75 Đề thi học sinh giỏi Toán 7 có đáp án chi tiết

Nội dung text: 75 Đề thi học sinh giỏi Toán 7 có đáp án chi tiết

1. 7 5 Đ Ề T H I H Ọ C S I N H G I Ỏ I T O Á N 7 ( C Ó Đ Á P Á N C H I T I Ế T ) W E B S I T E : I H O C . M E
2. ĐỀ SỐ 1 Bài 1 (4.0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: 12 7 6 3 3 3 3 2 .5 + 4 .25 1. 1 + 2 +3 - 1,8.3,2 2. 6 85 .25 3 + 2 2 .5 Bài 2 (3.0 điểm) Tìm x, biết: 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x m n 2017 2. x = = = (m, n là hai số thực khác -2017 và m + n 0). n + 2017 m + 2017 m + n Bài 3 (3.0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 2. Cho hàm số (1): y = k|x| - 3x (với k R). Biết đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm Q(-2 ; 8). Tìm k rồi vẽ đồ thị của hàm số (1). Bài 4 (2.0 điểm) Một đội công nhân có 39 người, được chia thành ba nhóm I, II, III. Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2. Tìm số công nhân của mỗi nhóm. Bài 5 (4.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. Gọi E là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh ABN = AMC và BN  CM. 2. Cho BM = 5 cm, CN = 7 cm, BC = 3 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 6 (3.5 điểm) Cho tam giác DEF có D = 60o . Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF ở P. Tia phân giác của góc F cắt cạnh DE ở Q. Gọi O là giao điểm của PE và QF. 1. Tính số đo EOF và chứng minh OP = OQ. 2. Tìm điều kiện của tam giác DEF để hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. ĐỀ SỐ 2 Câu 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính 10 5 5 3 3 155 0,9 a/ A 7 11 23 5 13 26 13 13 7 3 403 0,2 7 11 23 91 10
3. 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 b/ A 6 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 59 .14 3 Câu 2 (5 điểm) : a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 3n 2 2 n 2 3 n 2 n chia hết cho 10 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 2014 x 2015 x 2016 x c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 Câu 3 (4 điểm) : x 16 y 25 z 49 a/ Cho và 4x3 3 29 Tính x – 2y + 3z 9 16 25 b/ Cho f( x ) ax3 4 x x 2 1 8 và g( x ) x3 4 x bx 1 c 3 Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Câu 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng a/ BE = CF AB AC b/ AE 2 Câu 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
4. ĐỀ SỐ 3
5. ĐỀ SỐ 30
6. ĐỀ SỐ 31
7. ĐỀ SỐ 33
8. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 Bài 1 (4.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 18.32 1. 13 + 2 3 +3 3 - 1,8.3,2 1+8+ 27 - 0.5 100 2.9.2.16 36 - 0.25 100 Câu 1 2 2.3.4 0.25 (2.0 đ) 36 - 10 2.3.4 6- 10 0.5 12 18 6- 5 5 0.5 212 .5 7 + 4 6 .25 3 212 .5 7 + 2 12 .5 6 2. 6 15 6 12 6 0,5 5 3 2 2 .5 + 2 .5 8 .25 + 2 .5 212 .5 6. 5+1 Câu 2 0,5 212 .5 6. 2 3 +1 (2.0 đ) 212 .5 6. 6 212 .5 6. 9 0,5 6 2 = = 0,5 9 3 Bài 2 (3.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x (1) 0.25 - Chứng minh x+1+x+2+x+3+x+4 0  x (2) Từ (1) và (2) 10x 0 x 0 0.25 Câu 1 x + 1 > 0, x + 2 > 0, x + 3 > 0, x + 4 > 0 0.25 (1.75 đ) |x + 1| = x + 1, |x + 2| = x + 2, |x + 3| = x + 3, |x + 4| = x + 4 (3) 0.25 Từ (1) và (3) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 10x 4x + 10 = 10x 6x = 10 0.25 5 5 x = (thỏa mãn x 0). Vậy x = là giá trị cần tìm. 0.5 3 3 m n 2017 2. x = = = n + 2017 m + 2017 m + n - Nếu m + n + 2017 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: m n 2017 m + n + 2017 1 0,5 x = = = = = n + 2017 m + 2017 m + n 2 m + n + 2017 2
9. m + n = -2017 Câu 2 - Nếu m + n + 2017 = 0 m + 2017 = -n 0,25 (1.25 đ) n + 2017 = -m m n 2017 x = = = = -1 0,25 -m -n -2017 1 Vậy x = khi m + n + 2017 0 2 0,25 x = -1 khi m + n + 2017 = 0. Bài 3 (3.0 điểm) 1. (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 Từ đề bài 20a + 7b + 3 và 20a + 20a + b lẻ (vì 803 lẻ) 0,25 Nếu a 0 20a + 20a chẵn. Mà 20a + 20a + b lẻ b lẻ 7b + 3 chẵn 20a + 7b + 3 chẵn (không thỏa mãn) 0,25 Vậy a = 0 (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73 Vì b N 7b + 3 > b + 1. Do đó: Câu 1 7b +3 = 803 7b +3 = 73 0,25 (1.0 đ) hoặc b +1=1 b +1=11 7b +3 = 803 - Trường hợp không tìm được b thỏa mãn đề bài. b +1=1 7b +3 = 73 - Trường hợp b = 10. 0,25 b +1=11 Vậy a = 0, b = 10 thỏa mãn đề bài. 2. Vì đồ thị của hàm số y = k|x| - 3x đi qua điểm Q(-2 ; 8) nên: 0,25 8 = k . |-2| - 3 . (-2) 2k + 6 = 8 k = 1 0,25 Ta có hàm số y = |x| - 3x . Bỏ dấu giá trị tuyệt đối được: y = -2x nếu x 0 0,25 y = -4x nếu x < 0. Câu 2 - Với y = -2x (x 0): (2.0 đ) Cho x = 1 thì y = -2 Điểm A(1 ; -2) thuộc đồ thị hàm số. 0,25 Đồ thị hàm số y = -2x (x 0) là tia OA (như hình vẽ). - Với y = -4x (x< 0): Cho x = -1 thì y = 4 Điểm B(-1 ; 4) thuộc đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số y = -4x (x < 0) là tia OB, không kể điểm O 0,25 (như hình vẽ).
