Tuyển tập 62 đề thi HSG Toán 6

101 trang mainguyen 5431

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 62 đề thi HSG Toán 6", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_62_de_thi_hsg_toan_6.docx

Nội dung text: Tuyển tập 62 đề thi HSG Toán 6

Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Số đú chia hết cho 5 nờn số đú phải cú chữ số tận cựng là số 0 hoặc 5.Số đú vừa chia hết cho 3 và9 .Nờn số đú phải cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9. Vậy : Chữ số tận cựng của số đú là 0 *260 . Chữ số đầu là số 1 Do đú số đó cho là 1260 4 ) Bài 4. Tỡm số tự nhiờn n . Mà 1! +2!+3! + +n! là bỡnh phương của một số tự nhiờn. Xột : n = 1 1! = 12 n = 2 1! +2! = 3 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 thỡ n! = 1.2.3 n là mội số chẳn .Nờn 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng sốcú chữ số tận cựng của tổng đú là chữ số 3 .Nờn nú khụng phải là số chớnh phương. Vậy chỉ cú hai giỏ trị n=1 hoặc n=3 thỡ 1! +2! + 3! +4! + +n!là số chớnh phương. 5 ) Giải 1 giờ xe thứ nhất đi đươc 1 quảng đường AB. 2 1 giờ xe thứ 2 đi được 1 quảng đường AB . 3 1 giờ cả 2 xe đi được 1 +1 = 5 quảng đương AB. 2 3 6 Sau 10 phỳt = 1 giờ : Xe thứ nhất đi được 1 . 1 = 1 quảng đường AB. 6 6 2 12 Quảng đường cũn lại là: 1 11 1 - (của AB) 12 12 Thời gian hai xe cựng đi quảng đường cũn lại là: 11 :5 = 11 giờ = 1 giờ 6 phỳt. 12 6 10 Hai xe gặp nhau lỳc 7 giờ 10 phỳt + 1 giờ 6 phỳt = 8 giờ 16 phỳt . Đỏp ỏn : 8 giờ 16 phỳt. (0,25đ) 6) Hỡnh học. (tự vẽ hỡnh) (2đ) Vỡ : xã Oy = 1200 , Ã Oy = 750, điểm A nằm trong gúc xOy nờn tia OA nằm giữa hai tia Ox và Oy. Ta cú : xã OA = xã Oy - Ã Oy =1200 - 750 = 450 Điểm B cú thể ở hai vị trớ : B và B’. (0,75đ) +, Tại B thỡ tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nờn Bã Ox + xã OA = 1350 + 450 = 1800 . Do đú ãBOA = Bã Ox + xã OA =1800 . Nờn 3 điểm A,O,B thẳng hàng. (0,75đ) +, Cũn tại B’ thỡ : xã OB' = 1350 < 1800, Ã OB' = xã OB' - xã OA = 1350 - 450 = 900 . Nờn 3 điểm A,O, B’ khụng thẳng hàng.(0,5đ) ĐỀ SỐ 26 Thời gian làm bài: 120 phỳt 1 1 1 1 Cõu 1: Tớnh tổng A 3 32 33 3100 Cõu 2: Tỡm số tự nhiờn a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: 40
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a 5 b 12 c 6 ; ; b 3 c 21 d 11 Cõu 3: Cho 2 dóy số tự nhiờn 1, 2, 3, , 50 a-Tỡm hai số thuộc dóy trờn sao cho ƯCLN của chỳng đạt giỏ trị lớn nhất. b-Tỡm hai số thuộc dóy trờn sao cho BCNN của chỳng đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành cỏc gúc AOB, BOC, COD, DOA khụng cú điểm chung. Tớnh số đo của mổi gúc ấy biết rằng: Bã OC = 3 Ã OB ; Cã OD = 5 Ã OB ; Dã OA = 6 Ã OB HƯỚNG DẪN Cõu 1: Ta cú 3A = 1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399 vậy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 suy ra A= (3100-1) )/ 2.3100 Cõu 2: Ta cú 12/21= 4/7, cỏc phõn số 3/5, 4/5, 6/11 tối gión nờn tồn tại cỏc số tự nhiờn k, l, m sao cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m. Từ cỏc đẳng thức 5k=4n, và 7k = 6m ta cú 4n 5 và 7n 6 mà (4,5)=1; (7,6)=1 nờn n 5, n 6 mặt khỏc (5,6) =1 do đú n 30 để cỏc số tự nhiờn a, b, c, d nhỏ nhất và phải khỏc 0 , ta chọn n nhỏ nhất bằng 30 suy ra: k =24, m=35 vậy a=72, b=120, c=210, d=385. cõu 3: Gọi a và b là hai số bất kỡ thuộc dóy 1, 2, 3, , 50. Giả sử a>b. a.Gọi d thuộc ƯC(a,b) thỡ a-b d ta sẽ chứng minh d ≤ 25 thật vậy giả sử d>25 thỡ b>25 ta cú a ≤ 50 mà b>25 nờn 0 1800 vỡ nếu trỏi lại thỡ gúc AOD cú điểm trong chung với ba gúc kia. Đặt Ã OB = ỏ ta cú: Ã OB + Bã OC + Ã OD + Cã OD = 3600 ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=3600 ỏ = 240. Vậy: Ã OB = 240 ; Bã OC =720 ; Cã OD = 1200 ; Dã OA = 1440 ĐỀ SỐ 27 Thời gian làm bài: 120 phỳt Cõu 1: (3đ). a. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Cú 20 học sinh thớch búng đỏ, 17 học sinh thớch bơi, 36 học sinh thớch búng chuyền, 14 học sinh thớch đỏ búng và bơi, 13 học sinh thớch bơi và búng chuyền, 15 học sinh thớch búng đỏ và búng chuyền, 10 học sinh thớch cả ba mụn, 12 học sinh khụng thớch mụn nào. Tớnh xem lớp học đú cú bao nhiờu học sinh? b. Cho số: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .58 59 60. - Số A cú bao nhiờu chữ số? 41
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 - Hóy xúa đi 100 chữ số trong số A sao cho số cũn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Cõu 2: (2đ). a. Cho A = 5 + 52 + + 596. Tỡm chữ số tận cựng của A. b.Tỡm số tự nhiờn n để: 6n + 3 chia hết cho 3n + 6 Cõu 3: (3đ). a. Tỡm một số tự nhiờn nhỏ nhất biết rằng khi chia số đú cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9. b. Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133. Cõu 4: (2đ). Cho n điểm trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng cú tất cả 105 đường thẳng. Tớnh n? ĐÁP ÁN Cõu 1: (3đ). a. Vẽ được sơ đồ cho (1,5đ). - Số học sinh thớch đỳng 2 mụn búng đỏ và bơi: 14 – 10 = 4 (hs) - Số học sinh thớch đỳng hai mụn bơi và búng chuyền: 13 – 10 = 3 (hs). - Số học sinh thớch đỳng hai mụn búng đỏ và búng chuyền: 15 – 10 = 5 (hs) - Số học sinh chỉ thớch búng đỏ: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (hs) - Số học sinh chỉ thớch bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (hs). - Số học sinh chỉ thớch búng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs). Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs). b. (1,5 đ) A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 59 60. * Từ 1 đến 9 cú : 9 chữ số Từ 10 đến 60 cú: 51 . 2 = 102 chữ số. Vậy: Số A cú 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) * Nếu xúa 100 chữ số trong số A thỡ số A cũn 11 chữ số. Trong số A cú 6 chữ số 0 nhưng cú 5 chữ số 0 đứng trước cỏc chữ số 51 52 53 . 58 59 60. Trong số nhỏ nhất cú 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số cú 6 chữ số. Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ). * Trong số A cú 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất cú 6 chữ số 9 đứng liền nhau thỡ số đú là: 99999960 Số này chỉ cú 8 chữ sú khụng thỏa món. Số lớn nhất chỉ cú 5 chữ số 9 liền nhau số đú cú dạng 99999 . Cỏc chữ số cũn lại 78 59 60. Vậy số lớn nhất: 99999785860. Cõu 2: (2,5đ). a.(1,5đ). A = 5 + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 97 5A – A = 597 - 5 A = 5 - 5 4 Tacú: 597 cú chữ số tận cựng là 5 597 – 5 cú chữ số tận cựng là 0. Vậy: Chữ số tận cựng của A là 0. b. (1đ). Cú: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9 42
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 6n + 3 chia hết 3n + 6 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6 9 chia hết 3n + 6 3n + 6 = 1 ; 3 ; 9 3n + 6 - 9 - 3 - 1 1 3 9 n - 5 - 3 - 7/3 - 5/3 - 1 1 Vậy; Với n = 1 thỡ 6n + 3 chia hết cho 3n + 6. Cõu 3: (2,5đ). a. (1đ). Gọi số tự nhiờn cần tỡm là a (a > 0, a N) Theo bài ra ta cú: - a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 - a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 - a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5 - a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60. b.(1,5đ). 11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacú: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 11n + 1 + 122n + 1 Cõu 4: (2đ). n n 1 Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: 105 2 n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14 n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vỡ n và n – 1 là 2 số tự nhiờn liờn tiếp nờn: n = 14 Vậy n = 14. ĐỀ SỐ 28 Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài 1:(2,25 điểm) Tỡm x biết 1 7 4 5 a) x+ b) x- c)(x-32).45=0 5 25 9 11 Bài 2:(2,25 điểm) Tớnh tổng sau bằng cỏch hợp lý nhất: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + + 20. b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + + 25. c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + + 26. Bài 3:(2,25 điểm) Tớnh: 5 5 5 5 a) A= 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 1 1 1 b) B= 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 c) C = 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 43
