Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

122 trang hoaithuong97 5270

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập đề thi HSG Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_de_thi_hsg_toan_8.doc

Nội dung text: Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 §¸p ¸n Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm ) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A  24 (1 ®iÓm ) x2 x 1 x2 x 2 7 Bµi 2: a. x2 x 2 x2 x 3 6 T×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc x2 B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®îc B max = 1/2 th× x = 1 ( 1, 5 ®iÓm ) 1 x4 Bµi 3 Rót gän biÓu thøc: x2 5x 6 x 2 . x 3 x 3 P = P . ( 1®iÓm ) x3 3x2 3x 2 x 2 x2 x 1 x2 x 1 Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®îc F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm ) + Chøng minh ®îc chu vi tø gi¸c MEAF = 2 AB ( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm ) b. Chøng tá ®îc M lµ trung ®iÓm BC Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm ) c. Chøng tá ®îc ®êng th¼ng MH  EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm ) Đề 23 Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 43
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1  x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ) 1 1 1 Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 3 x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = x 2 y 2 z 2 Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3x 2 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . BC AH HC Bài 6: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Đề 23 Câu1(4đ) a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 .1đ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) 1đ b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) 1đ +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 A chia hết cho x4 + x2 + 1 1đ 44
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Cau 2 :(2đ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Có ( )2 = + 2( ) x y z x 2 y 2 z 2 xy xz yz 0.75đ z y x ( 3)2 = p + 2 vậyP+2=3 0,75đ xyz suy ra P = 1 0.5đ Câu 3: giải 4-5x 3 0.5đ b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung 1đ 1 1 1 1 (x+100)( ) = 0 S = 100 57 54 51 48 0.5đ Câu 4: a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) 3đ =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5đ Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 0,5đ Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia 0,5đ hết cho 9 b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = a b c 2 a b c a b c a b c x = ; y = ; z= 2 2 2 a b c a b c a b c P = = 0.5đ 2a 2b 2c 1 b c a c a b ( 1 1 1 ) = 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 ( 3 ( ) ( ) ( )) 2 a b a c c b 2 3 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 1đ 2 Câu 5: + Hai tam giác (2đ) ADC và BEC có: Góc C chung. 0,25 đ CD CA (Hai tam 0,25 đ CE CB giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 0,25 đ 45
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Suy ra:  BEC= ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H 0,5 đ theo giả thiết). Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,25 đ Suy ra: BE AB 2 m 2 0,5 đ BM 1 BE 1 AD b) Ta có:   (do BEC ~ ADC ) 0,5đ 2đ BC 2 BC 2 AC mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nên   (do ABH Đồng BC 2 AC 2 AC AB 2 BE 1đ dạng CBA) Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c) suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450 0,5đ C) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác 2đ góc BAC. GB AB Suyra: , GC AC AB ED AH HD vì ABC ~ DEC nên (DE//AH) 1đ AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: 1đ GC HC GB GC HD HC BC AH HC Câu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) 1đ Vì p là số nguyên tố nên: Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) 0,5đ Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1 Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác. 0,5đ Đề 24 Câu 1: (4điểm) x 2x 3y a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= y 2 x 6 1 1 1 3 b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh : a 3 b 3 c 3 abc Câu 2: (3điểm) x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 a. Tìm x,y,x biết : 2 3 4 5 b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9 46
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Câu 3: (3điểm) a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x Z+ Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức : Câu 5: (6 điểm) cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H AH ' BH CH a)tính tổng : AA' BB' CC' Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB(M AC;N AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM 2 c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức : (AB BC CA) AA'2 B' B 2 C'C 2 đạt giá trị nhỏ nhất Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. Hết . Đề 24 Bài Nội dung điểm Bài1 0,5đ a) 3y-x=6 x=3y-6 2đ Thay vào ta có A=4 1,5đ Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. b) ab ac bc 2đ ab ac bc 0 0 abc 1 1 1 0 a b c 1đ 1 1 1 Đặt : x; y; z a b c 47
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: 1đ x3+y3+z3=3xyz đpcm Bài . : 2: x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 x 2 y2 y2 z 2 z 2 a) =0 1đ 1,5đ 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 3x 2 2y 2 z 2 0 x y z 10 15 20 0,5đ .phươngtrình: 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x 2 16x 1)(8x 2 2x) 9 b) 1,5đ (64x 2 16x 1)(64x 2 16x) 72 0,25đ đặt :64x2-16x+0,5=k Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 k 2 72,25 k 8,5 0,5đ 1 1 Với k=8,5 Ta có x= ;x 4 2 0,25đ Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 0,25đ 0,25đ Bài 3 , có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5) a) 0, 75đ = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) 1.5đ vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên 0,25đ tiếp nên30 (2) 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết 0,25đ cho 30 Từ (1); (2) suy rađpcm 0,25đ b) 1.5đ b,Từ bài toán trên ta có: x5-x5 x5-x+2 chia 5 dư 2 0,75đ x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương 48
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 nào có tận cùng là 2hoặc 7) Vậy: 0,5đ x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x Z 0,25đ Câu4 b c a c b 2 1 a 2 đặt A= a b c = ab c 2đ 2 ac ba bc b ac a bc a 2 c2 a b 2 b c 1 =abc = 1đ c b b 2 a c2 a 2 abc 1 a 2 c c2 b b 2 a abc 2 2 2 0,5đ abc c a b c a b 1 0,5đ tacó x+ 2x >0 Nên A 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 x câu 5 A a) C’ B’ x H N M I A’ C B D 1 (BA' A'C).AH AH S S Ta có : 2 AHB AHC (1) A' A 1 S AH.BC ABC 2 BH S S 1 đ Tương Tự: AHB BHC (2) BB' S ABC CH S S CHB AHC (3) 0,25 đ CC S ABC AH ' BH CH 2(S S S ) Từ (1); (2); (3) ta có: = AHB BHC CHA 2 0,25 đ AA' BB' CC' S b. ABC 0,5 đ b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; suy ra IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC AB.AC 0,75 đ . . . . . 1 c) IC NB MA AC BI AI AC BI AC.AB BI .AN.CM BN.IC.AM 0,75 đ c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 0,5 đ 49
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 0,5 đ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 0,25 đ Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,25 đ -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 0,25 đ (AB BC CA)2 0,25 đ 4 AA'2 BB'2 CC'2 0,25 đ (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 0,25 đ Tức tam giác ABCđều Câu6 có 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) 1đ 2đ Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c) 0,5đ (1 a 2 )(1 b 2 )(1 c2 )  a b a c b c 2 đpcm 0,5đ Đề 25 Bài 1: (5 điểm) 2 1 1 1 x 1 Cho biểu thức:A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trình: 1 6y 2 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (6 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. 50