10. y B 4 - 1 1 -1 O x 0,75 -2 A Vậy đồ thị của hàm số (1) gồm hai tia OA và OB như hình vẽ. Bài 4 (2.0 điểm) Gọi số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (người) 0,5 (x, y, z N* và x, y, z < 39). Vì đội công nhân có 39 người x + y + z = 39. 0,25 Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2 4(x + 1) 0,25 = 3(y + 2) = 2(z -3) (2.0 đ) 4x+1 3y+2 2z-3 x +1 y + 2 z -3 = = = = = 12 12 12 3 4 6 0,25 x +1+ y + 2+ z -3 x + y + z 39 = = = = 3 0,25 3+ 4+ 6 13 13 Tìm được x = 8, y = 10, z = 21 (thỏa mãn x, y, z N* và x, y, z < 39) 0,25 Vậy số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là 8, 10, 21 (người) 0,25 Bài 5 (4.5 điểm) Câu Nội dung Điểm 1. N - Chứng minh BAN = MAC 0,5 1 M - ABN và AMC có: A 3 1 AB = AM ( ABM vuông cân tại A) 2 1 Câu 1 F 2 BAN = MAC (chứng minh trên) 1,0 (3.0 đ) 1 E AN = AC ( ACN vuông cân tại A) 1 ABN = AMC (c.g.c) B C - Gọi F là giao điểm của BN và AC. o 0,25 AFN vuông tại A N1 + F 1 = 90
11. 0,25 Mà N1 = C 1 (vì ABN = AMC) 0,25 F1 = F 2 (hai góc đối đỉnh) o 0,25 C1 + F 2 = 90 o 0,25 E1 = 90 (áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào CEF) BN  CM tại E. 0,25 2. Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại E là BCE, MNE, BME, CNE ta có: BC2 = BE2 + CE2 ; MN2 = ME2 + NE2 0,5 Câu 2 BM2 = BE2 + ME2 ; CN2 = CE2 + NE2 (1.5 đ) BC2 + MN2 = BM2 + CN2 (cùng = BE2 + CE2 + ME2 + NE2) 0,5 MN2 = BM2 + CN2 - BC2 = 5 + 7 - 3 = 9 0,25 MN = 3 (cm) 0,25 Bài 6 (3.5 điểm) Câu Nội dung Điểm D 1. - Chứng minh DEF + DFE = 120o o 0,5 60 o E1 + F 1 = 60 (EP và FQ là các tia 0,25 phân giác của góc E và góc F) P Q 1 o 1 EOF = 120 (áp dụng định lí tổng ba 0,25 O 4 1 góc của một tam giác vào OEF) Câu 1 2 3 (2.0 đ) - Kẻ OR là tia phân giác của góc EOF. 1 1 E H R K F o 0,25 O2 = O 3 = 60 Chứng minh O = O = O = O = 60o 0,25 1 2 3 4 Chứng minh OEQ = OER (g.c.g) OQ = OR (hai cạnh tương ứng) 0,25 Chứng minh tương tự có OP = OR OP = OQ (vì cùng bằng OR) 0,25 2. - Vì OQ = OP (câu 1) OPQ cân tại O P = Q = 180o POQ : 2 1 1 0,25 o o Lại có POQ = EOF = 120 (hai góc đối đỉnh) P1 = Q 1 = 30 - Kẻ QH và PK cùng vuông góc với EF (hình vẽ). 0,25 Câu 2 Hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF QH = PK (1.5 đ) PQ // EF (tính chất đoạn chắn) 0,25 E = P = 30o (vì hai góc này ở vị trí so le trong) 1 1 0,25 o DEF = 60 (vì EP là tia phân giác của góc DEF) 0,25 DEF là tam giác đều (vì D = DEF = 60o ) 0,25 Vậy DEF là tam giác đều thì hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF.
12. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 10 5 5 3 3 2 1 1 3 3 9 155 0,9 5 31 7 11 23 A 7 11 23 5 13 5 13 10 26 13 13 7 3 2 1 1 1 1 3 403 0,2 13 31 7 11 23 91 10 7 11 23 13 5 10 2.0 2 1 1 1 1 3 5 31 3 7 11 23 5 13 10 5 5 A 3 3 Câu 2 1 1 1 1 3 13 13 13 31 1 7 11 23 5 13 10 2125 .3 4 62 .9 5 103 .7 25 5 .49 2 2 125 .3 2 124 .3 5 103 .7 5 104 .7 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 59 .14 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2.0 212 .3 4 3 1 5 10 .7 3 1 7 2 5. 6 1 10 21 7 A 212 .3 5 3 1 59 .7 3 1 2 3 3.4 9 6 3 6 2 a/ Ta có : 3nnnnnnnnnnnn 2 2 2 3 2 3 .9 2 .4 3 2 3 .9 3 2 .4 2 1.5 = 3n 9 1 2 n 4 1 3 n .10 2 n .5 3 n .10 2 n 1 .10 10 3 n 2 n 1 chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM) b/ A 2014 x 2015 x 2016 x . 2.0 Cách 1 : Ta xét 4 trường hợp xảy ra TH 1 : x 3 (Vì x 2 (Vì x 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4) Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 . Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 Cách 2 : Sử dụng BĐT ABAB , Dấu = xảy ra khi AB ≥ 0 Do 2015 x 0 => A 2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016 x Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1) Ta có : 2014 x 2016 x x 2014 2016 x x 2014 2016 x 2 Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
13. Từ 1,2 => A ≥ 2. Dấu = xảy ra khi x = 2015 Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 1.5 Ta có 25 – y2 ≤ 25 => 8 x 2015 2 ≤ 25 => x 2015 2 y = 5 ; y = -5 2 x 2015 1 x 2016 TH 2 : x 2015 1 x 2015 1 x 2014 Thay vào => y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5 x 16 y 25 z 49 3 2.0 a/ Cho và 4x 3 29 Tính x – 2y + 3z 9 16 25 Ta có : 4x3 3 29 => 4x3 32 x 3 8 x 2 . Thay vào tỷ lệ thức 2 16y 25 z 49 y 25 z 49 => 2y 7, z 1 9 16 25 16 25 => x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19 b/ Cho f( x ) ax3 4 x x 2 1 8 và g( x ) x3 4 x bx 1 c 3 2.0 Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Câu Ta có : f( x ) ax3 4 x x 2 1 8 ax 3 4 x 3 4 x 8 a 4 x 3 4 x 8 3 g( x ) x3 4 x bx 1 c 3 x 3 4 bx 2 4 x c 3 Do f(x) = g(x) => f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 => g( x ) x3 4 bx 2 4 x 8 => f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1) => f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2) Từ 1,2 => b = 0, a = -3 Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11
14. A 2 1 F 1 B 2 1 C 1 M N 1 D E a/ BE = CF Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D. Câu 3.0 DF1 1(1) 4 BD//AC => DF1 1(2) Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam giác AEF cân tại A => EF 1 (3) Từ (1) và (3) => E D BE BD(4) 1 Xét BDM và CFM có : MB = MC (5), MM1 2 (6) Từ 2,5,6 => BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) AB AC b/ AE 2 Tam giác AEF cân tại A => AE = AF 2.0  2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)  2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AB AC  AE (ĐPCM) 2 o o Câu Cho tam giác ABC có góc B bằng 45 , góc C bằng 120 . Trên tia đối của 5 tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
15. B 2.0 2 1 15o 120o C 1 2 1 2 E 2 3 F 15o 1 2 1 A 2 D o Trên CA lấy điểm E sao cho B1 ECA 15 , Gọi F là trung điểm CD o o => B2 30 mà C1 120 => Tam giác CBE cân tại C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD o o Do C1 120 => C 2 60 => Tam giác CEF đều => FE = CF = FD o o => DE1 3 mà DEF1 3 2 60 ( CEF đều) => D1 30 o 0 Xét tam giác CDE ta có CED 180 C2 D 1 90 (1) Ta có : DB1 2 => EB = ED, AB1 1 => EA = EB => ED = ED (2) o Từ 1, 2 => Tam giác EDA vuông cân tại E => D2 45 o o o Vậy ADB D1 D 2 30 45 75 Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa
16. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3
17. ĐÂY LÀ BẢN XEM TRƯỚC CỦA TÀI LIỆU. TÀI LIỆU NÀY KHÔNG CUNG CẤP BẢN MỀM (PDF, WORD) CHỈ CUNG CẤP CHO BẠN ĐỌC THÔNG QUA BẢN IN ẤN PHOTO. BẠN ĐỌC XEM CHI TIẾT VỀ TÀI LIỆU NÀY VUI LÒNG TRUY CẬP ĐỊA CHỈ BIT.LY/75DETHI2017