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 4:(1 điểm) 102001 1 102002 1 Cho: A= ; B = . 102002 1 102003 1 Hóy so sỏnh A và B. Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trờn tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trờn tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. a) Hóy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b) Tớnh IK. ĐÁP ÁN Bài 1:(2,25 điểm) 7 1 2 5 4 45 44 89 a) x= ; b) x= ; c) x = 32 25 5 25 11 9 99 99 Bài 2:(2,25 điểm) Tớnh tổng sau bằng cỏch hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144. c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152. Bài 3:(2,25 điểm) Tớnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a) A= 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 b) B= 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 c) C = 1 1 2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 4:(1 điểm) 102002 10 9 Ta cú: 10A = = 1 + (1) 102002 1 102002 1 102003 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 102003 1 102003 1 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B 102002 1 102003 1 Bài 5:(2,25 điểm) A a) Trờn tia BA ta cú BK = 2 cm. BA = 7cm nờn BK< BA do đú điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trờn tia AB cú điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nờn điểm I nằm giữa A và K b) Do I nằm giữa A và K nờn AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5- 4 = 1. ĐỀ SỐ 29 Thời gian làm bài: 120 phỳt 44
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 1: ( 3 điểm) a. Chứng tỏ rằng tổng sau khụngm chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # 0 ) b. Tỡm số tự nhiờn n để cỏc biểu thức sau là số tự nhiờn: 2n 2 5n 17 3n B = n 2 n 2 n 2 c. Tỡm cỏc chữ số x ,y sao cho: C = x1995y chia hết cho 55 Bài 2 (2 điểm ) 10 10 10 10 a. Tớnh tổng: M = 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b. Cho S = . Chứng minh rằng : 1 n+2 ư ( 18) = 1;2;3;6;9;18 (0,25 điểm) +, n + 2= 1 n= - 1 (loại) +, n + 2= 2 n= 0 +, n + 2= 3 n= 1 +, n + 2= 6 n= 4 +, n + 2= 9 n= 7 +, n + 2= 18 n= 16 Vậy n 0;1;4;7;16 thỡ B N (0,25điểm) 45
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 c. (1 điểm) Ta cú 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1 (0,25 điểm) C5 1 Do đú C =x1995y 55 (0.25 điểm) C11 2 (1) => y = 0 hoặc y = 5 +, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7 (0,25 điểm) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = 1 (0,25 điểm) Baỡ 2 (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 5 5 M = = (0,25 điểm) 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 1 1 1 1 1 1 1 =. ( 0, 25 điểm) 3 4 7 7 10 10 13 25 28 5 1 1 5 6 5 = . . ( 0,5 điểm) 3 4 28 3 28 14 b. (1 điểm) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = => S > 1 (1) ( 0,5điểm) S= 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 => S 1 BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25 điểm) MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5 điểm). c. Đường trũn tõm N đi qua B nờn CN = NB = 1 cm (0,25 điểm) Đường trũn tõm A đi qua N nờn AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25 điểm) Chu vi CAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5 điểm) ĐỀ SỐ 30 Bài 1 : Tỡm x biết 46
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a ) x + (x+1) +(x+2) + +(x +30) = 620 b) 2 +4 +6 +8 + +2x = 210 Bài 2 : a) chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiờn liờn tiếp luụn cú 1 số chia hết cho 3 b) cho A =( 17n +1 )(17n +2 ) 3 với mọi n N Bài 3: Cho S = 1+3+32 +33+ +348 +349 a ) chứng tỏ S chia hết cho 4 b) Tỡm chữ số tận cựng của S 50 c) Chứng tỏ S = 3 1 2 Bài 4 : Tỡm 2 số a ,b N thoả món : 12a + 36b = 3211 Bài 5 : Cho (2a + 7b) 3 ( a,b N ) Chứng tỏ : (4a + 2b ) 3 Bài 6 : Lấy 1 tờ giấy cắt ra thành 6 mảnh .Lấy 1 mảnh bất kỳ cắt ra thành 6 mảnh khỏc . Cứ như thế tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau khi đó cắt một số mảnh nào đú ,cú thể được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ khụng ? b) Giả sử cuối cựng đếm được 121 mảnh giấy nhỏ .Hỏi đó cắt tất cả bao nhiờu mảnh giấy ? Bài 7 : Cho đoạn thẳng AB .Hóy xỏc định vị trớ của điểm C trờn đoạn thẳng AB sao cho CA CB Bài 8 : Vẽ đoạn thẳng AB =5 cm .Lấy 2 điểm C ,D nằm giữa A và B sao cho : AC +BD=6 cm a) chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D b) Tớnh độ dài đoạn thẳng CD ĐÁP ÁN Bài 1 : (1 30)30 a) 31x + 620 31x 620 31.15 155 2 x= 155 :31 = 5 (2x 2)x b) 210 (x 1)x 210 210=2.3.5.7 =(2.7)(3.5)=14.15 2 Vậy x= 14 Bài 2 : a) gọi 3 số tự nhiờn liờn tiếp là x ,x+1, x+2 ( x N) - Nếu x = 3k ( thoả món ) .Nếu x= 3k +1 thỡ x+2 =3k+1+2 =(3k +3 )3 - Nếu x = 3k +2 thỡ x +1 = 3k+1 +2 = (3k +3 ) 3 Vậy trong 3 số tự nhiờn liờn tiếp cú 1 số chia hết cho 3 b )Nhận thấy 17n , 17n +1 , 17n + 2 là 3 số tự nhiờn liờn tiếp mà 17n khụng chia hết cho 3 ,Nờn trong 2 số cũn lại 1 số phải 3 Do đú : A =( 17n +1 )(17n +2 ) 3 Bài 3: a )Ta cú : S = (1+3)+(32+33)+ +(348+349) = 4+32(1+3)+ + 348(1+4) 4 47
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b ) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+ +(344+345+346+347) +348 +349 Cỏc tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10 ,do đú tận cựng bằng 0 Mặt khỏc 338 + 349 = 34.12 + 348 .3 = 1 + 1 .3 = 4 Vậy S cú tận cựng bằng 4 c ) S = 1+3+32 +33+ +348 +349 3S = 3 +3+32 +33+ +348 +349+ 350 3s s = 350 – 1 50 2S = 350 – 1 Suy ra S = 3 1 2 Bài 4 : Nhận thấy 12 a 4 và 36 b 4 mà 3211 khụng chia hết cho 4 , Vậy khụng cú 2 số tự nhiờn nào thoả món Bài 5 : Ta cú ( 6a + 9b ) 3 hay ( 2a + 7b +4a + 2b ) 3 .Mà (2a +7b ) 3 Nờn (4a + 2b ) 3 Bài 6 : a) Khi ta cắt 1 tờ giấy thành 6 mảnh thỡ số mảnh giấy tăng thờm 5 .Cắt nhiều lần như thế thỡ tổng số mảnh giấy tăng thờm 5k (k là tờ giấy đem cắt ) .Ban đầu chỉ cú 1tờ giấy ,Vậy tổng số cỏc mảnh giấy là 5k + 1 Số này chia 5 dư 1 : vậy khụng thể cú được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ ( vỡ 755 ) b) Ta cú 5k +1 = 121 k=24 .Vậy ta đó cắt được tất cả 24 mảnh giấy Bài 7 : A C M B - Gọi M là trung điểm của AB suy ra MA = MB và M AB Xột 3 trừơng hợp a ) C  M ta cú MA = MB suy ra CA = CB b ) C nằm giữa A và M CA < MA CA < MB (1) M nằm giữa C và B nờn MB < CB (2) Từ (1) & (2) CA < CB c ) C nằm giữa M và B CB < MB CB < MA ( 3) M nằm giữa A và C nờn MA < CA (4) Từ (3) và (4) CA < CB Túm lại C MA thỡ ta luụn cú CA CB Bài 8 : A D C B C nằm giữa A và B nờn : AC + CB = AB = 5 Và AC + BD = 6 AC + CB < AC + BD CB < BD C nằm giữa D và B b ) BD = BC + CD 48
