – 16x + 1)(64x2 – 16x) = 72 (*) Đặt : 64x2 – 16x = t ta có : (*) t(t + 1) – 72 = 0 - Với t = -9 ta có: 64x2 – 16x = -9  64x2 – 16x + 9 = 0  (8x – 1)2 + 8 = 0 Vô nghiệm v ì (8x – 1)2 + 8 > 0 -Với t = 8 ta có 64x2 – 16x = 8  64x2 -16x – 8 = 0 Bài 125: Giải phương trình sau: |x-2|(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 4 Lời giải + Nếu phương trình đã cho trở thành : (x -2)(x-1)(x+1)(x+2) = 4  (x2 -1)(x2-4) = 4  x4 – 5x2 = 0 x2(x2 – 5) = 0 +) Nếu x < 2 phương trình đã cho trở thành: (2 – x)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 4  (x – 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2) = -4 (x2 – 1)(x2 – 4) = -4  x4 – 5x2 + 8 = 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  36.  (Vô nghiệm) Bài 126: Phương trình có một nghiệm a) Giải phương trình sau: x2 – 3x + 2 + |x – 1| = 0 b) Xác định giá trị của m để phương trình: m3(x - 2) – 8(x + m) =4m2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1 Lời giải a) x2 – 3x + 2 + |x - 1| = 0 (1) + Nếu : (1)  (x – 1)2 = 0  x = 1 (thỏa mãn) + Nếu x 0) Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì Vậy thì phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó không lớn hơn 1. Bài 127: Tìm x biết: Lời giải Ta có: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  37. Vậy phương trình có nghiệm x = -1001. Bài 128: Giải phương trình (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72 Lời giải (6x + 8)(6x + 6)(6x + 7)2 = 72 Đặt 6x + 7 = t. Ta có: (t + 1)(t – 1)t2 = 72  (t2 – 1)t2 = 72  t4 – t2 – 72 = 0 Vậy phương trình có nghiệm Bài 129: Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 Lời giải: 2 2 Giải phương trình: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 2 2 Ta có: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 2 2 2x2 x 2016 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 4 x2 3x 1000 0 2 2 2 2 2 2 2x x 2016 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 2 x 3x 1000 0 2 2 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 0 7x 16 2 0 16 x . 7 Bài 130: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 1 1 c) x2 y2 4 x2 y2 Lời giải: Tìm x, y biết : Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  38. a) x2 2x y2 4y 5 0 x 1 2 y 2 2 0 x 1 và y 2 b) x 2y x2 2xy 4y2 0 và x 2y x2 2xy 4y2 16 Ta có: x 2y x2 2xy 4y2 0 x3 8y3 0 1 và x 2y x2 2xy 4y2 16 x3 8y3 16 2 Từ (1) và (2) suy ra 2x3 16 x 2 . Thay x 2 vào (1) suy ra y 1 . Vậy, x 2 và y 1 . 1 1 c) x2 y2 4 ( ĐK: x 0, y 0 ) x2 y2 2 2 1 1 x y 0 x y 1 1 x 0 và y 0 x y x 1 và y 1 Vậy, x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 Bài 131: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Lời giải: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Ta có: m2 x 1 x m m2 x x m 1 m2 1 x m 1 m 1 m 1 x m 1(*) + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 0 x R + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 2 x  1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 KL: + Nếu m 1 thì pt (*) có vô số nghiệm. + Nếu m 1 thì pt (*) vô nghiệm. 1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 Bài 132: Giải các phương trình: a) x 2 x 2 x2 10 72 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  39. 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 Lời giải: a) x 2 x 2 x2 10 72 x2 4 x2 10 72 2 2 x 7 3 x 7 3 72 x2 7 9 x 4 x2 7 92 x 4 2 x 7 9 x  Vậy, S 4;4 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 x 2 0 x 1 Điều kiện x 1 . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên x 2. x 2 0 x 1 2 x 2 x 2 (x 2)(x 1) x 2 Đặt y : . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: x 1 x 1 (x 2)(x 1) x 1 y 5 3y2 20y 25 0 5 . y 3 x 4 (x 2)(x 1) 2 *) Với y = 5, ta có: 5 2x 9x 4 0 1 . (x 2)(x 1) x 2 5 *) Với y ,ta có: 3 (x 2)(x 1) 5 x 6 34 x2 12x 2 0 . (x 2)(x 1) 3 x 6 34 Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 1 x 4, x , x 6 34, x 6 34 . 2 Bài 133: Giải phương trình: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  40. 2 x 1 x x b) 1 2017 2018 2019 Lời giải: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 1 1 1 99 98 97 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 1 1 1 96 95 94 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 99 98 97 96 95 94 2 1 1 1 1 1 1 x 99x 100 0 99 98 97 96 95 94 1 1 1 1 1 1 x2 99x 100 0 ( Vì 0 ) 99 98 97 96 95 94 x 1 x 1 x 100 0 x 100 2 x 1 x x 2 x 1 x x b) Ta có: 1 1 1 1 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2019 x 2019 x 2019 x 1 1 1 2019 x 0 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 1 1 2019 x 0 ( Vì 0 ) 2017 2018 2019 x 2019 Bài 134: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) b2 x2 x2 b2 1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Lời giải: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) ( ĐK: x b ) b2 x2 x2 b2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  41. 2 2 2 x b 1 a x 2 2 2 2 a x b x b x2 b2 1 a 2 1 a x 2 2 x b 1 a2 x 1 a ( Vì x2 b2 0 ) + Nếu a 1 , phương trình có vô số nghiệm x R, x b . + Nếu a 1 , phương trình vô nghiệm , S  . 1  + Nếu a 1 , phương trình có nghiệm duy nhất , S . 1 a  1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 ĐKXĐ: x 2000; 2001; ; 2010 1 1 1 10 Ta có:  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 1 1 1 1 10  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 10 x 2000 x 2010 11 10 10 x 2000 x 2010 11 x 2000 x 2010 11 x2 2011x 1999x 2011.1999 0 x 2011 x 1999 0 x 2011 ( Thỏa ĐKXĐ ) x 1999 Vậy, S 2011; 1999 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) ( ĐKXĐ: x 2009, x 2010 ) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Đặt a x 2010 khi đó a 0 , ta có pt viết theo ẩn a là: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a2 3a 1 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  42. 