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3 Đề 25 BÀI NỘI DUNG Bài 1 2x x 2 1 x 1 1đ A= : ĐKXĐX {0;1;-1} 2 2 2 2 3 a) x 1 .x (x 1) x x 2 3 0,5đ A= (x 1) x (x 1)(x 1) 2 x 2 x A= 0,5đ x 1 1 b) Tacó:1-A= >0 khi x-1 0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 0,5đ A=(a+b+c+1)2+abc 0 (1) 0,5đ Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc 0,5đ Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) 0;5đ Vì ì a2+b2+c2=1nên -1 a;b;c 1 nên (1+a)(1+b)(1+c) 0 Và -abc 0 nên A 0 (2) 0,5đ Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0 0,5đ 1 2 Bài 3: Biến đổi phương trình về: 0,75đ a) (3y 1)(y 3) (3y 1)(3y 1) 1 1 0,25đ Đkxđ: y {3; ; } 3 3 3y+1=-2y+6 0,5đ b) y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1 0,5đ Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 0,75đ (x2-2x+5 ) (x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5 0,75đ Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4 0,5đ 51
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Bài 4: Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 0,5đ 1/2 E Từ đó chứng A B minh:CK=ED (1) 0,5đ EB=BC (2) BED BCK =1350 (3) C từ: (1);(2);(3)suy ra: D I BED BCK(cg.c) 1đ G EBD CBK K 0 DBK 90 H 0,5đ b) Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ M nhật 0,5đ Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M H là trung điểm củaCM 0,5đ AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1) 0,5đ Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI 0,25đ Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành 0,25đ Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật 0,25đ Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK 0.5đ vậy: G IH (2) 0,25đ Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng 0,5đ Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có 0,5đ (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm 1,0đ Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 0,25đ Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1) 0, 25đ ĐỀ THI SỐ 26 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 52
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 53
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 54
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ SỐ 27 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1 . Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b 55
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 2 x 2 1 10 x Câu2. Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A (6 điểm) 2 x x 1 x 5 x 6 0 (*) 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x 5 0 x 5  (2 x 6 0 x 6 điểm) a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b (2 với a + b + c; rút gọn đpcm điểm) 56
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A (1.5 x 2 điểm) 1 1 1 b. x x hoặc x Câu 2 2 2 2 (6 điểm) 4 4 A hoặc A (1.5 3 5 điểm) c. A 0 x 2 (1.5 điểm) 1 (1.5 d. A Z Z x 1;3 x 2 điểm) E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C a. Chứng minh: AE FM DF (2 Câu 3 AED DFC đpcm điểm) (6 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) (1 M là trung điểm của BD. điểm) 1 b c 1 a a a Câu 4: 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 (2 điểm) b b b (1 1 a b điểm) 1 c c c 57
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0 (1  a = 1 hoÆc b = 1 điểm) Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 §Ò thi SỐ 28 a 3 4a 2 a 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. 58
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1;a 2;a 4 0,25 a 1 Rót gän P= 0,25 a 2 a 2 3 3 b) (0,5®) P= 1 ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3, a 2 a 2 mµ ¦(3)= 1;1; 3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®îc a 1;3;5 0,25 C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a 2 2ab b 2 ) 3ab = =(a+b)(a b) 2 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b)(a b) 2 3ab chia hÕt cho 9 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 59
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y Tõ ®ã suy ra a=;b ;c ; 0,5 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vµo ta ®îc A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Tõ ®ã suy ra A (2 2 2) hay A 3 0,25 2 C©u 4 : (3 ®) a) (1®) ˆ 0 ˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 120 M 1 ˆ 0 ˆ 0 ˆ V× M 2 =60 nªn ta cã : M 3 120 M 1 y A ˆ ˆ Suy ra D1 M 3 x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) 0,5 D 2 1 2 BD CM 3 Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM B 1 C BM CE M BC BC 2 V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 0,5 2 4 BD MD b) (1®) Tõ (1) suy ra mµ BM=CM nªn ta cã CM EM BD MD BM EM Chøng minh ∾ B MD MED 0,5 60
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ˆ ˆ Tõ ®ã suy ra D1 D2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®îc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ÑEÀ THI SOÁ 29 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: x a x 10 1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña 61
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 thöùc B(x) x2 3x 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P 1 22 32 44 1002 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2 ñ a2 8a 7 a2 8a 15 15 0,5 ñ 2 0,5 ñ a2 8a 22 a2 8a 120 0,5 ñ 2 a2 8a 11 1 0,5 ñ a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 2 Giaû söû: x a x 10 1 x m x n ;(m,n Z) 0,25 ñ 2 ñ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn 0,25 ñ m n a 10 0,25 ñ m.n 10a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10n 10) 1 0,25 ñ m 10 1 m 10 1 0,25 ñ vì m,n nguyeân ta coù: n 10 1 v n 10 1 0,25 ñ suy ra a = 12 hoaëc a =8 0,25 ñ 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ a 3 0 a 3 Ñeå A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 0,5 ñ 62
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 4 3 ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng Hx laø phaân giaùc cuûa goùc A· HB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc A· HC maø 0,25 ñ A· HB vaø A· HC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25 ñ Hay D· HE = 900 maët khaùc A· DH A· EH = 900 0,25 ñ Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) 0,25 ñ ·AHB 900 0,5 ñ ·AHD 450 2 2 ·AHC 900 Do ·AHE 450 0,5 ñ 2 2 ·AHD ·AHE 0,25 ñ · Hay HA laø phaân giaùc DHE (2) 0,25 ñ Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ 5 1 1 1 1 P 2 2 4 2 2 ñ 2 3 4 100 1 1 1 1 0,5 ñ 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 0,5 ñ 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 0,5 ñ 1 99 1 1 100 100 0,5 ñ ĐỀ THI SỐ 30 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b)x 4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) 63
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z 3 x3 y3 z3 = y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y = 3 x y y z z x . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 x 2010x2 2010x 2010 = x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2010 . x 241 x 220 x 195 x 166 Bài 2: 10 17 19 21 23 64