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 vỡ AC + BD = 6 nờn AC + BC + CD = 6 (BC + AC) + CD = 6 CD = 6 – AB = 6 -5 =1 Vậy CD = 1 ĐỀ SỐ 31 Thời gian làm bài: 150 phỳt Năm học 2009 - 2010 Cõu 1 (2 điểm) Tớnh 101 100 99 98 . . . 3 2 1 423134 . 846267 423133 a/ A = b/ B = 101 100 99 98 . . . 3 2 1 423133 . 846267 423134 Cõu 2 (2 điểm) a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72 b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002 B = 22003 So sỏnh A và B c/ Tỡm số nguyờn tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là cỏc số nguyờn tố. Cõu 3 (2 điểm) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành cỏc tổ, nếu mỗi tổ 9 em thỡ thừa 1 em, cũn nếu mỗi tổ 10 em thỡ thiếu 3 em. Hỏi cú bao nhiờu tổ, bao nhiờu học sinh ? Cõu 4 (3 điểm) Cho +ABC cú BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a/ Tớnh độ dài BM b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tớnh CAM Biết Bã AM = 800; Bã AC = 600. Tớnh Cã AM c/ Tớnh độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm. 1 1 1 1 Cõu 5 (1 điểm)Chứng minh rằng: 1 22 32 42 1002 ĐÁP ÁN Cõu 1: 101. 51 a/ A = 101 (1 điểm) 51 423133 . 846267 846267 423133 b/ B = 1 (1 điểm) 423133 . 846267 423134 Cõu 2: a/ Vỡ 1028 + 8 cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 nờn tổng đú chia hết cho 9 Lại cú 1028 + 8 cú 3 chữ số tận cựng là 008 nờn chia hết cho 8 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm) b/ Cú 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1 => A = B – 1. Vậy A 0) + Nếu p = 5k thỡ do p nguyờn tố nờn k = 1 => p = 5 + Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3)  5 và lớn hơn 5 nờn là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2)  5 và lớn hơn 5 nờn là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3)  5 và lớn hơn 5 nờn là hợp số (loại) + Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2)  5 và lớn hơn 5 nờn là hợp số (loại) Thử lại với p = 5 thoả món (1 điểm) 49
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Cõu 3:Giả sử cú thờm 4 học sinh nữa thỡ khi chia mỗi tổ 10 em thỡ cũng cũn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cỏch chia sau hơn cỏch chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh) (1 điểm) Do đú số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm) Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm) Cõu 4: Vẽ hỡnh, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm) a/ C nằm giữa B và M => BC + CM = BM (1/2 điểm) => BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm) b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm) => BAC + CAM = BAM => Cã AM = Bã AM – Bã AC => Cã AM = 800 – 600 = 200(1/2 điểm) c/ Xột 2 trường hợp: + Nếu K nằm giữa C và M tớnh được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm) + Nếu K nằm giữa C và B tớnh được BK = 4,5 (cm) (1/2 điểm) Cõu 5:Ta cú: 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 32 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 99 . . . 1 1 42 3 4 (1/2 điểm) 22 32 42 1002 100 100 1 1 1 (1/2 điểm) 2 99 100 100 ĐỀ SỐ 32 Đề th chọn học sinh giỏi lớp 6 chuyờn toỏn ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1991-1992) Bài 1: ( 5 điểm ) 39 33 21 0,415 : 21 3 65 600 9 : 15 17 54 75 72 18,25 13 16 36 102 Bài 2: ( 5 điểm ) Tỡm hai số tự nhiờn a,b thoả món điều kiện: a + 2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114 Bài 3:Hỡnh học ( 6 điểm ) 1. Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng và AB + BC =AC. Điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại? Tại sao? 2. Cho gúc aOb và tia 0c nằm giữa hai tia Oa và Ob. Od là tia đối của tia Oc .Chứng minh rằng: a. Tia Od khụng nằm giữa hai tia Oa và Ob. 50
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b. Tia Ob khụng nằm giữa hai tia Oa và Od. Bài 4: ( 4 điểm ) Tớnh tỷ số A biết B 4 6 9 7 7 5 3 11 A B 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 ĐÁP ÁN Bài 1 7 0,96. 21 3 21 3 2,24 8 : 3 : 9 5 1 54 75 30 13 16 54 75 28 9 12 12 6 Bài 2: a 2b 48 a 2 ;144 3; 3a,b 3 a,b 3 a 3 a6 ; a 2b 48 a 48 a 6;12;18; 24; 30;36;42 A 6 12 18 24 30 36 42 B 21 18 15 12 9 6 3 (a,b) 3 6 3 12 3 6 3 [a,b] 42 36 90 24 90 36 42 (a,b) + 129 114 273 84 114 114 129 [a,b] Vậy a = 12; b = 18 hoặc a = 36 ; b = 6 Bài 4: 1 4 6 9 7 1 1  A 5 7.31 35.41 50.41 50.57 31 57 1 1 A 5  A B 1 7 5 3 11 1 1 5 2 B 2 B 2 19.31 19.43 23.43 23.57 31 57 ĐỀ SỐ 33 Đề thi học sinh giỏi lớp 6 chuyờn toỏn ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1993-1994) Cõu 1: (6 điểm) Thực hiện tớnh dóy 3 21 21 3 54 18 17 13 : 67 56 45 5 22 44 65 65 72 3 3 29 :100 (29 : 0,47) Cõu 2: (5 điểm) Tỡm 2 số tự nhiờn thoả món: - Tổng của BSCNN và ƯSCLN của 2 số ấy là 174. - Tổng của số nhỏ và trung bỡnh cộng của 2 số ấy là 57 Cõu 3 : (4 điểm) Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. - Cú bao nhiờu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đó cho.Kể tờn cỏc đạon thẳng ấy. - Cú thể dựng được một đường thẳng khụng đi qua điểm nào trong 5 điểm đó cho mà cắt đỳng 5 đoạn thẳng trong cỏc đoạn thẳng núi trờn khụng? Giải thớch vỡ sao: Cõu 4 : (5 điểm) 51
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Lỳc 8 giờ, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km /h. Lỏt sau người thứ 2 cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km /h. Tớnh ra hai người sẽ gặp nhau tại B. Người thứ 2 đi được nửa quóng đường AB thỡ tăng vận tốc lờn thành 24km /h. Vỡ vậy 2 người gặp nhau cỏch B 4 km.Hỏi 2 người gặp nhau lỳc mấy giờ? ĐÁP ÁN Bài 1: = 7 36 Bài 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114 b  3 ; [a,b]  3 và 174  3 (a,b)  3 a  3 Mà 3a + b = 114 3a < 114 a < 38 a 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15 6 (a,b) 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 [a,b] 105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36 Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42 Bài 4: Hiệu vận tốc trờn nửa quóng đường đầu là : 20 - 12 = 8 (km/h) Hiệu vận tốc trờn nửa quóng đường sau là : 24 - 12 = 12 (km/h) Hiệu vận tốc của nửa quóng đường đầu theo dự định bằng 2/3hiệu vận tốc trờn nữa quóng đường sau. Chỉ xột nửa quóng đường sau thời gian xe II đuổi kịp xe I trờn thực tế bằng 2/3thời gian xe hai đuổi kịp xe I theo dự định Thời gian hai xe đuổi kịp nhau sớm hơn là : 4: 12 = 1 h = 20 ' 3 Thời gian hai xe đuổi kịp nhau theo dự định: 20 . 3 = 60 ' = 1h Thoỡ gian xe hai cần để đuổi kịp xe một trờn cả quóng đường : 1 . 2 = 2h Quóng đường xe I đi trước là: 16 : 2 = 4 h = 1h 20' 3 Thời gian hai xe gặp nhau theo dự định: 8 h + 1h 20' +2h = 11h 20' Do hai xe trờn thực tế gặp nhau sớm hơn dự định 20' Hai xe gặp nhau lỳc 11h 20' - 20' = 11h ĐỀ SỐ 34 Đề thi chịn học sinh giỏi lớp 6 chuyờn toỏn ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1993-1994) Bài1: ( 4 điểm ) Cho 34 51 85 68 39 65 52 26 A B 7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49 Tớnh tỷ số A B Bài 2: ( 4 điểm ) Tỡm cỏc chữ số a,b sao cho số 7a4b chia hết cho 4 và chia hết cho 7. Bài 3 : ( 4 điểm ) Lỳc 8 giờ một người đi từ A dến B với vận tốc 25 km/h. Khi cũn cỏch B 20km người ấy tăng vận tốc lờn 30 km/h. Sau khi làm việc ở B trong 30 phỳt, rồi quay trở về A với vận tốc khụng đổi 30 km/h và đến Alỳc 12 giờ 2 phỳt. Tớnh chiều dài quóng đường AB. 52
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 4: ( 4 điểm ) Trờn tia Ax ta lấy cỏc điểm B, C, Dsao cho AB = 5cm; AC = 1cm; AD = 3 cm. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm C và B. Trờn đoạn thăng AB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm . Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm A và M a 4 a 2 Bài5: ( 4 điểm ) Tỡm phõn số thoả món điều kiện: và 7a + 4b = 1994 b 7 b 3 ĐÁP ÁN Bài 1: 34 51 85 68 34 1 1 68 1 1 17 1 1 A 7.13 13.22 22.37 37.49 6 7 13 12 37 49 3 7 49 39 65 52 26 39 1 1 26 1 1 13 1 1 B 7.16 16.31 31.43 43.49 9 7 16 6 43 49 3 7 49 A 34 26 17 : B 49 49 3 Bàỡ 2: 7a4b 4 4b4 b 0;4;8 7a4b7 a4b 7 7040 100a b 7 2a b 5 7 : b 0 2a 5 7 a 1;8 b 4 2a 9 7 a 6 b 8 2a 13 7 a 4 Vậy số đú là: 7140 ; 7840 ; 7644 hoặc 7448 Bài 3: Gọi điểm cỏch B 20km là C. Thời gian đi quóng đường CB và BC là: ( 20 . 2 ) : 30 = 1h 20' Thời gian đi quóng đường AC và CA là: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132' Tỷ số vận tốc trờn qóng đường AC và CA là 5 nờn tỷ số vận tốc trờn quảng đường 6 AC và CA là 6 5 Thời gian đi quóng đường AC là : 132 : 11 . 6 = 72' = 6 h 5 Chiều dài quóng đường AC là 6 . 25 = 30 (km) 5 Chiều dài quóng đường AB là : 50 km Bài 5: 1994 4b a 1994 4b 4 1994 4b 2 1994 4b 14 7a 4b 1994 a 4 7 b 7b 7 7b 3 b 3 1994 1994 1994 1 4 4 8 b b 294 b b 8 4 231 b 249 1994 14 1994 26 1 4 b 230 b 3 b 3 13 7k 6 7a 4b 1994 4b 7k 6 k N b ;b N k 4l 2(l N) b 7l 5 4 236 244 231 7l 5 249 l l 34 b 243 a 146 7 7 53