3 a 2 2 2 2 8a 8a 30 0 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a 2 3 3 4023 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 5 5 4015 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 4015 4023 Vậy, S ;  2 2  Bài 135: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  ; 2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 ; 41 43 45 47 49 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 1 1 1 1 1 e) . x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Lời giải: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2016 2 1  .x 1  1 1 1 2 3 2018 2 2016 2017 1 1 1 2018 2018 2018 2018  .x  2 3 2018 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 1  .x 2018  2 3 2018 2 3 2018 x 2018 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 2 2 2 2 2017  2.3 3.4 4.5 x x 1 2019 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  43. 1 1 1 1 1 1 2017 2. 2 3 4 5 x x 1 2019 1 1 2017 1 1 2017 1 1 2. x 2018 2 x 1 2019 x 1 2 2.2019 x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 41 43 45 47 49 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 1 1 1 1 1 0 41 43 45 47 49 1 1 1 1 1 x 100 0 41 43 45 47 49 x 100 (?) 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 n 1 n n 1 * Nhớ công thức: 1.2 2.3 3.4 n 1 .n ( HS suy nghĩ c/m) 3 98.99.100 Ta có: 1.2 2.3 3.4 98.99 323400 3 1.2 2.3 3.4  98.99 .x 2018 323400 323400 .x 2018 x 2018 323400 e) ĐKXĐ: x 2; 3; 4; 5; 6 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 1 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 8 1 1 1 4 1 2 x 2 x 8x 20 0 (thỏa ĐKXĐ) x 2 x 6 8 x 2 x 6 8 x 10 Bài 136: Giải các phương trình sau: a) x 3 3 x 1 3 56 b) x 6 4 x 8 4 16 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  44. a) x 3 3 x 1 3 56 HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y. Khi đó phương trình trở thành y 1 3 y 1 3 56 y3 3y2 3y 1 y3 3y2 3y 1 56 6y2 2 56 y 3 + Với y 3 thì x = 1 + Với y 3 thì x = -5 Vậy S 1; 5 b) x 6 4 x 8 4 16 Đặt x 7 y , phương trình đã cho trở thành: y 1 4 y 1 4 16 Rút gọn ta được: 2y4 12y2 2 16 y4 6y2 7 0 Đặt y2 z 0 , ta có: z2 6z 7 0 Giải phương trình trên z 1 ( nhận ) và z 7 ( loại ) Với z 1 thì y2 1 y 1 Khi đó, x 8 hoặc x 6 Vậy S 6;8 4 4 a b * Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng x a x b c c 0 , ta thường đặt y x 2 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Ta thấy x 0 không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho x2 0 , ta được : 2 3 1 2 1 1 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x x 1 1 Đặt x y thì x2 y2 2 , ta được y2 3y 2 0 . x x2 Giải pt trên y 1 hoặc y 2 2 1 2 1 3 +Với y 1 , ta có : x 1 nên x x 1 0 x 0 ( vô nghiệm ) x 2 4 1 2 +Với y 2 , ta có : x 2 nên x 1 0 x 1 x Vậy, S 1 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  45. a b x b c x c a x 4x Bài 137: Giải phương trình: 1 c a b a b c Lời giải: a b x b c x c a x 4x a) Giải phương trình: 1 c a b a b c a b x b c x c a x 4x Ta có: 1 c a b a b c a b x b c x c a x 4x 1 1 1 1 1 4 c a b a b c a b c x b c a x c a b x 4x a b c 5 c a b a b c a b c x b c a x c a b x 4x a b c 5 0 c a b a b c a b c x a b c x a b c x 4 a b c x 0 c a b a b c 1 1 1 4 a b c x 0 (*) a b c a b c 1 1 1 4 Xét A : a b c a b c 1 1 1 4 Khi đó, A. a b c a b c với a b c 0 (gt) a b c a b c 1 1 1 a b c 4 9 4 5 0 ( theo câu a) a b c Suy ra A 0 . Theo (*) suy ra a b c x 0 x a b c 0 Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x a b c 0 . 2 2 x 5 Bài 138: Giải phương trình: x x 1 4 Lời giải: 2 2 x 5 ĐKXĐ: x 1 , ta có: x x 1 4 2 2 x x2 5 x x2 5 x 2. 2. 1 1 x 1 x 1 4 x 1 x 1 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  46. x 3 2 2 1 2 x 3 x 1 2 2x x 1 0 1 x 1 2 x 3 2x2 5x 5 0 1 x 1 2 x 1 2 + Xét phương trình: 2x x 1 0 x 1 2x 1 0 1 ( thỏa ĐKXĐ) x 2 2 2 5 15 + Xét phương trình: 2x 5x 5 0 2 x 0 x  . 4 8 1 Vậy, S 1;  2  Bài 139: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. Lời giải: Gọi a và b lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với a,b N * . Theo đề bài, ta có: ab 2 a b a 2 b 2 4 Nhận xét : Do a,b N * a 2 Z; b 2 Z Lập bảng : a 2 -4 -2 -1 1 2 4 b 2 -1 -2 -4 4 2 1 a -2 0 1 3 4 6 b 1 0 -2 6 4 3 KL : a 4; b 4 hoặc a 3; b 6 hoặc a 6; b 3 Bài 140: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? Lời giải + Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ x ( x nguyªn vµ x 2) Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1. + Theo gi¶ thiÕt: NÕu sè xe lµ x 1 th× sè häc sinh ph©n phèi ®Òu cho tÊt c¶ c¸c xe, mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y 30). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  47. 22x 1 23 + Do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: x 1 y 22x 1 y 22 x 1 x 1 + V× x vµ y ®Òu lµ sè nguyªn dư¬ng, nªn x 1 ph¶i lµ íc sè cña 23. Mµ 23 nguyªn tè, nªn: x 1 1 x 2 hoÆc x 1 23 x 24 NÕu x 2 th× y 22 23 45 30 (tr¸i gi¶ thiÕt) NÕu x 24 th× y 22 1 23 < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n). + VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ:22 24 1 23 23 529 häc sinh. 1 1 1 1 Bài 141: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 5 x 6 x2 13x 42 x 6 x 7 TXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13 (tm) x 2 (tm) Bài 142: Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Lời giải a) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  48. 