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010 . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a 2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a 2 49 3a 2 3a 1 49 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 3 a 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 (thoả ĐK) 5 a 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 2010x 2680 A x2 1 335x2 335 335x2 2010x 3015 335(x 3)2 = 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. C Bài 5: a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ Aµ F 90o ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC . D b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6: A E B a) Đặt A· FE B· FD , B· DF C· DE , C· ED A· EF  . 65
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Ta có B· AC   1800 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A O· FD O· ED O· DF 90o (1)  E · · · o F  Ta có OFD  OED  ODF 270 (2)  (1) & (2)   180o ( )  O (*) & ( ) B· AC B· DF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: Bµ , Cµ  s s AEF s DBF DEC ABC B D C BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 31 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 66
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 vải k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2 (0,25điảm) abcd k2 abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoảc m–k = 33 m = 67 m = 37 hoảc 67
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' C’ B’ x a) ; H SABC 1 AA' N .AA'.BC M 2 I A’ C (0,25điểm) B SHAB HC' S HB' Tương tự: ; HAC D SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điảm ) BI.AN.CM BN.IC.AM (0,5điảm ) c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) 68
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc . Chứng minh rằng a b c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A=: 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5đ (1 x) 69
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ b, (1 điểm) 2 5 5 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 2 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25đ 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5đ 9 3 27 27 c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; 0,5đ Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là x (x là số nguyên khác -11) x 11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 7 0,5đ x 15 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình x = x 15 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 Từ đó tìm được phân số 0,5đ 6 Bài 4 (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5đ Vì a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nên (a 2 2)(a 1) 2 0a do đó 0,5đ (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) 70
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 B M N A D I C a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5đ Tính được AI = cm 3 A B Bài 6 (5 điểm) O M N C a, (1,5 điểm) D OM OD ON OC Lập luận để có , 0,5đ AB BD AB AC OD OC Lập luận để có 0,5đ DB AC OM ON OM = ON 0,5đ AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) 0,5đ AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 71
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 Chứng minh tương tự ON.( ) 1 0,5đ AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON).( ) 2 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) ĐỀ SỐ 33 §Ò thi häc sinh giái líp 8 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 3n3 2n 2 6n 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm 72
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5 0,5 2 b, (2®iÓm) B=n2+3n- 0,5 n 2 2 2 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n +2 0,5 n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 0,5 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) 0,5 HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 2 0,5 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n- 0,5 1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) 0,5 Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh 0,5 ph¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng a, (1®iÓm) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc 2 abc ac ac c 1 0,5 ac abc c abc ac 1 = 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 0,5 2 2 2 2 2 2 b, (2®iÓm) a+b+c=0 a +b +c +2(ab+ac+bc)=0 a +b +c = - 0.5 2(ab+ac+bc) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c +2(a b +a c +b c )=4( a b +a c +b c )+8abc(a+b+c) V× 0.5 a+b+c=0 C©u 2 0.5 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5®iÓm) 2 2 2 2 2 2 2 MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) =2(a b +a c +b c )+4abc(a+b+c) . V× 0.5 a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y 0,5 a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c 2. . 2. ; 2. . 2. ; 0,5 b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b c 2 b 2 c b b 2. . 2. a 2 c 2 a c a 0,5 Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b 2 c2 a c b a 2 b 2 c2 a c b 2( ) 2( ) b 2 c2 a 2 c b a b 2 c2 a 2 c b a 73
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 214 x 132 x 54 a, (2®iÓm) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1,0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 0,5 86 84 82 1 1 1 0,5 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 0,5 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 0,5 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x= 0,5 1 1 ; x 2 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 1 VËy S = ,  2 4  0,5 c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 2 2 (x+1) -(y+2) =7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d¬ng 0,5 Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBA 0,5 (cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) A B S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 0,5 Hay SAOD = SBOC K O E F I M N C 0,5 D EO AO 1,0 b, (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC C©u 4 DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB 0,5 (5®iÓm) DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 1,0 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng 1,0 Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN. ĐỀ SỐ 34 74
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 3 3x x 4 C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d¬ng víi mäi x ≠ - 1 C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1. x y 2 xy 2 Chøng minh r»ng: = 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc : M = x 2 x 4 x 6 x 8 16 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tØ. C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB . 5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC HÕt Híng dÉn chÊm to¸n 8 C©u Néi dung §iÓm 75
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 1®iÓm - Rót gän: A = = x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 a 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 = x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 1®iÓm 2 1 3 2 x x x 1 2 4 1®iÓm Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2 x x 1 1 3 x b 2 4 2 2 1 3 1 3 V× x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 1®iÓm 2 4 2 4 2 * Víi x 1 (*) x - 1 0 tax cã1 ph¬ngx 1 tr×nh 1®iÓm x2 -3x + 2 + x-1 = 0 x2 2x 1 0 x 1 2 0 x 1 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *) * Víi x< 1 ( ) x - 1 0 tax cã1 ph¬ng1 x tr×nh a x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 + x - 1 = 0 x 1 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn ) + x - 3 = 0 x 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) 1®iÓm VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1 * §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1) 0.5®iÓm 2 2 1 2 1 2 1 1 2 * pt 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1®iÓm b 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 2 2 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 16 x 4 2 x x 8 0 x 0 hoÆc x = -8 0.5®iÓm So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - 8 Ta cã y3 1 y 1 y2 y 1 x y2 y 1 v× xy 0 x, y 0 x, y 0 3 1®iÓm y-1 0 vµ x-1 0 76