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 ĐỀ SỐ 35 ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1994-1995) Bài 1: ( 6 điểm ) Thực hiện dóy tớnh: 5 7 24 21 39 23 22 9 12 42 165 143 3,12 8,76 Bài 2: ( 5 điểm ) Tỡm số tư nhiờn nhỏ nhất cú chữ số hàngđơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 6 và chia hết cho 7. Bài 3: ( 5 điểm ) Trờn tia Ox cho ba điểm A, B, C phõn biệt. Chứng minh rằng: a. Nếu OA + OB < OC thi điểm B Nằm giữa hai điểm O và C. b. Nếu OA + AB + BC = OC thỡ điểm Bnằm giữa hai điểm A và C. Bài 4: ( 4 điểm ) Ba mỏy bơm cựng bơm vào một bể lớn , nếu dựng cả mỏy một và mỏy hai thỡ sau 1 giờ 20 phỳt bể sẽ đầy, dựng mỏy hai và mỏy ba thỡ sau 1 giờ 30 phỳt bể sẽ đầy cũn nếu dựng mỏy một và mỏy ba thỡ bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phỳt. Hỏi nếu mỗi mỏy bơm được dựng một mỡnh thỡ bể sẽ đầy sau bao lõu? ĐÁP ÁN Bài 1:10 9 Bài 2: 11k 4 x5; x7 x35 x 35q 2q 11k 4 q k2 k 2n n N q 11n 2 2 13l 6 9r 3 35q 13q' 6 9q 13l 6 q 4l 6 9 4l 9r 3 l r 3 4 9 4 13m 3 r 4m 1 m N l 9m 3 q 13m 5 11n 2 13m 5 n 2m 3 11 11 Gọi số đú là x Theo đề bài x là giỏ trị nhỏ nhỏt 2m + 3 = 11 m = 4 q = 57 x = 35 . 57 =1985 Bài 4: Một giờ mỏy một và hai bơm được 3 bể , mỏy hai và ba bơm 2 bể, mỏy một và ba 4 3 5 3 2 5 11 bơm bể. một giờ cả ba mỏy bơm :2 bể. 12 4 3 12 12 Mỏy ba bơm một mỡnh 6 giờ sẽ đầy bể Mỏy một bơm một mỡnh 4 giờ sẽ đầy bể Mỏy hai bơm một mỡnh 2 giờ sẽ đầy bể ĐỀ SỐ 36 Đề thi vào lớp 7 chuyờn toỏn ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1992-1993) 54
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 1: ( 6 điểm) Tỡm x biết: 5 4 3 19 3 1 1 27 26 19 13 4 59 118 13.16 14 .17 3 27 1 1 1 x 4 33 13.15 14 .16 15 .17 Bài 2: ( 5 điểm ) Tỡm số tự nhiờn a, b thoả món điều kiện: a + 2b = 49 và [a,b] + (a,b) = 56 Bài 3: ( 3 điểm ) Tỡm cỏc chữ số a,b sao cho số 2a3b chia hết cho 6 và chia hết cho 7. Bài 4: ( 5 điểm ) Cho gúc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phõn giỏc của gúc CMx, Mt là tia phõn giỏc của gúc xMy. a. Tớnh gúc AMy. b. Chứng minh rằng MC vuụng gúc với Mt. Bài 5: ( 2 điểm ) Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714 ĐÁP ÁN Bài 1: Tử số vế trỏi = 1 Tử số vế phải: 1 1 1 1 1 1 1 13.16 14.17 3 13 16 14 17 Mõ số vế phải 1 2 3 27 3 13 1 1 1 1 1 x . x 3 27 3 4 33 2 12 2 13 16 14 17 x . 4 33 Bài 2: Gọi (a,b) = d a + 2b = 49 49 d ; [a,b] + d = 56 56  d (56,49)  d d 0 ; 7 Nếu d = 1 ab = [a,b] [a,b] + 1 = 56 [a,b] = 55 ab = 55 A 1 55 5 11 B 55 1 11 5 Thay vào a + 2b = 49 cả 4 giỏ trị trờn đều khụng thoả món Nếu d = 7 ab = 7. [a,b] a = 7a' ; b = 7b' (a',b') =1 a'b' = 7 a' =1 ; b' = 7 a =7 ; b = 49 (loại) a' =7 ; b' = 1 a =49 ; b = 7 (loại) Vậy khụng cú hai số a và b thoả món điều kiện đề bài. Bài 3: 55
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 2a3b7 , 6 b 0;2;4;6;8 2a3b3 2030 10a b 3 a b 2 3 a b 1;4;7;10;13;16 2030 10a b 7 2a b 7 b 0 2a 7 a 0;7 a b 0;7  a 7 b 2 2a 2 7 a 6 a b 8 b 4 2a 4 7 a 5 a b 9 b 6 2a 6 7 a 4 a b 10 b 8 2a 8 7 a 3 a b 11 Vậy a = 7 ; b = 0 hoặc a= 4 ; b = 6 Bài 5 10 2 1025 238 238 210 3.73 210 3238 . 73 22380 3238 .7714 3 7 343 28 256 35 28 5 3 243 47 47 Matkhac 3238 33 .3235 33 . 35 33 28 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238 .7714 22380 2381 .7714 21999 7714 ĐỀ SỐ 37 Đề thi vào lớp 7 chuyờn toỏn ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1995-1996) 7 5 13.46. 28 27 Bài 1: Thực hiện dóy tớnh: (5 điểm) 13 18 5 5 5 5 59.212 14 84 204 374 Bài 2: (5 điểm) Tỡm cỏc chữ số 14a8b chia cho 7 và chia cho 8 đều dư 2. Bài 3: (5 điểm) Cho tam giỏc ABC cú AB = BC và M, N là cỏc điểm nằm giữa 2 điểm A và C sao cho AM + NC < AC. a) Chứng minh điểm M nằm giữa 2 điểm A và N. b) Chứng minh AM = NC thỡ BM = BN a 4 a 10 Bài 4: Tỡm phõn số thoả món cỏc điều kiện: (3 điểm) và 5a - 2b = 3 b 9 b 21 Bài 5: (2 điểm) Cho 4 số tự nhiờn tuỳ ý. Chứng minh rằng ta cú thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chỳng chia hết cho 5. ĐÁP ÁN Bài 1: 56
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 295 13.46 . 13.18 212 .295 2.11.17 187 A 12 . 12 1 1 1 1 59.5.2 .18 5.7 315 59.2 .5. 2.7 2.3.7 2.3.17 2.11.17 Bài 2: 14a8b :7 và :8 dư 2 Xột b 2 (14a8b –2 ) 7, 8 14a8c 7, 8 ( c 11 n 0;1;2 n=2 a 5 Vậy n = 2 b 11 Bài 5. Nếu trong 4 số ta chọn cú 2 số cú cựng số dư trong phỏp chia cho 5 Hiệu của chỳng chia hết cho 5 đpcm Xột 4 số cú số dư khỏc nhau trong phộp chia cho 5 + Số dư là 0,1,2,3 tổng 2 số cú số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 + Số dư là 0,1,2,4 tổng 2 số cú số dư là 1 và 4 chia hết cho 5 + Số dư là 0,1,3,4 tổng 2 số cú số dư là 1 và 4 chia hết cho 5 + Số dư là 0,2,3,4 tổng 2 số cú số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 + Số dư là 1,2,3,4 tổng 2 số cú số dư là 2 và 3 chia hết cho 5 Vậy khẳng định đề bài cho là đỳng. ĐỀ SỐ 38 ( Trường THCS Lờ Ngọc Hõn-Năm học 1994-1995) 57
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 1 : Tỡm x : 1 2 7 3 3,75 : 2 1,25 0,8 1,2 : 4 5 2 2 64 1 1 0,75 x 2 Bài 2 : Tỡm số cú bốn chữ số xyzt biết xyzt . 10001 = 1a8bc9d7 ( Trong đú a; b ; c ; d là cỏc chữ số) Bài 3 : Chứng minh rằng: A= ( 1999 + 19992 + 19993 + + 19991998 )  2000 Bài 4 : Trờn quóng đường AB, Hai ụ tụ đi ngược chiều nhau và cựng khởi hành thỡ sau 6 1 1 1 giờ sẽ gặp nhau, biết vận tốc của xe đi từ A bằng 31 vận tốc xe đi từ B. Hỏi xe đi từ 3 A phải khởi hành sau xe đi từ B bao lõu để hai xe cú thể gặp nhau ở chớnh giữa đường? Bài 5 : Trong số học sinh tham gia lao động ngày hụm qua cú 40% là học sinh khối 6; 36% là họo sinh khối 7, cũn lại là khối 8. Ngày hụm nay số học sinh khối 6 giảm 75%. Số học sinh khối 7 tăng 37,5%; Số học sinh khối 8 tăng 75%. Hỏi số học sinh tham gia lao động ngày hụm nay thay đổi thế nào so với số học sinh ngày hụm qua. ĐÁP ÁN Bài 1. 15 12 5 7 4 6 2 .4 . . . 4 5 4 2 5 5 3 9 1 64 16 64. x x 9 x 4 9 4 Bài 2 xyzt . 10001 =xyzt . 10000 +xyzt = xyztxyzt xyztxyzt = 1a8bc9d7 c=1 , a=9 , d=8 , b=7 xyzt =1987 Bài 3 A = 1999 (1 +1999) +19993 (1+1999) + .+19991997 (1+1999) = 2000 (1999 +19993+ + 19991997) 2000 A  2000 Bài 4 Vỡ vận tốc xe đi từ A =4/3 vận tốc xe đi từ B nờn nếu 2 xe cựng khởi hành thỡ đến khi gặp nhau, quóng đường xe đi từ A đi được bằng 4/3 quóng đường xe đi từ B đi được Xe đi từ A đi được 4/7 quóng đường AB, xe đi từ B đi 3/7 quóng đường AB hết 6 giờ. Thời gian xe đi từ A đi nửa quóng đường AB là 6: 4/7 :2 =21/4 (h) Thời gian xe đi từ B đi nửa quóng đường AB là 6: 3/7 :2 =7 (h) Để 2 xe gặp nhau ở chớnh giữa quóng đường AB thỡ xe đi từ B phải đi trước 7 – 21/4 = 7/4 (h) = 1h 45 phỳt Bài 5 58