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (TM ) 3x x 4 0 x 4 0 x 4 (KTM ) S 0 b) 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 123 x 0 x 123 25 23 21 19 S 123 c) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 5 3 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 6 Bài 143: Giải phương trình: y2 2y 3 x2 2x 4 Lời giải 2 6 2 2 y 2y 3 2 y 2y 3 x 2x 4 6 x 2x 4 y 1 2 2 . x 1 2 3 6 x 1 2 . y 1 2 3 y 1 2 2 x 1 2 6 6 x 1 2 . y 1 2 3 y 1 2 2 x 1 2 0 Vì x 1 2 0; y 1 2 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 Bài 144: Giải các phương trình sau: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  49. a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Lời giải x 0 3 2 c) x x 12x 0 x x 4 x 3 0 x 4 x 3 x 214 x 132 x 54 d) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 x 300 0 x 300 86 84 82 Bài 145: Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Lời giải x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 146: Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Lời giải x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 * 2 2 1 3 x x 1 x 0 x 2 4 Vì * x 5 x 6 0 x 5 0 x 5 x 6 0 x 6 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  50. Bài 147: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X 2 X 12 0 X 2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Bài 148: Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Lời giải 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 Bài 149: Tìm x, biết: a) x2 2005x 2006 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  51. a) Ta có: x2 2005x 2006 0 x2 1 2005x 2005 0 x 1 x 1 2005 x 1 0 x 1 x 1 2005 0 x 1 x 2006 b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 Bài 150: Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Lời giải x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 x y 1 2 x 2 x 1 x 2 2x 4 (1) Do x y 1 2 x 2 x 1 x 2 0 (x, y) 2x 4 0 2 x 2 0 x 2 Với x 2 thì x y 1 2 x 2 x y 1 2 x 2; x 1 x 2 x2 3x 2 Khi đó từ phương trình (1) x y 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x y 1 2 x 2 2 x 1 1 x 2 2 x y 1 2 x 2 2 0 x 2 0và x y 1 0 x 2; y 3(tm) Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 2;3 Bài 151: Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lai 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2m / giây. Tính khoảng cách từ A đến B . Lời giải Gọi x là số lần đi x ¥ , x 0 , số lần dừng là x 1 Thời gian đi Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  52. 4 8 12 4x 2 4 6 2x 2 2 2 2 2 1 2 3 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 1 x 1 x(x 1) 1 2 3 x 1 2 2 Lập được phương trình x 10 (tm) x(x 1) 2 x(x 1) 155 3x x 310 31 2 x (ktm) 3 Khoảng cách AB là 10. 10 1 .2 220(m) Bài 152: Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km,rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Lời giải Gọi x(km / h) là vận tốc ca nô xuôi dòng x 12 Vận tốc ca nô khi nước lặng: x 6(km / h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng: x 12(km / h) Thời gian cả đi và về của ca nô là 4,5giờ nên ta có phương trình: 36 36 9 x 4(ktm) (x 4)(x 24) 0 x x 12 2 x 24(tm) Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24km / h Bài 153: Một người đi xe gắn máy từ Ađến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến Bsớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Lời giải Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km) (x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là: (km / h) 3h20' 3 (h) 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là: 5(km / h) 10 3x Theo đề bài ta có phương trình: 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là 150km 3.150 Vận tốc dự định là: 45(km / h) 10 Bài 154: Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 2 12 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  53. Lời giải x2 x 1 x2 x 2 12 Đặt x2 x 1 X có X 2 X 12 0 X 2 4X 3X 12 0 X X 4 3 X 4 0 X 3 X 3 X 4 0 X 4 2 2 1 19 X 4 x x 5 0 x 0 (VN) 2 4 X 3 x2 x 2 0 x2 2x x 2 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 Bài 155: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 a) 8. x 4. x 2 . x x 4 4. x 2 x x x x Lời giải 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 8 x 4 x 2 x x 4 4 x 2 2b x x x x Điều kiện x 0 , Khi đó: 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2b 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 8 x 8 x 2 x 4 x x 2 x 0 x 4 16 x 8 Vì x 0 nên S 8 Bài 156: Giải pt 2x 3 3 3x 5 3 5x 2 3 5x 2 17x2 2016x 2063 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  54. Trước hết chứng minh được rằng: Nếu có 3 số a,b,c thỏa mãn a b c 0 thì a3 b3 c3 3abc (2c) Ta có: 2x 3 3 3x 5 3 5x 2 3 5x 2 17x2 2016x 2063 2x 3 3 3x 5 3 2 5x 3 2 5x 17x2 2016x 2063 Áp dụng đẳng thức (2c) và vì 2x 3 3x 5 2 5x 0 nên phương trình đã cho tương đương với : 3 2x 3 3x 5 2 5x 2 5x 17x2 2016x 2063 2 2 2 5x 3 6x x 15 17x 2016x 2063 0 2 5x x2 2019x 2018 0 2 5x x 1 x 2018 0 2 x 5 x 1 x 2018 2  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ;1;2018 5  Bài 157: Giải các phương trình sau: 1)x2 3x 2 x 1 0 9x x 2) 8 2x2 x 3 2x2 x 3 Lời giải 1) *Với x 1 ta có phương trình: x2 3x 2 x 1 0 x2 2x 1 0 x 1(tm) 2 2 x 1 (ktm) *Với x 1 ta có phương trình: x 3x 2 1 x 0 x 4x 3 0 x 3 (tm) Vậy nghiệm của phương trình là x 1 2) Xét x 0 không phải là nghiệm Xét x 0 9x x 8 2x2 x 3 2x2 x 3 9 1 8 3 3 2x 1 2x 1 x x Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  55. 