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 1 3 2 y 1 y y 1 3 2 2 y 1 x 1 x 1 x x 1 y x x 1 3 2 x 1 x x 1 x y 1 1 y3 1 x3 1 y2 y 1 x2 x 1 1®iÓm 2 x2 x 1 y2 y 1 x y 2xy x y 2 2 2 2 2 2 x x 1 y y 1 x y x y 2xy xy x y xy x y 1 4 2xy x y 2 xy 2 2 2 3 3 2 2 0 x y 3 y 1 x 1 x y 3 1®iÓm Ta cã: M = x2 10x 16 x2 10x 24 16 1®iÓm 1®iÓm 4 §Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 1®iÓm M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) 5 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA (Hai tam gi¸c vu«ng CDE CE CB vµ CAB ®ång d¹ng) a 1.5®iÓm Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: B· EC ·ADC 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). 1®iÓm Nªn ·AEB 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD Ta cã:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC 1.5®iÓm mµ AD AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H) b BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE 1®iÓm Do ®ã BHM : BEC (c.g.c), suy ra: B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. 1®iÓm GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mµ ABC : DEC ED // AH c GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: GC HC GB GC HD HC BC AH HC ĐỀ SỐ 35 77
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x 2 6 1 10 x 2 x 2 Bài 1: Cho biảu thảc: M = 3 : x 4x 6 3x x 2 x 2 a. Rút gản M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. Bài 2: a. Tìm giá trả nhả nhảt cảa biảu thảc sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các sả x,y,z thảa mãn đảng thải: x + y + z = 1: x2 + y2 + z2 = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính tảng: S = x2009 + y2010 + z 2011 Bµi 3: 1 1 1 1 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H. HD HE HF a. TÝnh tæng: AD BE CF b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Híng dÉn chÊm m«n to¸n 8 Bµi Néi dung §iÓm 1 a x 2 6 1 x 2 6 1 3 = x 4x 6 3x x 2 x(x 2)(x 2) 3(x 2) x 2 0,5 x 2(x 2) (x 2) = (x 2)(x 2) 6 = (x 2)(x 2) 0,5 10 x 2 (x 2)(x 2) (10 x2 ) x 2 = x 2 x 2 0,5 6 = x 2 6 x 2 1 M =. = 0,5 (x 2)(x 2) 6 2 x b + NÕu x  2 th× M  0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN. 0,5 + VËy x  2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d¬ng, nªn M 78
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, 0,5 Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng 2 – x = 1 x = 1. 0,5 VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1. 0,5 2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 0,5 2 2 2 2 = (b c) a (b c) a 0,5 = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) 0,5 b Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) 0,5 T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 0,5 Vảy A< 0 0,5 3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 0,5 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010 Dảu ''='' x¶y ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2. 0,5 Vảy GTNN cảa A là 2010 t¹i x = y =2 0,5 b Ta có: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kảt hảp các điảu kiản đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 0,5 Mảt trong các thảa sả cảa tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bảng 0 Giả sả (x + y) = 0, kảt hảp vải đ/k : x + y + z = 1 z = 1, l¹i 0,5 kảt hảp vải đ/k : x2 + y2 + z2 = 1 x = y = 0. Vậy trong 3 sả x,y,z phải có 2 sả bảng 0 và 1 sả bảng 1, 0,5 S = x2009 + y2010 + z2011 = 1 Nên tảng S luôn có giá trả bảng 1. 4 a Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: ) x 4; 5; 6; 7 1 1 1 1 = (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0,5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) + ( ) + ( ) = x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0,5 1 1 1 = (x + 4)(x +7) = 54 x 4 x 7 18 0,5 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = 13;2 0,5 b + Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x2 + 1) = (2y + 1) 2 0,25 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ) x2 xd x 1d 2 x 1d x 1d 2d mµ d lÎ nªn d = 1. x2 1d x 1d 0,25 x 1d + Nªn muèn (x + 1)(x2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng 79
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Th× (x+1) vµ (x2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng x2 1 k 2 k 1 k 1 §Æt: (k + x)(k – x) = 1 hoÆc 2 0,25 x 1 t x 0 x 0 + Víi x = 0 th× (2y + 1)2 = 1 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) = (0;0),(0; 1)  0,25 5 A E F H M K I B N D 0,5 C O HD S(HBC) a Tríc hÕt chøng minh: = 0,5 AD S(ABC) HE S(HCA) HF S(HAB) 0,5 T¬ng tù cã: ; BE S(ABC) CF S(ABC) HD HE HF S(HBC) S(HCA) S(HAB) 0,5 Nªn = AD BE CF S(ABC) HD HE HF 0,5 = 1 AD BE CF b Tríc hªt chøng minh BDH ~ BEC 0,5 BH.BE = BD.BC 0,5 Vµ CDH ~ CFB CH.CF = CD.CB. 0,5 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (®pcm) 0,5 c Tríc hÕt chøng minh: AEF ~ ABC ·AEF ·ABC Vµ CDE ~ CAB C· ED C· BA 0,5 ·AEF C· ED mµ EB AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF. T¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE. 0,5 VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm) 0,5 d Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c) O· HM O· CN .(1) 0,25 MÆt kh¸c ta còng cã OCH c©n t¹i O nªn:O· HC O· CH .(2) 0,25 80
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Tõ (1) vµ (2) ta cã: O· HC O· HB HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc O,25 BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. 0,25 Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O. ĐỀ SỐ 36 Bài 1: (3,5đ)a, Với giá trị nào của n thì n 5 n 6 6n với n  . b, CMR với n  thì: n5 n30 . c, Tìm số tự nhiên n để phân số n 13 tối giản. n 2 Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 4a2b2 a2 b2 c2 b, x5 + x + 1 c, x 1 x 2 x 3 x 4 1 Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 1 1 1 1 b, x2 4x 3 x2 8x 15 x2 12x 35 9 c, x 2 4 x 3 4 1 Bài 4: (3,5đ)a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2 b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. 3 Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Bài 5: (4,5đ) Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng: a, AB.AE + AD.AF = AC2 b, FCE ABC. Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết Â = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm. (Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình). -The end- Bài Phần Nội dung Điểm Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = n(n – 1) + 30 + 12n  6n a n n 1 3 n 3 n 3k 1 1 1 n n 1 306n 303 n 30 n = 1; 3; 6; 10; 15; 30 b CMR: với n  thì: n5 n30 1,5 81
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Ta có 30 = 2.3.5 n5 n n n4 1 n 1 n n 1 n2 1 n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích n 1 n n 1 6 ta chứng minh n5 n n n2 1 n2 1 5 Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k 1 hoặc n = 5k 2 1, Nếu n = 5k thì n5 n5 2, Nếu n = 5k 1 thì n2 15 n5 n5 3, Nếu n = 5k 2 thì n2 15 n5 n5 n 13 15 1 tối giản 15;n 2 1 n 2 n 2 c n 3k 2 1 n – 2  3 và n – 2  5 n 3k 5 2 4a2b2 a2 b2 c2 2 2ab 2 a2 b2 c2 a 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 1 c2 a b 2 a b 2 c2 a b c a b c c a b c a b x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1 2 b = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) 1 = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) x 1 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 4 x 2 x 3 1 2 2 c x 5x 4 x 5x 6 1 1 2 2 x 5x 5 1 x 5x 5 1 1 2 2 x2 5x 5 1 1 x2 5x 5 x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 x4 x 30 x2 x 1 0 x x3 1 30 x2 x 1 0 x x 1 x2 x 1 30 x2 x 1 0 2 2 3 a x x 1 x x 30 0 1 2 1 3 x2 x 30 0 vìx2 x 1 x 0 2 4 x2 6x 5x 30 0 x 6 x 6 x 5 0 x 5 82