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 So với tổng số học sinh hụm qua, số học sinh khối 6 hụm nay chiếm số phần: 40% . 25% = 10% So với tổng số học sinh hụm qua, số học sinh khối 7 hụm nay chiếm số phần 36% . 137,5%= 49,5% So với tổng số học sinh hụm qua, số học sinh khối 8 hụm nay chiếm số phần 24% . 175% = 42% So với tổng số học sinh hụm qua, tổng số học sinh hụm nay chiếm số phần 10% +49,5% +42% = 101,5% Vậy so với hụm qua, hụm nay sú học sinh tăg 1,5% ĐỀ SỐ 39 ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1995-1996) Bài 1: ( 5 điểm ) Cho: 1 1 1 1 A  3.8 8.13 13.18 33.38 1 1 1 1 1 B 3.10 10.17 17.24 24.31 31. 38 Tỡm x biết: 3 5 26 12 28 27 2 5.4 7 9 B 88 x 4 A Bài 2: ( 4 điểm ) Tỡm số chia và thương của phộp chia số 2541562 biết rằng cỏc số dư trong phộp chia lần lượt là 5759 ; 5180 ;5938. Bài 3: ( 4 điểm )Tỡm hai số cú tổng là 504 , số ước số chung của chỳng là 12 và số lớn khụng chia hết cho số nhỏ. Bài 4: ( 5 điểm )Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia BA lấy BD = BA, trờn tia Dx song song với BC trong nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AD chứa điểm C, Lấy DM = BC. Chứng minh rằng: a. BM = AC b. MC// AD Bài 5: ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 21995 < 5863 ĐÁP ÁN Bài1. 1 1 1 1 1 1 1 A = 3 . 8 8 .13 13 .18 33 . 38 5 3 38 1 1 1 1 1 1 B = 3 . 10 10 . 17 31 . 38 7 3 38 A 1 1 7 B 5 : B 5 7 5 A 7 55 .9.224 5 63 224 x 4 7 55 5 11 1 x 15 7 x 4 7 x 4 Bài 3. Gọi a là số lớn, b là số nhỏ 59
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a+b =504 =23 . 32 .7 (a,b)=d d cú 12 ước số 504 d d= 2m . 3n . 7p (m 3 , n 2 , p 1 ) cú : ( m+ 1) ( n+ 1 )( p + 1 ) =12 = 22 . 3 m +1 4 3 2 n +1 3 2 3 p +1 1 2 2 m 3 2 1 n 2 1 2 p 0 1 1 d 72 84 126 Cú a= a'd, b=b'd , với (a', b')= 1 Vỡ a>b a' >b', a b b' 1 Nếu d= 72 a' + b' =7 cú bảng a' 5 4 b' 2 3 A 360 144 B 288 216 Nếu d= 84 a' + b' =6 khụng cú giỏ trị của a' và b' Nếu d= 126 a' + b' =4 khụng cú giỏ trị của a' và b' Bài 5. Cminh 21995 211 3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270 21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860 Vậy 21990 <5860 25 < 53 21995 <5863 ĐỀ SỐ 40 ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1995-1996) Bài 1: ( 4 điểm ) Tỡm cỏc chữ số a,b sao cho số 12a4b1996 chia hết cho 63. Bài 2: ( 4 điểm ) Tớnh tỷ số A/B 31.39 39.16 23.92 29.64 19.31 19.43 989 1311 A B 40 35 30 25 91 65 39 143 Bài 3: ( 4 điểm ) Một người đi xe đạp từ A về B với vận tốc 12 km/h. Lỏt sau một người thứ hai cũng đi từ A về B với vận tốc 21 km/h. Tớnh ra hai người sẽ gặp nhau tại B. Sau khi đi được nửa quóng đường người thứ hai tăng vận tốc lờn 24 km/h vỡ vậy hai người gặp nhau khi cũn cỏch B 7 km. Tớnh chiều dài quóng đường AB. Bài 4: ( 4 điểm ) Cho tam giỏc ABC cú AB = AC. Mlà một điểm nằm giữa A và C. N là điểm nằm giữa A và B sao cho CM = BN. a. Chứng minh rằng đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN. b. Chứng minh rằng gúc B bằng gúc C và BM = CN. 60
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 5: ( 4 điểm ) Tỡm cỏc số tự nhiờn a,b thoả món điều kiện: 11 a 23 và 8b - 9a = 31 17 b 29 ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt 12a4b1996 N N  63 N  9 và N  7 N  9 (1+2+a+4+b+1+9+9+6 )  9 (a+b+5)  9 (a+b) {4,13} N = 120401996 + 1000000a + 10000b  7 (a+4b+1)  7 + Nếu a+b = 4 (4+3b+1)  7 (3b + 5)  3b : 7 dư 2 b = 3 a = 1 + Nếu a+b = 13 (13+3b+1)  7 3b 7 b  7 b {0; 7} b = 7 ; a = 6 a 1 6 B 3 7 12a4b1996 121431996 126471996 Bài 2: 40 35 30 25 A = 31.39 39.46 46.52 52.57 40 1 1 35 1 1 30 1 1 25 1 1 = 8 31 39 7 39 46 6 46 52 5 52 57 1 1 5.26 = 5 31 57 31.57 91 65 39 143 B = 19.31 19.43 23.43 69.19 13 7 5 13 3 11 24 28 13.52 A 5.26 13.52 5 13 : 19 31 43 23 43 57 31.19 43.57 57 B 31.57 57 62 Bài 3: Hiệu vận tốc trờn nửa quóng đường đầu là 21 - 12 = 9 (km/h) sau là : 24 - 12 = 12(km/h) Do trờn nửa quóng đường sau hiệu vận tốc bằng 4 hiệu vận tốc trờn nửa quóng 3 đường đầu(theo dự định). Nờn thời gian xe thứ 2 đi từ giữa quóng đường đến chỗ gặp bằng 3 thời gian xe 2 đi nửa quóng đường đầu 4 7 7 Thời gian xe 2 đi nửa quóng đường là: .4 (h) 12 3 7 Quóng đường AB dài là: .2.21 98(km) 3 11 a 23 Bài 5: Tỡm a,b N sao cho và 8b - 9a = 31 7 b 29 31 9a 32 1 8a a 8b - 9a = 31 b = N (a-1)  8 a = 8q + 1(q N) 8 8 31 9(8q 1) 11 8q 1 23 b = 9q 5 8 17 9q 5 29 11(9q+5) 38 q > 1 61
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86 q < 4 q {2; 3} a 23 a 32 q = 2 q = 3 b 17 b 25 ĐỀ SỐ 41 ( Quận Ba Đỡnh - Năm học 1990-1991) 39 33 21 0,415 : 21 3 65 600 49 Cõu 1: (6 điểm) Thực hiện dóy tớnh : 54 75 15 12 7 2 18,25 13 16 36 102 Cõu 2: (5 điểm) Tỡm 2 số tự nhiờna, b, thoả món: a + 2b = 48 và (a, b) + 3[ a, b] = 114 Cõu 3 : (4 điểm) a, Cho 3 điểm A, B, C, thẳng hàng và AB + BC = AC. Điểm nào nằm giữa 2 điểm cũn lại? Tại sao? b, Cho gúc aOb và tia Oc nằm giữa 2 tia Oa và Ob. Od là tia đối của tia Oc. Chứng minh rằng: - Tia Od khụng nằm giữa 2 tia Oa và Ob. - Tia Ob khụng nằm giữa 2 tia Oa và Od. 4 6 9 7 A Cõu4: (6 điểm) Cho 31.7 7.41 10.41 10.57 7 5 3 11 A B Tính tỷ số 19.31 19.43 23.43 23.57 B ĐÁP ÁN 3 83 11 3 56 : 7 1 5 200 200 7 7 1 Bài 1: : : 25 1 5 2 102 18 25 49 18 13 16 18 25 4 12 17 2861 7 1 56.2861 7 1.25.102 7 2861 15247 = : 8 25 25.102 8 25.2861.56 18 56.102 2.32.7.8.17 Bài 2: a+2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114 114  3 ; 3[a,b]  3 (a,b)  3 và a + 2b = 48 a  2 a  6 a { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42} a 6 12 18 24 30 36 42 b 21 8 15 12 9 6 3 (a,b) 3 16 3 12 3 6 3 [a,b] 42 36 90 24 90 36 42 3[a,b] 126 108 270 72 270 108 126 (a,b)+3[a, 129 114 360 84 360 114 168 b] 4 6 9 7 1 4 6 1 9 7 50 80 130 Bài 4: A = 31.7 7.41 10.41 10.57 7 31 41 10 41 57 31.41 41.57 31.57 7 5 3 11 1 7 5 1 3 11 24 28 52 B= 19.31 19.43 23.43 23.57 19 31 43 23 43 57 31.43 43.57 31.57 62
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 A 130 B 52 ĐỀ SỐ 42 ( Trường THCS Lờ Ngọc Hõn-Năm học 1997-1998) Cõu 1: a, Cho abc deg chia hết cho 37. Chứng minh rằng abc deg chia hết cho 11. b, Tỡm x biết 20x20x20x20x chia hết cho 7 3 1 6 3 1 1 12 6 : 1 20 2 15 49 23 Cõu 2 : Tỡm x: 5 16 7 x 2 1 10 2 1 2 96 4 5 3 5 11 11 3 9 19991999 1 19991989 1 Cõu 3 : So sỏnh: M và N 1999 2000 1 1999 2009 1 Cõu 4 : Tớnh tổng: 1 1 1 1 A 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 4 4 4 4 B 5.8 8.11 11.14 305.308 1 Cõu 5 : Một cửa hàng bỏn trứng trong một số ngày. Ngày thứ nhất bỏn 100 quả và số 10 1 1 cũn lại. Ngày thứ hai bỏn 20 quả và số cũn lại. Ngày thứ nhất bỏn 300 quả và số 10 10 cũn lại. Cứ bàn như vậy thỡ vừa hết số trứng và số trứng bàn mỗingày đều bằng nhau. Tớnh tổng sổ trứng đó bỏn và số ngày cửa hàng đó bỏn. ĐÁP ÁN Bài 1: Khụng chứng minh được điều này vỡ: Xột : abc deg 127 465 59237 abcdeg 127465  11 b) 20x20x20x20x 20x.1001001 20x7 (200 + x )  7 (4 + x )  7 x = 3 Bài 2: 5 17 6 35 12 51 6 : . . 10 1 9 3 16 7 60 49 56 . 21 10 57 5 42 57 . 3 7 32 5 11 11 9 11 11 509 11 1 9 509 9 1955 = . . 56 99 7 32 504 224 2016 1955 215 215 2016 903 121 x x . 2 2016 96 96 1955 391 391 Bài 3: 19991999 + 1 > 19991989 + 1 19992000 + 1 < 19992009 + 1 19991999 1 19991989 1 19992000 1 19992009 1 Bài 4: 63