3 Đặt 2x t ta có phương trình: x 9 1 8 t 1 t 1 ĐKXĐ: x 1 2 1 PT 8t 2 8t 2 0 2 2t 1 0 t 2 2 3 1 2 1 95 2x 4x x 6 0 2x 0 PTVN x 2 4 16 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 Bài 158: Giải phương trình : 6 2 x 2 x 2 x 4 Lời giải 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 6 2 x 2 x 2 x 4 ĐK: x 2 x 3 x 3 Đặt u, v , phương trình đã cho trở thành: x 2 x 2 u2 6v2 7uv u2 uv 6v2 6uv 0 u u v 6v u v 0 u v u v u 6v 0 u 6v x 3 x 3 Xét u v ta có: x2 3x 2x 6 x2 3x 2x 6 x 0(tm) x 2 x 2 x 3 x 3 Xét u 6v ta có: 6. x 2 x 2 x2 3x 2x 6 6x2 18x 12x 36 5x2 35x 30 0 2 x 1 x 7x 6 0 x 6 Vậy S 0;1;6 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  56. Bài 159: Giải phương trình : x 1 x x 1 Lời giải x 1 x x 1 x x 1 x 1 0 x . x 1 x 1 0 x 1. x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 1 1 1 1 Bài 160: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 Bài 161: x2 5x 1 x2 4x 1 a) Giải phương trình: 2 2x 1 x 1 b) Giải phương trình: x6 7x3 8 0 Lời giải x2 5x 1 x2 4x 1 1 a) 2 (ĐKXĐ: x 1; x 2x 1 x 1 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  57. x2 4x 1 x2 5x 1 1 1 0 x 1 2x 1 x2 3x 2 x2 3x 2 0 x 1 2x 1 2 1 1 x 3x 2 0 x 1 2x 1 x2 3x 2 3x 2 0 x 1 x 2 3x 2 0 x 1 x 2 (TMDK) 2 x 3 2 Vậy S 1;2;  3  b) x6 7x3 8 0 x3 1 x3 8 0 Ta có: x3 1 x 1 3 x 8 x 2 S 1;2 Bài 162: Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 3 3 3 a) b) 2x 5 x 2 x 3 2013 2012 2011 2010 Lời giải x 1 x 2 x 4 x 3 1 1 1 1 2013 2012 2010 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 a) 2013 2012 2010 2011 1 1 1 1 x 2014 0 2013 2012 2010 2011 x 2014 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  58. b) Đặt 2x 5 a; x 2 b a b x 3 3 Phương trình đã cho trở thành: a3 b3 a b a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a2 2ab b2 0 3ab a b 0 5 a 0 x 2 b 0 x 2 a b x 3 Bài 163: Giải phương trình sau: 2 2 a. 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 . x2 5x 2012 b) x 1 x 3 4 Lời giải a 2x2 x 2013 a) Đặt: 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó, ta có: 2x2 x 2013 2 x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 S  11  b) Lập bảng xét dấu các nhị thức : x 1 và x 3 Xét x 3(1) Phương trình 1 x 3 x 4 x 3 (không thỏa (1)) Xét 3 x 1 (2) Phương trình 1 x x 3 4 0x 0 (Thỏa mãn với mọi x ¡ / 3 x 1 Xét x 1 (3) Phương trình x 1 x 3 4 2x 2 x 1 (thỏa mãn (3)) Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm 3 x 1 Bài 164: Giải phương trình sau: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  59. 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 : Đặt 2 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 165: Giải phương trình: 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Lời giải d) 15x 1 1 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12. DK : x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 3x 0 x 0 (TM ) 3x x 4 0 x 4 0 x 4(KTM ) S 0 e) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  60. 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 123 x 0 x 123 25 23 21 19 S 123 f) x 2 3 5 Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết dưới dạng: x 2 3 5 x 2 5 3 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 Bài 166: Giải các phương trình sau: a)x3 x2 12x 0 x 214 x 132 x 54 b) 6 86 84 82 Lời giải x 0 3 2 e) x x 12x 0 x x 4 x 3 0 x 4 x 3 x 214 x 132 x 54 f) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 x 300 0 x 300 86 84 82 Bài 167: Giải phương trình sau: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  61. 2 2 2x2 x 2013 4. x2 5x 2012 4. 2x2 x 2013 x2 5x 2012 Lời giải a 2x2 x 2013 b x2 5x 2012 Đặt Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b 0 a 2b Khi đó ta có: 2x2 x 2013 2. x2 5x 2012 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 11 Bài 168: Giải các phương trình sau: 2 a) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 x 9 x 10 9 10 b) 10 9 x 10 x 9 Lời giải 2 b) 2x2 3x 1 3 2x2 3x 5 16 0 2 2x2 3x 1 3 2x2 3x 1 4 0(*) Đặt t 2x2 3x 1 2 t 1 Pt * t 3t 4 0 t 4 x 0 3 2 x 2x 3x 1 1 x 2x 3 0 2 2x2 3x 1 4 x 1 2x 5 0 x 1 5 x 2 3 5 Vậy S 1;0; ;  2 2 x 9 x 10 9 10 b) * 10 9 x 10 x 9 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  62. ĐKXĐ: x 9; x 10 * x x 19 19x 181 0 x 0 x 19 (TMDK) 181 x 19 181 Vậy S 0; 19;  19  Bài 169: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Lời giải 1) x2 3x 2 x 1 0 1 Nếu x 1: 1 x 1 2 0 x 1(thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 Nếu x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 (ktm) Vậy phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1 2) 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 . 2 1 2 1 Bài 170: Giải phương trình: x 4 x x 1,5 3 x x x 1,5 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  63. Lời giải 2 1 2 1 a) x 4 x x 1,5 3 x x x 1,5 2 2 x 0,5 1 2x 1 x 1 2x 3 x 1 2 x 1,5 Bài 171: Giải các phương trình sau : 2 2 2 101 x 100 x x 99 2 a) 1 b) 4x 7 2x 5 x 1 1 2015 2016 2017 Lời giải 101 x2 100 x2 x2 99 a) 1 2015 2016 2017 101 x2 100 x2 x2 99 1 1 1 2015 2016 2017 2116 x2 2116 x2 2116 x2 2015 2016 2017 2 1 1 1 2116 x 0 2015 2016 2017 2116 x2 0 x 46 b) 4x 7 2 2x 5 x 1 1 16x2 56x 49 2x2 7x 5 0 Đặt 2x2 7x 5 a thì 16x2 56x 49 8a 9 Ta có phương trình a 8a 9 1 8a2 9a 1 0 1 a 1 8a 1 0 a 1hoac a 8 x 2 2 2 ) 2x 7x 5 1 2x 7x 6 0 x 2 2x 3 0 3 x 2 1 2 8 7 )2x2 7x 5 16x2 56x 41 0 4x 7 8 x 8 4 3 8 7  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; ;  2 4  Bài 172: Giải các phương trình sau Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  64. 