10 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: 10 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. 500 đề thi học sinh giỏi mụn Toỏn lớp 8 ĐỀ SỐ 01 Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: x2 x 6 a) Rút gọn biểu thức: x3 4x2 18x 9 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0(x, y, z 0) . Tính x y z x2 y2 z2 Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK. Bài 4 (1đ). Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + 5 ĐỀ SỐ 02 Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 . a8 thoã mãn 2 điều kiện a và b sau: 2 3 a) a1a2a3 = a7a8 b) a 4a5a6a7a8 a7a8 Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1. khi và chỉ khi ( mn – 2)  3. áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1. Câu 3 . Giải phương trình:
2. 1 1 1 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007). Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45. ĐỀ SỐ 03 Câu 1: a. Rút gọn biểu thức: A= (2+1)(22+1)(24+1) ( 2256 + 1) + 1 b. Nếu x2=y2 + z2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z a b c Câu 2: a. Cho 0 (1) và 2 (2) a b c x y z x2 y2 z2 Tính giá trị của biểu thức A= a2 b2 c2 ab bc ca b. Biết a + b + c = 0 Tính : B = a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Câu 3: Tìm x , biết : xã 1 x 10 x 19 3 (1) 2006 1997 1988
3. Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a.BM  EF b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy. Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 P= (a+ b+ c) ( ). a b c ĐỀ SỐ 04 Bài 1 (3đ): 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1 x 2 x 4 x 6 x 8 2) Giải phương trình: 98 96 94 92 Bài 2 (2đ): 2x2 3x 3 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên 2x 1 Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC. Bài 4 (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 2x 2007 A , ( x khác 0) 2007x 2
4. ĐỀ SỐ 05 Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A = x 2 6 1 10 x 2 : x 2 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a, Tìm điều kiện của x để A xác định . b, Rút gọn biểu thức A . c, Tìm giá trị của x để A > O x 2 4x 1 x 2 5x 1 Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau : 2 x 1 2x 1 Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S. 1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. 2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 3, Chứng minh P là trực tâm SQR. 4, MN là trung trực của AC. 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Câu 4 ( 1 điểm): 2x 2 3x 3 Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá 2x 1 trị nguyên Câu 5 ( 1 điểm) a, Chứng minh rằng x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy. x y z 3 1 1 1 yz xz xy b, Cho 0. Tính A x y z x 2 y 2 z 2 ĐỀ SỐ 06 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :
5. x 2 1 1 1 x 4 M = x 4 4 2 2 2 x x 1 x 1 1 x a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé nhất của M . Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 4x 3 3x 2 2x 83 A = x 3 Bài 3 : 2 điểm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b)x 2 + x 3 + 2x 8 = 9 Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh : a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi . b) AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi . Bài 5 : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24 ĐỀ SỐ 07 Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức: 6x 1 6x 1 x 2 36 A= . ( Với x 0 ; x 6 ) x 2 6x x 2 6x 12x 2 12 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với x= 1 9 4 5
6. Câu 2: ( 1 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y ( với mọi x ;y) b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x 2 x 3 x 2 x 2 Câu 3: ( 4 điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD . TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gi? b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB . Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng. c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  DB và CP = 2,4 cm,; PB 16 Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 4 ( 2 điểm ) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm. ĐỀ SỐ 08 Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Phân tích đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bài 2: ( 1,5 điểm).
7. Cho biểu thức: y = x ; ( x>0) (x 2004) 2 Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình: : ( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330. B, Giải bất phương trình: x 6 3 Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đường thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b. A, Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi. CA OC 2 B, Chứng minh rằng DB OB 2 8a 2 C, Biết SAOB = . Tính CA ; DB theo a. 3 ĐỀ SỐ 09 Bà1(2điểm). Cho biểu thức : x2 y2 x2 y2 P x y 1 y x y 1 x x 1 1 y 1.Rút gọn P. 2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3. Bài 2(2 điểm). Giải phương trình: 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 8 Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: 2x 1 M x2 2 Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
8. 1.Chứng minh CE vuông góc với DF. 2.Chứng minh MAD cân. 3.Tính diện tích MDC theo a. Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 . 2 3 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 . 4 ĐỀ SỐ 10 Câu 1. (1,5đ) 1 Rút gọn biểu thức : A = 1 +1 +1 + .+ 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) Câu 2. (1,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho : Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4) Câu 3 . (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức 7 có giá trị x2 x 1 nguyên. Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc) Câu 5 . Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O. Thì H,G,O thẳng hàng. .