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Vậy S 6;5 1 1 1 1 x2 4x 3 x2 8x 15 x2 12x 35 9 1 1 1 1 x2 3x x 3 x2 5x 3x 15 x2 7x 5x 35 9 1 1 1 1 x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 9 ĐKXĐ: x 1; 3; 5; 7 Phương trình trên có thể viết: 1 1 1 1 1 1 1 1 b 2 x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 9 1 1 1 1 6 1 2 x 1 x 7 9 2 x 1 x 7 9 x 1 x 7 27 x2 8x 20 0 x2 8x 16 36 x 4 2 62 x 4 6 x 2 (TM ĐKXĐ) x 4 6 x 10 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10 ĐỀ SỐ 37 Bµi 1 (4 ®iÓm) 1 x3 1 x2 x : Cho biÓu thøc A = 2 3 víi x kh¸c -1 vµ 1. 1 x 1 x x x a, Rót gän biÓu thøc A. 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x 1 . 3 c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0. Bµi 2 (3 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc . Chøng minh r»ng a b c . Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. Bµi 4 (2 ®iÓm) 4 3 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a 2a 3a 4a 5 . Bµi 5 (3 ®iÓm) 83
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD. a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI. Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N. a, Chøng minh r»ng OM = ON. 1 1 2 b, Chøng minh r»ng . AB CD MN 2 2 c, BiÕt SAOB= 2008 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 2009 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD. híng dÉn chÊm thi häc sinh giái Bµi 1( 4 ®iÓm ) a, ( 2 ®iÓm ) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× : 0,5® 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A=: 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5® = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5® (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5® KL b, (1 ®iÓm) 2 5 5 2 5 0,25® T¹i x = 1 = th× A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25® 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5® 9 3 27 27 KL c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25® V× 1 x 2 0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 x 0 x 1 0,5® KL 0,25® Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc 0,5® a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5® BiÕn ®æi ®Ó cã (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5® V× (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; víi mäi a, b, c 0,5® nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 vµ (a c) 2 0 ; 0,5® 84
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5® Bµi 3 (3 ®iÓm) 0,5® Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11. x Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11) x 11 x 7 Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc ph©n sè 0,5® x 15 (x kh¸c -15) x x 15 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh = 0,5® x 11 x 7 Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n) 1® 5 Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè 0,5® 6 KL Bµi 4 (2 ®iÓm) 0,5® BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5® V× a 2 2 0 a vµ (a 1) 2 0a nªn (a 2 2)(a 1) 2 0a do ®ã 0,5® (a 2 2)(a 1) 2 3 3a DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a 1 0 a 1 0,25® KL 0,25® Bµi 5 (3 ®iÓm) B M N A a,(1 ®iÓm) D I C Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5® Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n 0,5® b,(2®iÓm) 4 3 8 3 0,5® TÝnh ®îc AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5® TÝnh ®îc NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 0,5® DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 85
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 8 3 0,5® TÝnh ®îc AI = cm 3 Bµi 6 (5 ®iÓm) A B O M N a, (1,5 ®iÓm) D C OM OD ON OC LËp luËn ®Ó cã , 0,5® AB BD AB AC OD OC LËp luËn ®Ó cã 0,5® DB AC OM ON OM = ON 0,5® AB AB b, (1,5 ®iÓm) OM DM OM AM XÐt ABD ®Ó cã (1), xÐt ADC ®Ó cã (2) 0,5® AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Tõ (1) vµ (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chøng minh t¬ng tù ON.( ) 1 0,5® AB CD 1 1 1 1 2 tõ ®ã cã (OM + ON).( ) 2 0,5® AB CD AB CD MN b, (2 ®iÓm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5® , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chøng minh ®îc S AOD S BOC 0,5® 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5® 2 2 2 Thay sè ®Ó cã 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do ®ã SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (®¬n vÞ 0,5® DT) ĐỀ SỐ 38 Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 6 6 a) Víi mäi a Z , nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a b chia hÕt cho 9 b) Với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z 2009 32010 86
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng: 1 1 1 Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: a b c a b c th× ta có bất đẳng thức a b c 3abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN. NC NB b) 1 AN AB ĐÁP ÁN Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm) Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d 1. NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d 1. VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1.(1) T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b23 (3) (0,5 ®) Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b23 => (a2-b2)2  3 mµ 3a2b2  3 víi mäi a Z nªn (a2-b2)2+ 3a2b2  3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]  3.3 hay a6-b6  9 (0,5 ®) b) (1,0 ®iÓm) Ta cần chứng minh: n5 – n  10 * Chứng minh : n5 - n  2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  2 (0,25 ®) (vì với n N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n  5 n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )  5 ( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 )  5 với mọi n N ) (0,5 ®) Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n  2.5 tức là n5 – n  10 Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®) Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 1 1 1 1 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 87
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 (0,5 ®) 1 1 1 (x 4) (x 7) 18 => 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0 (0,25 ®) => x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2 (0,25 ®) b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,25 ®) x y 0 2009 2009 2009 y z 0 x y z x = y = z (1) (0,25 ®) z x 0 Theo bµi ra ta cã x2009 y2009 z 2009 32010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 (0,25 ®) Vảy x = y = z = 3 (0,25 ®) Bµi 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 Nảu a, b, c là các sả dương thoả mãn: a b c a b c th× ta có bảt đảng thảc a b c 3abc 1 1 1 bc ca ab Ta cã a b c a b c a b c abc ab bc ca (a b c)abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0) Mµa2 b2 2ab; c2 b2 2cb;a2 c2 2ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc 2(a2 b2 c2 ) 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca) (1) L¹i cã (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a b c)2 3(ab bc ca) ( ) Tõ (*) vµ( ) ta cã (a b c)2 3abc(a b c) a b c 3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã: 1 1 (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 . 10 10 3 1 DÊu b»ng xÈy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2) x y 88