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Lời giải 2 a) x2 x 4 x2 x 12 đặt y x2 x y2 4y 12 0 y2 6y 2y 12 0 y 6 y 6 y 2 0 y 2 x2 x 6vô nghiệm vì x2 x 6 0 với mọi x 2 2 x 2 x x 2 x x 2 0 x 1 Vậy S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 Vì 0 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2 1 2 Bài 173: Giải phương trình : x 2 x x x 2 Lời giải Điều kiện xác định x 0; x 2 x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x(x 2) x(x 2) x 0(loai)vs x 1 Vậy S 1 Bài 174: Giải các phương trình sau : x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  65. Lời giải x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 86 84 82 x 300 1 1 1 1 b) x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 . x 5 ; x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4 ; x 5 ; x 6 ; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18(x 4) x 4 x 7 x 13(t / m) x 13 x 2 0 x 2(t / m) S 13;2 Bài 175: Giải phương trình : x3 6x2 x 30 0 Lời giải x 3 3 2 Ta có : x 6x x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 2 x 5 Vậy S 2;3;5 Bài 176: Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  66. a)5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nên 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 Bài 177: Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x2 y2 4x 2y 5 0 Lời giải x2 y2 4x 2y 5 0 (x2 4x 4) (y2 2y 1) 0 (x 2)2 (y 1)2 0 x 2 và y 1 Bài 178: Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 2012 a) 2012 . 2013 2012 2011 2 b) (x2 4x)2 2(x 2)2 43 . Lời giải x 1 x 2 x 3 x 2012 PT 1 1 1 1 0 2013 2012 2011 2 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 0 2013 2012 2011 2 1 1 1 (x – 2014)( ) = 0 2013 2012 2 x = 2014 Bài 179: Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) x 3 7 2x . b) 1 5x x2 2 0 . Lời giải a) Nếu x 3 0 hay x 3 thì x 3 x 3 . Nếu x 3 0 hay x 3 thì x 3 3 x . * TH1: Với x 3 , PT đã cho trở thành x 3 7 2x x 4 (t/m). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  67. 10 * TH2: Với x 3 , PT đã cho trở thành 3 x 7 2x x (loại). 3 Vậy PT đã cho có nghiệm x 4 . b) Vì x2 2 0 với mọi x nên BPT đã cho tương đương với 1 5x 0 1 1 1 5x 0 5x 1 x . Vậy nghiệm của BPT ban đầu là x . 5 5 Bài 180: Giải các phương trình sau: a) x2 2x 1 14 . 5x 150 5x 102 5x 56 5x 12 5x 660 b) 0 . 50 49 48 47 46 Lời giải 2 x2 2x 1 14 x2 2x 15 0 x 2x 1 14 a) 2 2 x 2x 1 14 x 2x 13 0 Pt x2 2x 15 0 (x 5)(x 3) 0 x 5hoÆc x 3 CM Pt x2 2x 13 0 vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 3;5  5x 150 5x 102 5x 56 5x 12 5x 660 b) 0 50 49 48 47 46 5x 150 5x 102 5x 56 5x 12 5x 660 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 10) 0 50 49 48 47 46 5x 200 5x 200 5x 200 5x 200 5x 200 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 50 49 48 47 46 1 1 1 1 1 (5x 200)( ) 0 50 49 48 47 46 (5x -200) = 0 x = 40. Vậy tập nghiệm của Pt đã cho là S = 40 Bài 181: Giải các phương trình sau: a) ( x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 b) 100 101 102 5 4 3 Lời giải a) Đặt x2 + x + 1 = y Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  68. pt đã cho trở thành y( y + 1) - 12 = 0 y2 + y - 12 = 0 (y - 3)(y + 4) = 0 y = 3 hoặc y = - 4 + Với y = 3 ta được x1 = 1; x2 = - 2 + Với y = - 4, vô nghiệm KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x1 = 1; x2 = - 2 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 b) 100 101 102 5 4 3 x 5 x 4 x 3 x 100 x 101 x 102 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 100 101 102 5 4 3 1 1 1 1 1 1 (x - 105) = 0 100 101 102 5 4 3 x = 105 KL: Vâỵ PT đã cho có nghiệm x= 105. Bài 182: Giải các phương trình sau: a, x2 2 (2x 3)(x 5) 23 1 1 1 1 b, + + = x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 hoặc x+8 =0 x=-5 hoặc x=-8 b) Phương trình được biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4; 5; 6; 7 ) 1 1 1 1 = (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 ( ) + ( ) + ( ) = x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  69. 1 1 1 = (x + 4)(x +7) = 54 x 4 x 7 18 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phương trình là: S = 13;2 Bài 183: Giải các phương trình sau: a) x 2 3x 9 0 b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1 Lời giải a) x 2 3x 9 0 x 2 9 3x ĐK: 9 – 3x 0 x 3 11 x x 2 9 3x 4x 11 4 x 2 3x 9 2x 7 7 x (loai) 2 11 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1 (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0 (x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 (x2 – 5x)2 = 0 x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0 x 0 x 0 x 5 0 x 5 Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5. Bài 184: Giải các phương trình sau: 6 7 12 3x2 16 a) 1 . x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 b) 2x(8x 1)2 (4x 1) 9 . Lời giải 6 7 12 3x2 16 a) PT ( 1) ( 1) ( 1) (2 ) 0 x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 4 x2 4 x2 4 x2 4 x2 0 x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 1 1 1 1 (4 x2 )( ) 0 (1) x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 1 1 1 1 Vì 0 với mọi giá trị của x. x2 2 x2 3 x2 8 x2 10 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  70. 