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 1 3 3 n n n(n 1)(n 2)(n 3) 3n(n 1)(n 2)(n 3) 3n(n 1)(n 2)(n 3) 1 n 3 n 1 1 1 3 n(n 1)(n 2)(n 3) n(n 1)(n 2)(n 3) 3 n(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) 1 1 1 1 A = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 1 1 4059 451 = . 3 1.2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4.303 303 B = 3 5 8 3 8 11 3 305 308 3 5 308 3.5.308 485 Bài 5: Ngày thứ nhất bỏn 100 quả và 1 số trứng cũn lại . Ngày thứ hai bỏn 200 quả và 10 1 số trứng cũn lại mà số trứng hai ngày bỏn như nhau 1 số trứng cũn lại sau khi lấy 10 10 100 quả nhiều hơn 1 số trứng cũn lại sau khi lấy 200 quả là 100 quả . Cứ như vậy số 10 trứng chờnh lệch trước khi lấy 1 số trứng cũn lại sau mỗi lần lấy là 1000 quả. Lần cuối 10 cựng cũn 9 số trứng cũn lại là 900 quả ngày thứ nhất lấy 900 quả trứng 10 Số trứng là (900 - 100) : 1 + 100 = 8100 (quả) 10 Số làn lấy trứng là 8100 : 900 = 9 (lần) ĐỀ SỐ 43 Cõu 1: (3 điểm) Tỡm cỏc chữ số a, b sao cho 12a96b chia hết cho 63. 7 1414 34 3 3 2 : 3 2 1,75 15 4545 153 23 11 3 Cõu 2 : (6 điểm) Thực hiện dóy tớnh 2 3 3 1 0,25 : 7 28 24 Cõu 3 : (4 điểm) Tỡm số tự nhiờn cú 4 chữ số mà khi ta đem số ấy nhõn với 5 rồi cộng thờm 6 ta được kết quả là số cú 4 chữ số viết bởi cỏc chữ số như số ban đầu nhưng viết theo thứ tự ngược lại Cõu 4 : (4 điểm) Trờn tia Ox lấy cỏc điểm A, B, C, D sao cho OA=1cm, OB = 5 cm, AC= 3 cm, BD=6cm. a, Chứng minh rằng điểm C nằm giữa 2 điểm A và B. b, Tớnh độ dài đoạn thẳng CD. Cõu 5 : (3 điểm) Cho 7 số tự nhiờn tuỳ ý. Chứng minh rằng bao giờ ta cũng cú thể chọn được 4 số mà tổng của chỳng chia hết cho 4. ( Hướng dẫn: Trước hết nhận xột rằng trong 3 số tự nhiờn tuỳ ý bao giờ cũng cú ớt nhất 2 số cựng chẵn hoặc cựng lẻ) ĐÁP ÁN Bài 1: 12a96b : 63 giống bài 1 đề số 5 Bài 2: 64
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 7 14 2 72 3 8 7 23 1 : 15 45 9 23 11 3 4 72 4 5 28.11 77 2 . 3 1 3 1 25 .6 72 25.6 540 : . 7 4 28 24 28 11 Bài 3:Gọi số đú là abcd abcd .5 + 6 = abcd a < 2 a = 1 d 5 1bcd .5 +6 = dcb1 d là số lẻ d {5,7,9} d = 5 1bc5.5 6 5cb1 5000 + 500b + 50c + 31 = 5000 + 100c + 10b + 1 49b 196 4b 196 c = 9b N 5 5 4b 196 N b 5q 4 b 4,9 5 b = 4 c = 0 b = 9 c = 51 Loại 4b 395 Nếu d = 9 c = 9b + b 0;5 loại 5 Số đú là 1407 Bài 5:Gọi 7 số đú là a 1; a2; a7 Trong 3 số tự nhiờn tuỳ ý bao giờ cũng cú 2 số cựng chẵn hoặc cựng lẻ Tổng của chỳng là một số chẵn. Xột a1, a2, a3 : Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử a1,2 = a1+ a2 là số chẵn Xột a4, a5, a6 a4,5 là số chẵn Xột a3, a6, a7 a3,6 là số chẵn Xột a1,2; a4,5 ; a3,6 là số chẵn ta chia số này cho 2 b1,2 ; b4,5 ; b3,6 b1,2,4,5 = b1,2 + b4,5 là số chẵn a1,2 +a4,5 = 2( b1,2 + b4,5 ) vỡ (b1,2 + b4,5 )  2 (a1,2 + a4,5 )  4 (a1 + a2 + a4 + a5 )  4 Vậy trong 7 số tự nhiờn tuỳ ý bao giờ cú thể chọn được số mà tổng của chỳng  4 ĐỀ SỐ 44 ( Trường THCS Lờ Ngọc Hõn-Năm học 1997-1998) Bài 1 Tớnh 1 2 3 92 92 3 : 0,2 0,1 34,06 33,81 4 2 4 3 9 10 11 100 a, 26 : : b, 1 1 1 1 2,5. 0,8 1,2 6,84 : 28,75 25,15 3 21 45 50 55 500 Bài 2 Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất chia cho 5 thỡ dư 1, chia cho 7 thỡ dư 5. Bài 3 Hai ụtụ đi từ hai điểm A và B về phớa nhau. Xe 1 khởi hành lỳc 7 giờ, xe 2 khởi hành lỳc 7giờ 10phỳt. Biết rằng để đi cả quóng đường AB xe 1 cần đi 2 giờ, xe 2 cần đi 3 giờ. Hai xe sẽ gặp nhau lỳc mấy giờ? Bài 4 Vẽ tam giỏc ABC trờn cạnh BC lấy điểm D ( D khụng trựng B, C), trờn đoạn thẳng DC lấy điểm E (E khụng trựng D, C). a, Những điểm nào gọi là điểm nằm giữa hai điểm nào?Những tia nào nằm giữa hai tia nào? 65
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b, Nếu BD=3cm, DE=2cm, EC=4cm. Tớnh BC c, Giả sử gúc BAD=m0, gúc DAE = n0, gúc EAC= t0. Tớnh số đo gúc BAC Bài 5 Tổng kết năm học của 100 học sinh giỏi về 3 mụn Văn, Toỏn , Ngoại ngữ cú 70 học sinh giỏi Toỏn, 50 giỏi Văn. Trong đú 40 học sinh giỏi Toỏn+ Ngoại ngữ, 35 học sinh giỏi Toỏn+ Văn, 20 Học sinh giỏi Văn+ Ngoại ngữ. Hỏi : a, Cú bao nhiờu học sinh giỏi cả 3 mụn. b, Cú bao nhiờu học sinh giỏi Ngoại ngữ. c, Cú bao nhiờu học sinh chỉ giỏi 1 mụn ĐÁP ÁN 30 0,25 25 38 988 233 1221 56 Bài 1 a. 26: 1 26 : 6 1 26. 1 5 5 1,9 190 233 233 233 233 1 2 92 8 8 8 1 1 1 9 10 100 1 b. 9 10 100 8 : 40 1 1 1 1 1 1 1 5 45 50 500 5 9 10 100 Bài 2: Gọi số đú là n n = 5q + 1 ; n = 7r + 5 q = 7r 4 5 (2r + 4)  5 r = 3k + 3 Tỡm số nhỏ nhất r = 3 q = 5 n = 26 Bài 3: Chọn quóng đường AB làm đơn vị qui ước Trong 1 h xe 1 đi được 1 quóng đường AB 2 Trong 1h xe 2 đi được 1 quóng đường AB 3 Trong 1h cả 2 xe đi được 5 quóng đường AB 6 Trong 10 phỳt đi trước xe 1 đi 1 quóng đường AB 12 11 5 11 Thời gian xe 2 đi để gặp nhau : h = 16 phỳt 12 6 10 Hai xe gặp nhau lỳc 7h 10ph + 1h 6 ph = 8h 16ph ĐỀ SỐ 45 Quận Hai Bà Trưng 1996 - 1997 Cõu 1: ( 5 điểm) Chứng minh rằng cỏc số cú dạng abcabc chia hết ớt nhất cho 3 số nguyờn tố. 2 2 2 Cõu 2 : ( 5 điểm) Cho dóy phõn số được viết theo qui luật: ; ; ; 11.16 16.21 21.26 a, Tỡm phõn số thứ 45 của dóy số này. b, Tớnh tổng của 45 phõn số này. 66
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Cõu 3 : ( 5 điểm) Hai trường A và B cú 1500 học sinh. Số học sinh giỏi trường A chiếm 20%; Số học sinh giỏi trường B chiếm 15%. Tổng cộng hai trường cú 255 học sinh giỏi. Tớnh số học sinh mỗi trường? Cõu 4 : Một người đi từ A đến B với vận tốc 12km /h. Một lỏt sau một người khỏc cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km /h.Tớnh ra 2 người sẽ gặp nhau tại B. Người thứ 2 đi được nửa quóng đường AB thỡ tăng vận tốc lờn thành 24km /h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cỏch B bao nhiờu km? Biết rằng quóng đường AB dài 80km. ĐÁP ÁN Cõu 1: abcabc abc .1000 abc 1001 abc 7 .11 .13 abc abcabc  7 ; 11 ; 13 Vậy số đú chia hết cho ớt nhất 3 số nguyờn tố là 7 , 11, 13 Cõu 2: 2 a 231.236 2 5 5 5 2 1 1 1 1 1 1 45 b 5 11.16 16.21 231.236 5 11 16 16 21 231 236 1298 Cõu 3: 20% số học sinh cả hai trường là: 1500 . 20% = 300(học sinh) 5% số học sinh trường B là: 300 - 255 = 45 (học sinh) Số học sinh trường B là: 45 : 5% = 900 (học sinh) Số học sinh trường A là : 1500 - 900 = 600 (học sinh) Cõu 4: Hiệu vận tốc của hai người là: 20 - 12 = 8 (km/h) Thời gian người thứ nhất đi hết quóng đường AB là: 80: 12 =20 h = 6h40' 3 Thời gian người thứ hai đi hết quóng đường AB là: 80: 20 = 4 (h) Thời gian người thứ hai đi trước người thứ nhất là: 6h40' - 4h = 2h40'=8 h 3 Quóng đường người thứ nhất đi trước là: 8 . 12 = 32 (km) 3 Khoảng cỏch giữa hai người khi người thứ hai tăng vận tốc là: 32 - 8. 2 = 16 (km) Thời gian từ khi người thứ hai tăng vận tốc đến lỳc gặp nhau là: 16: (24 -12)= 4 h 3 Đến lỳc gặp người thứ hai đó đi quóng đường là: 40 + 24 . 4 = 72 (km) 3 Chỗ gặp cỏch B là: 80 - 72 = 8 (km) ĐỀ SỐ 46 Quận Hai Bà Trưng 1997 - 1998 67
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Cõu 1 ( 6 điểm) Từ sỏu chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Viết tất cả cỏc số cú ba chữ số khỏc nhau chia hết cho 3 và cho 5. Cõu 2 : ( 6 điểm) Một phộp chia cú thương bằng 5 và số dư là 12. Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia và số dư ta được thương là 3 và số dư là 18. Tỡm số bị chia. Cõu 3 : ( 4 điểm) Tớnh cỏc tổng sau bằng cỏch hợp lý nhất: 1 1 1 1 191 161 129 95 a, b, 210 240 272 306 210 240 272 306 7 Cõu 4 : ( 4 điểm) Lớp 6A cú số học sinh Giỏi và Khỏ chiếm số học sinh cả lớp. Số 12 5 học sinh Giỏi và Trung bỡnh chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh Khỏ và Trung bỡnh 8 cú 34 bạn, số học sinh giỏi hơn số học sinh Yếu là 10 bạn, lớp khụng cú học sinh kộm. Hỏi lớp 6A cú bao nhiờu bạn húc sinh Giỏi? bao nhiờu học sinh khỏ? bao nhiờu học sinh Trung bỡnh? ĐÁP ÁN Cõu 1: 120; 150; 210; 510; 450; 540; 345; 105; 435; 405; 315; 135 Cõu 2: Gọi số bị chia là a; số chia là b (b 0) Phộp chia cú thương bằng 5 số dư là 12 Số bị chia bớt 12 bằng 5 lần số chia a = 5b+12 Số bị chia chia cho tổng số chia và số dưđược thương là 3 và số dư là 18 Số bị chia bớt 18bằng 3 lần tổng số chia và số dư a = (b +12). 3 + 18 = 3b + 54 5b + 12 = 3b + 54 b = 21 a = 117 Vậy số bị chia là 117. Cõu 3: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 210 240 272 306 14.15 15.16 16.17 17.18 14 18 63 401 91 401 261 401 129 401 95 1 ; 1 ; 1 ; 1 210 210 240 240 272 272 306 306 1 1 1 1 1 23 B 4 401. B 401. 4 2 210 240 272 306 63 63 b ) Nhận xột cỏc phõn số đều cú tổng của tử và mẫu là 401 Cõu 4: Cỏch 1 7 5 5 Phõn số chỉ số học sinh giỏi hơn yếu là: 1 (học sinh cả lớp) 12 8 24 24 Số học sinh cả lớp là: 10. 48 (học sinh) 5 Số học sinh giỏi và yếu là: 48 - 34 = 14 (học sinh) Số học sinh giỏi là: ( 14 + 10 ) : 2 = 12 (học sinh) Số học sinh yếu là: 12 - 10 = 2 (học sinh) 5 Số học sinh giỏi và trung bỡnh là: 48. 30 (học sinh) 8 Số học sinh trung bỡnh là: 30 - 12 = 18 (học sinh) Số học sinh khỏ là: 48 - (18 + 2 + 14) = 16 (học sinh) 68