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 3 Tõ (1) vµ (2) => b ; a 50 20 Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN. NC NB b) 1 AN AB 1 a) ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = AC ) 2 C CNM + MNA = 1v F M BAN + NAC = 1v N Mµ MNA = NAC => CNM = BAN MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN A E B => BNE BAN b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN. Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng) => CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => BAN BFA => FA BF NC FN NB NC AB NB NC NB 1 (§pcm) AN BA AN AB AN AB AN AB CN AC AN C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ACN EAN => (1) AN EA EN AN BA BE NB BNE BAN => (2) va (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE NE BN BN AB CN AC CN AB AE EB EB EB Tõ 1 1 4 AN EA AN AE AE AE BN CN NB Tõ (3) vµ (4) => 1 (§pcm) AN AB §Ề SỐ 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x2 7x 6 2. x4 2008x2 2007x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 89
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 1 1 ) 9 a b c 3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc x2 10x 21 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC Bµi C© Néi dung §iÓm 1 u 1. 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) 90
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 0.5 x 1 x 6 0,5 1.2 (1,25 ®iÓm) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 0,25 4 2 2 2 2 2 2 x x 1 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 0,25 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 0,25 2. 2,0 2.1 x2 3x 2 x 1 0 (1) + NÕu x 1 : (1) x 1 2 0 x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1). + NÕu x 1 : (1) 0,5 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i) 0,5 VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x 1 . 2.2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0,25 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 0,5 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0 hay x 8 vµ x 0 . 0,25 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x 8 3 2.0 3.1 Ta cã: 1 1 1 a a b b c c A= (a b c)( ) 1 1 1 0,5 a b c b c a c a b a b a c c b =3 ( ) ( ) ( ) b a c a b c x y Mµ: 2 (B§T C«-Si) y x 0,5 Do ®ã A 3 2 2 2 9. VËy A 9 3.2 Ta cã: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 0,5 §Æt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i: P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do ®ã khi chia t 2 2t 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 0,5 91
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 4 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA (Hai CE CB tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB 1,0 ®ång d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: B· EC ·ADC 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn ·AEB 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy 0,5 ra: BE AB 2 m 2 4.2 BM 1 BE 1 AD Ta cã:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC 0,5 mµ AD AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn   (do BC 2 AC 2 AC AB 2 BE 0,5 ABH : CBA ) Do ®ã BHM : BEC (c.g.c), suy ra: B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GB AB Suy ra: , mµ GC AC AB ED AH HD 0,5 ABC : DEC ED // AH AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD 0,5 Do ®ã: GC HC GB GC HD HC BC AH HC ®Ò SỐ 40 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x 2 P = 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 92
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 15 x 1 1 a) 2 1 12 x 3 x 4 x 4 3 x 3 148 x 169 x 186 x 199 x 10 b) 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 x y Đ¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5® 1 5 3 7 x ; x ; x ; x ; x 4 §iÒu kiÖn: 2 2 2 4 0,5® 2 x 3 a) Rót gän P = 2® 2 x 5 1 1 1 b) x x hoÆc x 2 2 2 1 1 +) x P = 2 2 93
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 2 +) x P = 1® 2 3 2 x 3 2 c) P = = 1 2 x 5 x 5 Ta cã: 1 Z 2 VËy P Z khi Z x 5 x – 5 ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x = 3 (TM§K) x – 5 = -1 x = 4 (KTM§K) x – 5 = 1 x = 6 (TM§K) x – 5 = 2 x = 7 (TM§K) KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1® 2 x 3 2 d) P = = 1 0,25® 2 x 5 x 5 Ta cã: 1 > 0 2 §Ó P > 0 th× > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5® x 5 Víi x > 5 th× P > 0. 0,25 Bµi 2: 15 x 1 1 a) 2 1 12 x 3 x 4 x 4 3 x 3 15x 1 1 1 12 §K: x 4; x 1 x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1® 148 x 169 x 186 x 199 x 10 b) 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 (123 – x) = 0 25 23 21 19 94
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 Do > 0 25 23 21 19 Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1® c) x 2 3 5 Ta cã: x 2 0x => x 2 3 > 0 nªn x 2 3 x 2 3 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng: x 2 3 5 x 2 = 5 – 3 x 2 = 2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1® Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25® VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ: x 3x (km / h) 1 1 (3h20’ = 3 h ) 0,25® 3 10 3 3 VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ: 3x 5 km / h 0,25® 10 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 3x 5 .3 x 10 0,5® x =150 0,5® VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25® 3.150 VËn tèc dù ®Þnh lµ: 45 km / h 10 D C Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng P 0,5® M O I F E A B 95
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® MF AD c) MAF : DBA g g nªn kh«ng ®æi. (1®) FA AB PD 9 PD PB d) NÕu th× k PD 9k, PB 16k PB 16 9 16 CP PB NÕu CP  BD th× CBD : DCP g g 1® PD CP do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5® do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm. 1 1 2 b) 1 x 2 1 y 2 1 x y (1) 96
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x2 1 y2 1 xy V× x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1® ĐỀ SỐ 41 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 1 0 x 2 7 x 5 7 b) (0,75đ) Xét 5 x 4 (0,25đ) B 2 x 3 2 x 3 97
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 7 Với x Z thì A  B khi Z 7  ( 2x – 3) (0,25đ) 2x 3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ) x y 4 4 c) (1,5đ) Biến đổi = x x y y y3 1 x3 1 (y3 1)(x3 1) x 4 y4 (x y) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y2 y 1)(x 2 x 1) 2 2 = x y x y x y (x y) (0,25đ) xy(x 2 y2 y2x y2 yx 2 xy y x 2 x 1) 2 2 = x y (x y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xy x y xy(x y) x y xy 2 2 2 = x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 2 xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x 2 y2 3) xy(x 2 y2 3) = 2(x y) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x 2 y2 3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) (1,75đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 (0,25đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x 2009)( ) 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do đó : 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = - 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2009 E 2 I 1 Bài 3: (2 điểm) 1 a) (1đ) B C 2 F Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D O ˆ ˆ Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 A D 98
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 0 Mà E1 E2 F1 = 90 F2 E2 F1 = 90 EDF = 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 1 B Tương tự BI = EF DI = BI 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàngD C Bài 4: (2 điểm) A a) (1đ) E DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 a BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) 2 b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 2 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 2 4 8 2 4 2 8 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi 2 8 8 (0,25đ) 3 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) 8 ĐỀ SỐ 42 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 99