2 x 2 Nên (1) 4 x 0 x 2 x 2 0 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;2 . b) 2x(8x 1)2 (4x 1) 9 (64x2 16x 1)(8x2 2x) 9 (64x2 16x 1)(64x2 16x) 72 Đặt 64x2 -16x = t ta có (*) t(t+1) – 72 = 0 t =- 9 hoặc t = 8. Với t = -9 ta có 64x2 -16x = -9 64x2 -16x + 9 = 0 (8x -1)2 +8 = 0 (vô nghiệm vì (8x -1)2 +8 > 0) Với t = 8 ta có 64x2 -16x = 8 64x2 - 16x – 8 = 0 (8x -1)2 -9 = 0 1 x 8x 1 3 2 8x 1 3 1 x 4 1 1  Vậy tập nghiệm phương trình là S ;  4 2 Bài 185: Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Lời giải x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 (*) 2 2 1 3 Vì x x 1 x 0x 2 4 x 5 x 6 0 x 5 x 6 Bài 186: Giải các phương trình sau: 2x 3 2x 5 6x2 9x 9 x 11 x 22 x 33 x 44 a.) 1 . b. 2x 1 2x 7 (2x 1)(2x 7) 115 104 93 82 Lời giải 1 7 a) ĐK: x ; x 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  71. 2x 3 (2x 7) 2x 5 2x 1 2x 7 2x 1 6x2 9x 9 2x 1 (2x 7) 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 4x2 20x 21 4x2 12x 5 4x2 16x 7 6x2 9x 9 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 8x 16 2x2 7x 16 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 x 0 2 2 8x 16 2x 7x 16 2x x 0 x(2x 1) 0 1 x (Lo¹i) 2 Vậy phương trình có một nghiệm x = 0 x 11 x 22 x 33 x 44 b) PT ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 x 126 0 x 126 Bài 187: Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 Lời giải 2 2 Ta có: 2x2 x 2016 4 x2 3x 1000 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 2 2 2x2 x 2016 4 2x2 x 2016 x2 3x 1000 4 x2 3x 1000 0 2 2 2 2 2 2 2x x 2016 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 2 x 3x 1000 0 2 2 2 2x x 2016 2 x 3x 1000 0 7x 16 2 0 16 x . 7 16 Vậy nghiệm của phương trình là x 7 Bài 188: Giải các phương trình: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  72. a) x 2 x 2 x2 10 72 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 Lời giải a) x 2 x 2 x2 10 72 x2 4 x2 10 72 2 2 x 7 3 x 7 3 72 x2 7 9 x 4 x2 7 92 x 4 2 x 7 9 x  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;4 2 2 x 2 x 2 x2 4 b) Giải phương trình: 3 25 20 2 0 x 1 x 1 x 1 x 2 0 x 1 Điều kiện x 1 . Dễ thấy hệ vô nghiệm nên x 2. x 2 0 x 1 2 x 2 x 2 (x 2)(x 1) x 2 Đặt y : . Chia 2 vế phương trình đã cho cho ta được: x 1 x 1 (x 2)(x 1) x 1 y 5 3y2 20y 25 0 5 . y 3 x 4 (x 2)(x 1) 2 *) Với y = 5, ta có: 5 2x 9x 4 0 1 . (x 2)(x 1) x 2 5 *) Với y ,ta có: 3 (x 2)(x 1) 5 x 6 34 x2 12x 2 0 . (x 2)(x 1) 3 x 6 34 Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: 1 x 4, x , x 6 34, x 6 34 . 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  73. Bài 189: Giải phương trình: x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x b) 1 2017 2018 2019 Lời giải x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 a) 99 98 97 96 95 94 x2 99x 1 x2 99x 2 x2 99x 3 1 1 1 99 98 97 x2 99x 4 x2 99x 5 x2 99x 6 1 1 1 96 95 94 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 x2 99x 100 99 98 97 96 95 94 2 1 1 1 1 1 1 x 99x 100 0 99 98 97 96 95 94 1 1 1 1 1 1 x2 99x 100 0 ( Vì 0 ) 99 98 97 96 95 94 x 1 x 1 x 100 0 x 100 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1; 100 2 x 1 x x 2 x 1 x x b) Ta có: 1 1 1 1 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2019 x 2019 x 2019 x 1 1 1 2019 x 0 2017 2018 2019 2017 2018 2019 1 1 1 2019 x 0 ( Vì 0 ) 2017 2018 2019 x 2019 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2019 Bài 190: Giải các phương trình sau: b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) b2 x2 x2 b2 1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  74. 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Lời giải b2 x2 a) x a2 x a ( Phương trình ẩn x ) ( ĐK: x b ) b2 x2 x2 b2 2 2 2 x b 1 a x 2 2 2 2 a x b x b x2 b2 1 a 2 1 a x 2 2 x b 1 a2 x 1 a ( Vì x2 b2 0 ) + Nếu a 1 , phương trình có vô số nghiệm x R, x b . + Nếu a 1 , phương trình vô nghiệm , S  . 1  + Nếu a 1 , phương trình có nghiệm duy nhất , S . 1 a  1 1 1 10 b)  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 ĐKXĐ: x 2000; 2001; ; 2010 1 1 1 10 Ta có:  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 1 1 1 1 10  x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 1 1 10 x 2000 x 2010 11 10 10 x 2000 x 2010 11 x 2000 x 2010 11 x2 2011x 1999x 2011.1999 0 x 2011 x 1999 0 x 2011 ( Thỏa ĐKXĐ ) x 1999 Vậy, S 2011; 1999 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 c) ( ĐKXĐ: x 2009, x 2010 ) 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  75. Đặt a x 2010 khi đó a 0 , ta có pt viết theo ẩn a là: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a2 3a 1 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 3 a 2 2 2 2 8a 8a 30 0 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a 2 3 3 4023 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 5 5 4015 + Với a , ta có: x 2010 x 2 2 2 4015 4023 Vậy, S ;  2 2  Bài 191: Giải các phương trình sau: 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  ; 2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 ; 41 43 45 47 49 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 1 1 1 1 1 e) . x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Lời giải 1 1 1 2017 2016 2 1 a)  .x  2 3 2018 1 2 2016 2017 1 1 1 2016 2 1  .x 1  1 1 1 2 3 2018 2 2016 2017 1 1 1 2018 2018 2018 2018  .x  2 3 2018 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 1  .x 2018  2 3 2018 2 3 2018 x 2018 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  76. 1 1 1 2 2017 b)  3 6 10 x x 1 2019 2 2 2 2 2017  2.3 3.4 4.5 x x 1 2019 1 1 1 1 1 1 2017 2. 