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Cỏch 2 Lớp chia 24 phần một phàn cú: 10 : 5 = 2 (học sinh) 5 7 1 Số học sinh trung bỡnh hơn khỏ là: (học sinh lớp) = 2 (học sinh) 8 12 24 Số học sinh trung bỡnh là: (34 + 2): 2 = 18 (học sinh) Số học sinh khỏ là: 18 - 2 = 16 (học sinh) Số học sinh giỏi và yếu là: 48 - (18 + 16) = 14 (học sinh) Số học sinh giỏi là: (14 + 10): 2 = 12 (học sinh) Số học sinh yếu là: 12 - 10 = 2 (học sinh) ĐỀ SỐ 47 Quận Hai Bà Trưng 1998 - 1999 Cõu 1 : Một người đem 6000000đ gửi tiền tiết kiệm " Khụng kỳ hạn" với lói xuất 0,8% một thỏng. Hỏi sau 3 thỏng người đú thu được bao nhiờu tiền lói ( sau 3 thỏng mới rỳt hết cả vốn lẫn lói) Cõu 2 : Một xớ nghiệp làm một số dụng cụ, giao cho 3 phõn xưởng thực hiện. Số dụng cụ phõn xưởng I làm bằng 28% tổng số. Số dụng cụ phõn xưởng II làm gấp rưỡi số dụng cụ phõn xưởng I. Phõn xưởng III làm ớt hơn phõn xưởng II là 72 chiếc. Tớnh số dụng cụ mỗi phõn xưởng đó làm. 11 Cõu 3 : Hóy viết phõn số dưới dạng tổng của 3 phõn số cú tử số đều bằng 1 và cú 15 mẫu số khỏc nhau. Cõu 4 : a, Tỡm một số cú 3 chữ số biết rằng tớch của số đú và tổng cỏc chữ số của nú là 1360. b, Chứng tỏ rằng cú thể tỡm được nhiều số tự nhiờn chỉ gồm chữ số 1 và chữ số 0 chia hết cho 1999 ĐÁP ÁN Cõu 1: Số tiền người đú cú sau thỏng 1 là: 6000000 . 100,8% = 6048000 (đồng) Số tiền người đú cú sau thỏng 2 là: 6048000 . 100,8% = 6096384 (đồng) Số tiền người đú cú sau thỏng 3 là: 6096384 . 100,8% = 6145155 (đồng) 3 Cõu 2: So với tổng số, số dụng cụ phõn xưởng 2 làm chiếm số phần là: 28%. 42% 2 So với tổng số, số dụng cụ phõn xưởng 3 làm chiếm số phần là: 100% - (42 %+ 28%)= 30%_ So với tổng số, 72 chiếc chiếm số phần là: 42% - 30 % = 12% Tống số sản phẩm cả ba phõn xưởng làm là: 72 : 12% = 600 (dụng cụ) Số sản phẩm phõn xưởng 1 làm là: 600 . 28% = 168 (dụng cụ) Số sản phẩm phõn xưởng 2 làm là: 600 . 42% = 252 (dụng cụ) Số sản phẩm phõn xưởng 3 làm là: 600 . 30% = 180 (dụng cụ) Cõu 3: 11 44 U (60) 1;2;3;4;5;6;10;1215;20 ;30;60 15 60 44 10 30 4 11 1 1 1 30 10 4 44 60 60 60 60 15 6 2 15 Cõu 4: 69
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a.Gọi số đú là abc a b c .abc 1360 1360 = 5 . 16. 17 = 2 . 2 . 2 . 2 .5 . 17. Ta cú 24. 5 < 100 17 khụng phải là tổng cỏc chữ số abc17 abc 17.x x 5 a + b + c < 16 a + b + c 2 4 8 10 abc 680 340 170 136 Tớch 1360 1360 1360 1360 Vậy số đú là: 680 ; 340; 170; 136 b.Xột dóy số: 1 ; 11 ; ;11 11 1999 cs Dóy số trờn cú 1999 chữ số chỉ cúhai trường hợp xảy ra Cú ớt nhất một số chia hết cho 1999.Gỉả sử số đú là:11 11 (n chữ số) 11 10 (n+1 chữ số) cũng chia hết cho 1999 Khẳng định đề bài cho là đỳng. Trong đú khụng cú số nào chia hết cho 1999 phải tồn tại ớt nhất hai số cú cựng số dư trong phộp chia cho 1999 Hiệu hai số này là một số chỉ gồm toàn chữ số 0 và chữ số 1 chia hết cho 1999. Lý luận tương tự như trờn ta cú khẳng định đề bài cho là đỳng. ĐỀ SỐ 48 Hai Bà Trưng 1999 - 2000 Cõu 1 : Hóy so sỏnh hai phõn số sau bằng tất cả cỏc cỏch cú thể được: 1999 19992000 1 1 1 a, ; b, 2 2000 20002000 3 4 32 3 Cõu 2 : Kết thỳc học kỳ I lớp 7A cú số học sinh xếp loại văn hoỏ bằng số học sinh 8 được xếp loại khỏ. Đến cuối năm cú 7 học sinh vươn lờn đạt loại giỏi và 1 học sinh loại 9 giỏi bị chuyển loại xuống khỏ nờn số học sinh giỏi chỉ bằng số học sinh khỏ. Tớnh số 13 học sinh lớp 7A biết cả hai học kỳ lớp 7A chỉ cú học sinh xếp loại văn hoỏ Khỏ và Giỏi. Cõu 3 : Một thựng đầy nước cú khối lượng 5,7 kg. Nếu trong thựng chỉ cũn 25% nước thỡ thựng nước cú khối lượng 2,4 kg. Tớnh khối lượng thựng khụng. Cõu 4 : Cú bao nhiờu số cú 4 chữ số cú tớnh chất sau: Chia hết cho 11 và tổng cỏc chữ số của nú chia hết cho 11. ĐÁP ÁN Bài 1: a) Cỏch 1 :Qui đồng mẫu số rồi so sỏnh tử. 1999 19991999 19992000 Cỏch 2: 2000 20002000 20002000 1999 1 19992000 10000 1999 19992000 Cỏch 3: 1 2000 2000 20002000 20002000 2000 20002000 b) 70
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 1 1 4n 1 1 n N; n 2 2n 1 2n 4n2 2n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 32 2 3 16 2 2 8 2 3 4 Bài 2: Số học sinh cả lớp là : 3 + 8 = 11 (phần) Số học sinh giỏi kỳ I chiếm : 3 học sinh cả lớp 11 Số học sinh giỏi kỳ II chiếm : 9 học sinh cả lớp 22 9 3 3 6 học sinh ứng với số phần cả lớp: (cả lớp) 22 11 22 3 Số học sinh cả lớp là: 6 : 44 học sinh 22 Vậy số học sinh 7A là 44 bạn Bài 3:25% = 1 4 Khối lượng của 3 nước trong thựng là: 5,7 - 2,4 = 3,3 (kg) 4 Khối lượng nước trong thựng đầy nước là 3,3 : 3 = 4,4 (kg) 4 Khối lượng thựng khụng là : 5,7 - 4,4 = 1,3 (kg) Bài 4:Số phải tỡm là: A = abcd (0<a < 10; 0 b,c,d 9) A  11 ( (b + d) - (a + c))  11 và (a + b + c + d)  11 2 (a + c )  11 và 2b + d  11 a + c và b + d chỉ cú thể là 0 hoặc 11 * a + c = 11 và b + d = 0 (b = d = 0) Cú 8 cặp (a, c) để a + c = 11 là : (2,9); (3,8) Cú 8 số cú 4 chữ số  11 * a + c = 11 và b + d = 11 thỡ sẽ cú 8 cặp (a,c) và 8 cặp (b,d) ghộp cỏc cặp ta được 64 số cú 4 chữ số chia hết cho 11 * a + c = 0 a = c = 0 khụng tồn tại số cú 4 chữ số nữa Vậy cú 72 số cú 4 chữ số thoả món yờu cầu đề bài ĐỀ SỐ 49 Thời gian làm bài: 120 phỳt Năm học: 2009 – 2010 23.33.53.7.8 Cõu 1: (4đ) a) Rỳt gọn phõn số sau sau: 3.24.53.14 1 5 1 2 b) Tớnh B = 14: (4 2 ) + 14.  12 8 4 3 Cõu 2: (4đ)Tỡm x biết: a/ 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)] b/ (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+100) = 205550 c/ x 5 = 18 + 2.(-8) 71
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 d/ (3x – 24 ) .75 = 2.76. 1 20090 Cõu 3: (2đ) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho : (2x+1)(y-5)=12 Cõu 4: (4đ) 2 2 2 2 2 a) Tớnh tổng: S= 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 b) Chứng minh rằng: 3 32 33 34 3100 40 Cõu 5: (2đ) Cho biểu thức A = 5 n 2 a, Tỡm cỏc số nguyờn n để biểu thức A là phõn số. b, Tỡm cỏc số tự nhiờn n để biểu thức A là số nguyờn Cừu 6: (4đ) Cho gúc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phõn giỏc của gúc CMx, Mt là tia phõn giỏc của gúc xMy. c. Tớnh gúc AMy. d. Chứng minh rằng MC vuụng gúc với Mt. ĐÁP ÁN Cõu 1: (4đ) Mỗi cõu 2 đ 14 a/ Kết quả 18 b/Kết quả 11 15 Cõu 2: (4đ) a) 3 + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)] 3 + 2x-1 = 24 – 42 + 3 2x-1 = 24 – 42 2x-1 = 22 (0,5đ) x -1 = 2 x = 3 (0,5đ) b) ( x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ + (x+100)=205550 x+x+x+ +x+1+2+3+ +100=205550 100x+5050=205550 (0,5đ) 100x=200500 x=2005 (0,5đ) c/ x=7 hoặc x=3; (1đ mỗi nghiệm 0,5 đ ) d/ x=30 (1đ) Cõu 3: (2đ) Ta cú 2x+1; y-5 Là ước của 12 12= 1.12=2.6=3.4 (0,5đ) do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,5đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,5đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,5đ) 2 2 2 2 2 Cõu 4: (4đ) S =1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 72