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 4x 2 16 A x 2 2 x 5x 5 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 2x 2 2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n BiÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A = x(4x 2 16 x[(2x) 2 42 x(2x 4)(2x 4) x.2(x 2).2(x 2) 4(x 2) 4x 8 x 2 2x x 2 2x x(x 2) x(x 2) Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 2x 0 vµ x + 1 0 x 0 vµ x -1 (1 ®iÓm) b) Rót gän: 100
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 5x 5 5(x 1) 5 (0,5 ®iÓm) 2x 2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (0,25 ®iÓm) 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x (0,25 ®iÓm) 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2 x(x 2) - (x - 2) 2 - Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2; x(x 2) x(x 2) 1 ® x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = 1 b) x2 – 9 - 4 1® VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy 0,5 ® §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) 0,5 ® - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) 0,5 ® Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 ® x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) 1 ® Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: 1 ® Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1 ® b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC 1 ® ta cã : BC = AB 2 AC 2 = 152 202 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn hay HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25 1 ® 15.15 BH = 9 (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = BH 9 3,5(cm) 2 2 1® 1 1 2 SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm ) 2 2 - VÏ ®óng h×nh: A 1 ® 101
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 B H M C ĐỀ SỐ 43 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) 102
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) ) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k2 abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC C’ SHBC 2 HA' B’ x a) ; H S 1 AA' N ABC .AA'.BC M 2 I A’ C (0,25điểm) B SHAB HC' S HB' D Tương tự: ; HAC SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: 103
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM (0,5điểm ) c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ò SỐ 44 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 3n3 2n 2 6n 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 104
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5 0,5 2 b, (2®iÓm) B=n2+3n- 0,5 n 2 2 2 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n +2 0,5 n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 0,5 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) 0,5 HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 2 0,5 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n- 0,5 1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) 0,5 Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh 0,5 ph¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng a, (1®iÓm) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc 2 abc ac ac c 1 0,5 ac abc c abc ac 1 = 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 0,5 2 2 2 2 2 2 b, (2®iÓm) a+b+c=0 a +b +c +2(ab+ac+bc)=0 a +b +c = - 0.5 2(ab+ac+bc) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c +2(a b +a c +b c )=4( a b +a c +b c )+8abc(a+b+c) V× 0.5 a+b+c=0 C©u 2 0.5 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5®iÓm) 2 2 2 2 2 2 2 MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) =2(a b +a c +b c )+4abc(a+b+c) . V× 0.5 a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 105
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi 0,5 x=y 0,5 a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c 0,5 2. . 2. ; 2. . 2. ; b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b c 2 b 2 c b b 2. . 2. a 2 c 2 a c a 0,5 Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b 2 c2 a c b 2( ) 2( ) b 2 c2 a 2 c b a a 2 b 2 c2 a c b b 2 c2 a 2 c b a x 214 x 132 x 54 a, (2®iÓm) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1,0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 0,5 86 84 82 1 1 1 0,5 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 0,5 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 0,5 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 1 1 x= ; x 2 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 1 VËy S = ,  2 4  0,5 c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 2 2 (x+1) -(y+2) =7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn 0,5 d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) 106
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBAA B 0,5 (cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) 0,5 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I M 0,5 N C D 1,0 0,5 EO AO b, (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC 1,0 C©u 4 DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB (5®iÓm) 1,0 DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN. ĐỀ THI SỐ 45 Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 – xz – 9y2 + 3yz. b) 4x4 + 4x3 – x2 - x. Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc. 2 3 6x P = (x 3x + ): ( -)1 x 3 3x 2 9x 27 x 2 9 x 3 x 3 3x 2 9x 27 a) Rót gän P. b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo? c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh. a) x3 – 3x2 + 4 = 0 1 1 1 1 31 b) 1 . 1 1 1 1.3 2.4 3.5 x(x 2) 16 Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh. Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1. 107
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Bµi 5: (3.5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®- êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng: a) OA.OB = OC.OH b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi. c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi. BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8 Bµi 1: (1.5®) C©u a: (0.57®) = (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 0.25® = (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25® = (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25® C©u b: (0.75®) = x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25® = x4x 2 x 1 x 1  0.25® = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25® Bµi 2: (2.5®) C©u a: 1® x(x 3) 3 1 6x P = 2 2 : 2 0.25® (x 9)(x 3) x 9 x 3 (x 3)(x 9) x 3 x 2 9 6x = : 0.25® x 2 9 x 3 x 2 9 x 3 x 3 x 2 9 = . 0.25® x 2 9 x 3 2 = x 3 0.25® x 3 C©u b: (0.75®) x 3 P = Px - 3P = x + 3 0.25® x 3 (P – 1)x = 3(P + 1) 108
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 3 P 1 x = P 1 3 P 1 P 1 Ta cã: x > 0 x 0 0 P 1 P 1 P 1 0 P 1 0 P 1 P 1 0 P 1 P 1 0 VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25® C©u c: 0.75® §KX§: x 3 x 3 x 3 6 6 P = = 1 0.25® x 3 x 3 x 3 P nhËn gi¸ trÞ nguyªn x - 30 ¦ (6) = 1; 2; 3; 6 Tõ ®ã t×m ®îc x 4;2;5;1;6;0;9; 3 0.25® KÕt hîp víi §/Cx 3 ; x z ta ®îc. x 4;2;5;1;6;0;9 0.25® VËy x 4;2;5;1;6;0;9 th× P nguyªn. Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1.5®) C©u a: (0.75®) - §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0 0.50® x 1 x 2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 0.25® C©u b: (0.75®) §K: x N*n 2 2 32 4 2 (x 1) 2 31 - §a vÒ d¹ng . . 0.25® 1.3 2.4 3.5 x(x 2) 16 2(x 1) 31 0.25® x 2 16 Tõ ®ã t×m ®îc x = 30 (t/m x N*) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30 0.25® Bµi 4: (1®) Gi¶ sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1 abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 0.25® 109