2 3 4 5 x x 1 2019 1 1 2017 1 1 2017 1 1 2. x 2018 2 x 1 2019 x 1 2 2.2019 x 1 2019 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) 5 41 43 45 47 49 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 1 1 1 1 1 0 41 43 45 47 49 1 1 1 1 1 x 100 0 41 43 45 47 49 x 100 (?) 1.2 2.3 3.4  98.99 .x d) 2018 323400 n 1 n n 1 * Nhớ công thức: 1.2 2.3 3.4 n 1 .n ( HS suy nghĩ c/m) 3 98.99.100 Ta có: 1.2 2.3 3.4 98.99 323400 3 1.2 2.3 3.4  98.99 .x 2018 323400 323400 .x 2018 x 2018 323400 e)ĐKXĐ: x 2; 3; 4; 5; 6 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 1 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 8 1 1 1 4 1 2 x 2 x 8x 20 0 ( thỏa ĐKXĐ ) x 2 x 6 8 x 2 x 6 8 x 10 2 2 x 5 Bài 192: Giải phương trình: x x 1 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  77. Lời giải 2 2 x 5 ĐKXĐ: x 1 , ta có: x x 1 4 2 2 x x2 5 x x2 5 x 2. 2. 1 1 x 1 x 1 4 x 1 x 1 4 x 3 2 2 1 2 x 3 x 1 2 2x x 1 0 1 x 1 2 x 3 2x2 5x 5 0 1 x 1 2 x 1 2 + Xét phương trình: 2x x 1 0 x 1 2x 1 0 1 ( thỏa ĐKXĐ) x 2 2 2 5 15 + Xét phương trình: 2x 5x 5 0 2 x 0 x  . 4 8 1 Vậy, S 1;  2  x2 3x 7 3x 2 Bài 193: Giải phương trình sau: x2 5x 6 x 15 Lời giải ĐKXĐ: x 15; x 1; x 6 2 x2 3x 7 3x 2 x2 3x 7 3x 2 x2 6x 9 x 3 x2 5x 6 x 15 x2 5x 6 x 15 x2 6x 9 x 3 2 Thay x 3 vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình Với x 3 ta có: 2 x2 3x 7 3x 2 x 3 13 1 3x 2 x 15 x (tm) x2 5x 6 x 15 x 3 2 2 13  Vậy S ; 3 2  Lời giải 21 Bài 194: Giải phương trình: x2 4x 6 0 x2 4x 10 Lời giải Điều kiện xác định x ¡ , đặt t x2 4x 8 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  78. 21 21 x2 4x 6 0 t 2 0 t 2 x2 4x 10 t 2 21 t 2 t 2 0 21 t 2 4 0 t 2 25 t 5 x2 4x 8 5 x2 4x 3 0 giải ra x 1; x 3 x2 4x 8 5 x2 4x 13 0 vô nghiệm vì x2 4x 13 0 Vậy x 1; x 3 Bài 195: Giải các phương trình sau: 3 3 a) x 3 x 1 56 4 4 b) x 6 x 8 16 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Lời giải 3 3 a) x 3 x 1 56 HD: Chú ý: x + 2 là giá trị trung bình cộng của x + 1 và x + 3, ta đặt x + 2 = y. 3 3 Khi đó phương trình trở thành y 1 y 1 56 y3 3y2 3y 1 y3 3y2 3y 1 56 6y2 2 56 y 3 + Với y 3 thì x = 1 + Với y 3 thì x = -5 Vậy S 1; 5 4 4 b) x 6 x 8 16 4 4 Đặt x 7 y , phương trình đã cho trở thành: y 1 y 1 16 Rút gọn ta được: 2y4 12y2 2 16 y4 6y2 7 0 Đặt y2 z 0 , ta có: z2 6z 7 0 Giải phương trình trên z 1 ( nhận ) và z 7 ( loại ) Với z 1 thì y2 1 y 1 Khi đó, x 8 hoặc x 6 Vậy S 6;8 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  79. 4 4 a b * Chú ý: Khi giải pt bậc bốn dạng x a x b c c 0 , ta thường đặt y x 2 c) x4 3x3 4x2 3x 1 0 Ta thấy x 0 không là nghiệm của pt đã cho. Chia hai vế của pt cho x2 0 , ta được : 2 3 1 2 1 1 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 x x x x 1 1 Đặt x y thì x2 y2 2 , ta được y2 3y 2 0 . x x2 Giải pt trên y 1 hoặc y 2 2 1 2 1 3 +Với y 1 , ta có : x 1 nên x x 1 0 x 0 ( vô nghiệm ) x 2 4 1 2 +Với y 2 , ta có : x 2 nên x 1 0 x 1 x Vậy, S 1 Bài 196: Tìm x, y biết : a) x2 2x y2 4y 5 0 1 1 b) x2 y2 4 x2 y2 Lời giải a) x2 2x y2 4y 5 0 2 2 x 1 y 2 0 x 1 và y 2 KL : 1 1 b) x2 y2 4 ( ĐK: x 0, y 0 ) x2 y2 2 2 1 1 x y 0 x y 1 1 x 0 và y 0 x y x 1 và y 1 Vậy, x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 hoặc x 1, y 1 . Bài 197: Giải và biện luận nghiệm của phương trình m2 x 1 x m theo m . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  80. Lời giải Ta có: m2 x 1 x m m2 x x m 1 m2 1 x m 1 m 1 m 1 x m 1(*) + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 0 x R + Nếu m 1 thì pt (*) trở thành 0x 2 x  1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 KL: + Nếu m 1 thì pt (*) có vô số nghiệm. + Nếu m 1 thì pt (*) vô nghiệm. 1 + Nếu m 1 thì pt (*) có một nghiệm duy nhất x m 1 Bài 198: Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ chở không được quá 32 người, hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan? Lời giải + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2) Số học sinh đi tham quan là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là x 1 thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30). 22x 1 23 + Do đó ta có phơng trình: x 1 y 22x 1 y 22 x 1 x 1 + Vì x và y đều là số nguyên dương, nên x 1 phải là ước số của 23. Mà 23 nguyên tố, nên: x 1 1 x 2 hoặc x 1 23 x 24 Nếu x 2 thì y 22 23 45 32 (trái giả thiết) Nếu x 24 thì y 22 1 23 < 32 (thỏa điều kiện bài toán). + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi tham quan là:22 24 1 23 23 529 học sinh. Bài 199: Bạn Nam hỏi bạn Bắc: “Năm nay cha và mẹ của bạn bao nhiêu tuổi”. Bắc trả lời: “Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 66 tuổi thì tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi là 10. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp 3 lần tổng số tuổi của hai anh em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và tuổi của mẹ bạn Bắc là bao nhiêu ? Lời giải Gọi x là tuổi của mẹ bạn Bắc khi tổng số tuổi của cha và mẹ là 66 (x nguyên dương) Ta có: x x 4 66 2x 62 x 31 Gọi y là số tuổi thêm từ khi mẹ Bắc 31 tuổi đến nay (y nguyên dương) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  81. Tổng số tuổi hiện nay của hai người là 66 2y Tổng số tuổi của hai người con hiện nay là 10 2y Ta có phương trình: 3 10 2y 66 2y 30 6y 66 2y y 9 Tuổi của mẹ Bắc hiện nay là 9 31 40tuổi Tuổi của cha Bắc hiện nay là 9 35 44 tuổi Bài 200: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội. Lời giải Gọi a và b lần lượt là số đấu thủ ở đội trường A và trường B, với a,b N * . Theo đề bài, ta có: ab 2 a b a 2 b 2 4 Nhận xét : Do a,b N * a 2 Z; b 2 Z Lập bảng : a 2 -4 -2 -1 1 2 4 b 2 -1 -2 -4 4 2 1 a -2 0 1 3 4 6 b 1 0 -2 6 4 3 KL : a 4; b 4 hoặc a 3; b 6 hoặc a 6; b 3 Bài 201: Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 3x 7 0 b) x 1 2x 3 x 4 Lời giải Giải các phương trình sau: a) x2 x 2 3x 7 0 2 2 1 7 Ta có x x 2 x 0 với mọi x . 