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 v× 0 0. Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt. a = 2 – a a = 1 T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt b = 1 c(2 – c) lín nhÊt c = 1 VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1 (2) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1 0.25® (1) vµ (2) m©u thuÈn nhau. Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1 0.25® Bµi 5: (3.5®) C K H M O B A C©u a: (1®) Chøng minh: B0H C0A (g.g) 0.5® 0B 0H 0A.0B = 0C.0H 0.25® 0C 0A C©u b: (1.25®) 0B 0H (suy ra tõ B0H C0A) 0C 0A 0A 0H 0.25® 0C 0B - Chøng minh 0HA 0BC (c.g.c) 0.25® OHA = OBC (kh«ng ®æi) C©u c: (1.25®) VÏ MK BC BM BK - BKM BHC (g.g) BC BH BM.BH = BC.BK (1) 0.5® CKM CAB (g.g) 0.25® 110
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 CM CK CM.CA = BC.CK (2) 0.25® CB CA - Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc: - BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK = BC . (BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi) 0.25® ĐỀ THI SỐ 46 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị của x để A > 0? f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 d) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 111
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 112
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 113
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 114
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k2 abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 hoặc m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 hoặc m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' a) ; S 1 AA' ABC .AA'.BC 2 (0,25điểm) 115
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 SHAB HC' S HB' Tương tự: ; HAC SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điảm ) BI.AN.CM BN.IC.AM (0,5điảm ) c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) A C’ B’ x H N M I A’ C B D *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. 116
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ĐỀ THI SỐ 48 Bµi 1: (6 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0 1 2x 3 b, 2 x 1 1 x c, |x - 4| + |x - 9| = 5 Bµi 2: (4 ®iÓm) x 1 x 1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x (m 2)x víi m lµ h»ng sè. m m Bµi 3: (3 ®iÓm) Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®êng cao thø hai. Bµi 4: (3 ®iÓm) Mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc. Cïng lóc ®ã mét vßi níc kh¸c 4 ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê lîng níc ch¶y ra b»ng lîng níc ch¶y vµo. Sau 5 giê 5 1 níc trong bÓ ®¹t tíi dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã níc mµ chØ më vßi ch¶y 8 vµo th× bao l©u bÓ ®Çy? Bµi 5: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã Aµ 2Bµ . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a2 = b2 + bc. ĐÁP ÁN Bµi S¬ lîc lêi gi¶i §iÓm Bµi 1 a, §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. 1 (6 Gi¶i ®îc x = -5 hoÆc x = 2 1 ®iÓm) b, §KX§: x 1. 0,5 1 3 2x Víi x 1 ta cã 2 1 2(x 1) 3 2x 4x 4 x 1 x 1 x 1 1 Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph¬ng tr×nh v« 0,5 nghiÖm. x 4 víi x 4 x 9 víi x 9 c, NhËn xÐt |x - 4| = vµ |x - 9| = 4 x víi x -2x = -8 x = 4 (kh«ng tháa m·n) 0,5 - Víi 4 x 5 = 5 (lu«n ®óng) 0,5 - Víi x 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng 0,5 x - 4 + x - 9 = 5 2x = 18 x =9 (tháa m·n) VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ S = x | 4 x 9 Bµi 2 x 1 x 1 2 x (m 2)x (m 1)x (1) (4 m m m 1 117
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ®iÓm) 2 - NÕu m 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) x m(m 1) 0,5 - NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) 0x 1 th× tËp nghiÖm lµ S = x | x  m(m 1) 0,5 - Víi m = 1 th× S = R 0,25 Bµi 3 - VÏ h×nh: (3 A 8cm B 0,5 ®iÓm) 6cm K D H C Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®êng cao dµi 5cm . V× 5 AK = 1 20 (cm) 3 AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 1 15 (cm) 0,5 4 20 15 VËy ®êng cao thø hai cã ®é dµi lµ cm hoÆc cm 3 4 Bµi 4 Gäi thêi gian vßi níc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0 0,5 1 (3 Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®îc bÓ ®iÓm) x 4 1 giê vßi kh¸c ch¶y ra lîng níc b»ng bÓ. 0,5 5x 1 4 1 0,5 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh .5 x 5x 8 Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc x = 8 (TM§K x>0) 1 VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. 0,5 Bµi 5 - VÏ h×nh ®óng 0,5 (4 0,25 ®iÓm) 118
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 2 2 2 E HÖ thøc a = b + bc a = b (b + c) 0,25 Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c. c 0,5 Khi ®ã A· BE Eµ (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A) B· AC A· BE Eµ (gãc ngoµi tam gi¸c) nªn 0,5 A c B µ µ A 2E . 1 Theo gi¶ thiÕt Aµ 2Bµ . VËy Eµ A· BC . 0,25 b Chøng minh ®îc BCE ACB (g.g) a BC CE suy ra BC2 AC.CE 0,25 AC BC C hay a2 = b (b + c) ĐỀ THI SỐ 49 Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức x y 3x y y x A g xy y2 x2 xy x y Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình 3x x 3x 0 x 2 5 x x 2 x 5 Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên x3 3x2 11x 8 A x 5 Baøi 4: ( 3 ñieåm ) Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng 3 số 4 học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối? Baøi 5: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi? Baøi 6: ( 4 ñieåm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC BD, BD=15(m). 119
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh BD2 = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE. b/ Tính diện tích hình thang ABCD. ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM Baøi Ñaùp aùn Ñieåm 1 (3 đ) x y 3x y y x A g xy y2 x2 xy x y * Điều kiện: x 0; y 0; x y x y 3x y y x x y 3x y x y A g g 1 xy y2 x2 xy x y y x y x x y x y x y 3x y x y x 3x y y 1 y x y x x y xy x y 2 x2 xy 3xy y2 x y x y 1 xy x y xy x y xy 2 3x x 3x (3 đ) 0 x 2 5 x x 2 x 5 * Tập xác định: x 2; x 5 0,5 3x x 3x 3x x 3x 0 0 1 x 2 5 x x 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 2 2 3x x 5 x x 2 3x 0 3x 15x x 2x 3x 0 1 2 x 0 TXÑ 2x 10x 0 2x x 5 0 x 5 0 x 5 TXÑ 0,5 Vaäy S 0 3 3 2 (3 ñ) x 3x 11x 8 2 3 1 A x 2x 1 x 5 x 5 3 1 A   x 5 1; 3 x 5 *x 5 1 x 6;4 0,5 *x 5 3 x 8;2 0,5 x 2;4;6;8 4 (3 ñ) Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0) 0,25 120
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh) 0,25 Ta coù phöông trình: 3 60 3 3 1 .x 270 x .x 270 x 4 100 4 5 3 810 3x .x 15x 3240 12x 27x 3240 1 4 5 x 120 (Nhaän) 0,25 Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 0,25 = 150 hoïc sinh. 5 (4 ñ) a/ 1  MN / /DF; MN DF 2  MN / /PQ; MN PQ . Vaäy MNPQlaø hình 1 PQ / /DF;PQ DF 2  1 bình haønh. b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ 0,5 Maø AC  MP AF 2  AC AB AB 1 NQ AD 2  Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät. Hoaëc: MN  MQ MN / /BC  AE  BC;ñoàngthôøi EB EC MQ / / AE  Neântam giaùc ABC caântaïi A. c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ BC AE 1 0,5 MN MQ AE BC 4 2 2 Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi. 1 121
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 MP  NQ AC  AB Hoaëc: Vaäy tam giaùc ABC vuoângtaïi A 6 (4 ñ a/ Keû BH  DC DH 2 BD2 BH 2 152 122 92 DH 9 m Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB 1 · · BHD DBE 1v   BDH  EDB · 1 BDE chung  BD DH BD2 DE 25 m DE BD DH 1 b/ 1 SABCD AB DC BH 2 1 1  DE  BH 2512 150 m 2 2 0,5 0,5 122