2 4 Do đó, x2 x 2 3x 7 0 x2 x 2 3x 7 0 x2 4x 4 9 0 x 5 x 1 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  82. x 5 x 1 Vậy, S 1;5 x3 x2 x b) 1 x x 2 ĐKXĐ: x 0, x 2 x3 x2 x Ta có 1 x3 x2 x x x 2 0 x x 2 x 0(loai) 3 2 + Với x 2 , ta có pt x 2x 3x 0 x x 1 x 3 0 x 1 x 3 + Với x 2 , ta có pt x3 x 0 x x2 1 0 x 0 loai Vậy, S 3;1 . c) Ta có: x 1 2x 3 x 4 x 1 2x 3 x 4 (*) 3 Các giá trị đặc biệt : x 1; x ; x 0 2 Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối : 3 x 0 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 x - x - x x x VT 2x 2 2x 4 4 2x 2 3 + Xét x , pt đã cho trở thành 2x 2 4 x 3 ( nhận ) 2 3 + Xét x 0 , pt đã cho trở thành 2x 4 4 x 0 ( nhận ) 2 + Xét 0 x 1 , pt đã cho trở thành 4 4 0 x 1 ( nhận ) + Xét x 1 , pt đã cho trở thành 2x 2 4 x 1 ( nhận ) KL : Pt đã cho có các nghiệm là : x 3; 0 x 1 . 2x 3x Bài 202: Giải phương trình: 1 x2 4x 7 2 x2 5x 7 Lời giải 2x 3x 4x 3x Ta có: 1 1 x2 4x 7 2 x2 5x 7 2x2 8x 14 2x2 10x 14 + Với x 0 không là nghiệm của phương trình Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  83. 4 3 +Với x 0 phương trình đã cho được viết lại: 1 14 14 2x 8 2x 10 x x 14 4 3 Đặt y 2x 9 , phương trình viết lại theo ẩn y là 1 x y 1 y 1 4 y 1 3 y 1 y 1 y 1 2 y 0 y 7y 0 y 7 + Với y 0 thì 2x2 9x 14 0 ( vô nghiệm ) 2 x 1 + Với y 0 thì x 8x 7 0 nhân x 7 Vậy, S 1;7 3 3 3 Bài 203: Giải phương trình sau: (x- 2018) + (x- 2019) - (2x- 4037) = 0 . Lời giải 3 3 3 Ta có: (x- 2018) + (x- 2019) - (2x- 4037) = 0 3 3 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 Vì x 2018 x 2019 4037 2x 0 nên theo câu a) ta có: 3 3 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 3 x 2018 x 2019 4037 2x 0 x 2018 0 x 2018 x 2019 0 x 2019 4037 2x 0 4037 x 2 4037  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S 2018;2019;  2  2 Bài 204: Giải phương trình: 6x 8 6x 6 6x 7 72 Lời giải Đặt 6x 7 t. Ta có: t 1 t 1 t2 72 t2 1 t2 72 t4 t2 72 0 2 x t 3 3 5 x 3 2 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S ;  3 3  Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  84. Bài 205: Giải phương trình: x4 x2 6x 8 0 Lời giải Phân tích được x 1 x3 x2 2x 8 0 x 1 x 2 x2 x 4 0 (1) 2 x 1 0 x 1 Vì x x 4 0 1 x 2 0 x 2 Bài 206: Tìm x : a) 3x 6561 2012 2010 b) 2x 1 2x 1 Lời giải a) 3x 6561 hay 3x 38 x 8 2012 2010 2012 2010 c) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 0 2010 2 2x 1 . 1 2x 1 0 2010 2x 1 . 1 2x 1 1 2x 1 0 1 x 2x 1 0 2 2 2x 0 x 1 2x 0 x 0 Bài 207: Giải phương trình : x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 Lời giải x2 2xy y2 3x 2y 1 4 2x x2 3x 2 2 x y 1 x 2 x 1 x 2 2x 4 (1) Do 2 x y 1 x 2 x 1 x 2 0 (x,y) 2x 4 0 2 x 2 0 x 2 2 2 Với x 2 thì x y 1 x 2 x y 1 x 2; x 1 x 2 x2 3x 2 Khi đó từ phương trình (1) 2 2 2 x y 1 x 2 x 1 2 x 2 x y 1 x 2 2 x 1 1 x 2 2 2 x y 1 x 2 0 x 2 0 và x y 1 0 x 2; y 3(tm) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  85. Vậy tập nghiệm của phương trình là : x; y 2; 3 Bài 208: Giải phương trình: 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 5 41 43 45 47 49 Lời giải 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 1 1 1 1 1 0 41 43 45 47 49 1 1 1 1 1 100 x 0 41 43 45 47 49 x 100 1 1 1 1 Bài 209: Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 Lời giải Ta có: x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 5 x 6 x2 13x 42 x 6 x 7 TXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 2 0 x 13 (tm) x 2 (tm) Bài 210: Giải phương trình sau: 2010x 2010 2010x 2010 2011 x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 Lời giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  86. 2010x 2010 2010x 2010 2011 Ta có: (1) x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 2 2 2 1 3 2 1 3 Ta có: x x 1 x 0x; x x 1 x 0x 2 4 2 4 Điều kiện xác định của phương trình (1) là : x 0 Ta có: x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu: 1 2010x x 1 x2 x 1 2010x x 1 x2 x 1 2011 2010x x3 1 2010x x3 1 2011 2010x x3 1 x3 1 2011 2011 2010x.2 2011 x (TM) 4020 Bài 211: Giải phương trình: 3 8 5 3 9 1) . x 81 16 8 64 x2 2x 1 x2 2x 2 7 2) x2 2x 2 x2 2x 3 6 Lời giải 3 8 5 3 9 2.1. . x 81 16 8 64 3 3 5 3 9 81 9 x . 16 8 64 8 8 5 3 9 x 16 8 8 9 5 23 x 8 16 3 6 8 x2 2x 1 x2 2x 2 7 2.2 x ¡ x2 2x 2 x2 2x 3 6 Đặt t x2 2x 3 x2 2x 2 t 1, DK : t 2 Phương trình trở thành: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038
  87. t 2 t 1 7 t 1 t 6 6t t 2 6 t 1 t 1 7t(t 1) t t 1 t 6t t 1 6t2 12t 6t2 12t 6 7t2 7t 5t2 17t 6 0 t 3(TM) 2 t 3 t 0 2 5 t (ktm) 5 2 x 0 Với t 3 x 2x 3 3 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là : x 0; x 2 Bài 212: Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 4 x x x 4 x x2 x2 x Lời giải 2.1 x2 3x 2 x 1 0 1 2 Nếu x 1: 1 x 1 0 x 1(thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 Nếu x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 (ktm) Vậy phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1 2.2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 4 x x x 4 (2) x x2 x2 x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x x 4 x 4 16 x x2 x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038