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 1 1 1 1 1 = 2( 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 ) (0,5đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 ( ) (0,5đ) 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 1 1 99 99 49 = 2( ) = 2. = 1 (1đ) 1 100 100 50 50 Cõu 5: (2đ) a/ n Z và n 2 (1đ) b/(n - 2 ) Ư( -5) = 1; 5  ( 0,5 đ) n 2 1 n 1 N n 2 1 n 3 N (0,5 đ) n 2 5 n 3 N n 2 5 n 7 N Vậy n = 1;3;7 Cõu 6: (4đ) Hỡnh vẽ: (0,5đ) C y t 600 x A M a) Tia Mx là tia đối của tia MA gúc AMx là gúc bẹt: ãAMx 1800 => MC nằm giữa MA và Mx (0,5đ) nờn:ãAMC Cã Mx ãAMx thay số: 600 Cã Mx 1800 =>Cã Mx 1800 600 1200 (0,5đ) My là tia phõn giỏc của gúc CMx nờn: My nằm giữa MC và Mx và 1 1 xãMy ãyMC xãMC 1200 600 (0,5đ) 2 2 Tia Mx là tia đối của tia MA gúc AMx là gúc bẹt: ãAMx 1800 => My nằm giữa MA và Mx (0,5đ) nờn:ãAMy ãyMx ãAMx thay số: 600 ãyMx 1800 =>ãyMx 1800 600 1200 (0,5đ) b) Do My là tia phõn giỏc của gúc CMx nờn Mx và MC nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ là tia My. Mt là phõn giỏc của gúc yMx nờn Mt nằm trờn cựng một nửa mặt 73
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 phẳng bờ chứa tia My. Vậy Mt và MC nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nờn: Cã My ãyMt Cã Mt (*) (0,5đ) 1 1 Lại cú tia Mt là phõn giỏc của gúc xMy nờn: xã Mt tãMy xãMy 600 300 thay số vào (*) 2 2 ta cú: Cã Mt 600 300 900 hay MCvuụng gúc với Mt. (Đccm) (0,5đ) ĐỀ SỐ 50 Bài 1(2 điểm). Một dóy số cộng cú 45 số hạng. Biết số hạng ở chớnh giữa là 50. Hóy xỏc định dóy số cộng. Bài 2:(2 điểm). Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52006 a. Tớnh S b. Chứng minh S  126 Bài 3:(2 điểm). a.Chứng minh rằng : nếu ab cd eg 11 thỡ : abc deg11 . b.Cho A = 2 22 23 260. Chứng minh : A  3 ; 7 ; 15. Bài 4(2 điểm). Chứng minh : 1 1 1 1 < 1. 22 23 24 2n Bài 5 (2 điểm). a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tớnh độ dài đoạn thẳng AC. b. Hai đoạn thẳng AB và CD khụng cựng nằm trờn một đường thẳng. Chỳng cú thể cú mấy điểm chung? Vỡ sao? ĐÁP ÁN Bài 1(2 điểm). Trước số hạng chớnh giữa cú 22 số hạng, sau số hạng chớnh giữa cú 22 số hạng. *Nếu cụng sai d=1 thỡ u1=50-22=28 (0,5đ) u45=50+22=72 Dóy số đú là 28, 29, 30, 50, 71, 72. (0,5đ) *Nếu cụng sai d=2 thỡ u1=50-22.2=6 u45=50+22.2=94 Dóy số đú là 6, 8, 10, 50, 92, 94. (0,5đ) Dễ thấy cụng sai d khụng thể lớn hơn 2. (0,5đ) Bài 2:(2 điểm). (0,5đ) a. (1.5đ) Ta cú 5S =5(5 + 52 + 53 + + 52006) 5S = 52 + 53 +54 + +52007 (0,5đ) 5S –S = (52 + 53 +54 + +52007) – (5 + 52 + 53 + + 52006) (0,5đ) 4S = 52007-5 2007 Vậy S = 5 5 (0,5đ) 4 b. (0,5đ) S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + + (52003 +52006) S = 5(1+53)+52(1+53) +53(1+53)+ + 52003(1+53) (0,25đ) 74
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 S = 126.(5 + 52 + 53 + + 52003) Vỡ 126  126 S  126 (0,25đ) Bài 3:(2 điểm). a. 1đ Tỏch như sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd eg . (0,5đ) =99(101ab cd) +(ab cd eg) 9999ab 99cd 11 Theo bài ra ab cd eg 11 nờn : abc deg11. (đpcm) (0,5đ) b. (1đ) *A= (2 22 ) (23 24 ) (259 260 ) = 2(1 2) 23 (1 2) 259 (1 2) =3 2 23 259 3. (0,5đ) *A = 2 22 23 24 25 26 258 259 260 = =2. 1 2 22 24. 1 2 22 258. 1 2 22 = 7 2 24 258 7 . (0,25đ) *A = 2 22 23 24 25 26 27 28 257 258 259 260 = =2 1 2 22 23 25 1 2 22 23 257 1 2 22 23 = =15. 2 25 257 15. (0,25đ) Bài 4:(2 điểm). 1 1 1 1 Ta biết : . (0,5đ) n2 n n 1 n 1 n Nờn : 1 1 1 BC) AC + BC = AB AC = AB - BC = 4 cm. (0,5đ) A C B 75
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b. (1đ) Hai đoạn thẳng AB và CD chỉ cú nhiều nhất 1 điểm chung, vỡ nếu cú 2 điểm chung thỡ A, B, C, D thuộc 1 đường thẳng, trỏi với giả thiết. (0,5đ) A D 0 C B ĐỀ SỐ 51 Huyện Trực Ninh 2008 2009 Thời gian làm bài: 120 phỳt Bài 1: (6 điểm) Cõu 1: Tớnh: a)  2008.57 1004.( 86):32.74 16.( 48) b) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – + 2006 – 2007 – 2008 + 2009 1 1 1 1 1 1 Cõu 2: Cho: A = 2 3 4 5 308 309 308 307 306 3 2 1 A B = Tớnh ? 1 2 3 306 307 308 B Bài 2: (5 điểm) Cõu 1: Tỡm số tự nhiờn cú 3 chữ số, biết rằng khi chia số đú cho cỏc số 25 ; 28 ; 35 thỡ được cỏc số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 2 1 2 1 Cõu 2: Tỡm x biết: 0 x 3 16 Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chớnh phương lẻ liờn tiếp. Chứng minh rằng: (a – 1).( b – 1)  192 Bài 4: (4 điểm) Tỡm số tự nhiờn cú 4 chữ số abcd biết nú thoả món cả 3 điều kiện sau: 1) c là chữ số tận cựng của số M = 5 + 52 + 53 + + 5101 2) abcd 25 3) ab a b2 76
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 5: (2 điểm) Cõu 1: Cú hay khụng một số nguyờn tố mà khi chia cho 12 thỡ dư 9? Giải thớch? Cõu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyờn tố lớn hơn 3, luụn tồn tại 2 số nguyờn tố mà tổng hoặc hiệu của chỳng chia hết cho 12. ĐÁP ÁN Bài 1: (6 điểm) Cõu 1: 251 a) Kết quả : = - 1 25,5 (2 điểm) 2 b) Kết quả: 1 (2 điểm) Cõu 2: (2 điểm) 308 307 306 3 2 1 B = 1 2 3 306 307 308 307 306 305 3 2 1 B = 1 1 1 1 1 1 1 (0,75đ) 2 3 4 306 307 308 309 309 309 309 309 309 B = (0,5đ) 2 3 4 307 308 309 1 1 1 1 1 1 B = 309. 2 3 4 5 308 309 B = 309.A (0,5đ) A A 1 (0,25đ) B 309.A 309 Bài 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiờn phải tỡm là x. - Từ giả thiết suy ra (x 20)25 và (x 20)28 và (x 20)35 x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (1 đ) - Tỡm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N . (1 đ) - Vỡ x là số tự nhiờn cú ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 suy ra k = 1 suy ra x + 20 = 700 suy ra x = 680. (0,75 đ). b) (2,25 đ) 2 1 2 1 - Từ giả thiết ta cú: (1) (0,25 đ). x 3 16 2 1 1 1 2 1 1 2 1 - Vỡ nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1 đ) 16 4 x 3 4 x 3 4 - Từ đú tỡm ra kết quả x = 12 hoặc x = 12 (1 đ) 11 5 Bài 3: (3đ) - Chỉ ra dạng của a,b là: a = 2k 1 2 và b = 2k 1 2 (Với k N * ) (0,5đ) - Suy ra a – 1 = (2k – 1)(2k – 1) – 1 = = 4k2– 4k + 1 – 1 = 4k.(k – 1) (0,5đ) b – 1 = (2k + 1)(2k + 1) – 1 = = 4k2+ 4k + 1 – 1 = 4k(k + 1) (0,5đ) (a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1) (0,5đ) Từ đú lập luận k(k – 1)k(k + 1)  4 và k(k – 1)(k + 1)  3 (0,75đ) 77
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 mà (4; 3 ) = 1 k (k – 1)k(k + 1) 4.3 suy ra (a – 1)(b – 1)  16.4.3 (a – 1)(b – 1)  192 (đpcm) (0,25đ) Bài 4: (4đ) - Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 b;c;d 9 (0,5 đ) - Lý luận dẫn đến M cú chữ số tận cựng là 5 c = 5 (0,75 đ) - Từ điều kiện: abcd  25, lý luận dẫn đến (10c + d)  25, từ đú tỡm được d = 0 ( 0,75 đ) - Từ điều kiện: ab = a + b2 10a + b = a + b2 9 a = b2 – b 9a = b(b – 1) (0,5 đ) Lý luận dấn đến b(b – 1) 0 và b(b – 1)  9 (0,5 đ) Mà b và b -1 là hai số nguyờn tố cựng nhau; 0 < b – 1< 9 b(b – 1)  9 chỉ khi b  9 a=8 (0,75 đ) Kết luận: Số cần tỡm 8950 (0,25 đ) Bài 5: (2 điểm):. Cõu 1: - Khụng thể cú một số nguyờn tố mà khi chia cho 12 thỡ dư 9. Vỡ: nếu cú số tự nhiờn a mà khi chia cho 12 dư 9 thỡ a = 12.k + 9 ; k N a3 và a 3 a là hợp số, khụng thể là số nguyờn tố. (0,75 đ). Cõu 2: (1,25 đ). - Một số tự nhiờn bất kỳ khi chia cho 12 thỡ cú số dư là một trong 12 số sau: 0; 1; 2; ; 11 - Chứng minh tương tự cõu 1 ta cú: một số nguyờn tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12 khụng thể cú số dư là 2; 3; 4; 6; 8; 10. (0,25 đ) - Suy ra một số nguyờn tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thỡ được số dư là một trong 4 giỏ trị : 1; 5; 7; 11. (0,25 đ) - Chia cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3 thành hai nhúm : + Nhúm 1: Gồm cỏc số nguyờn tố khi chia cho 12 thỡ dư 1 hoặc 11 . + Nhúm 2: Gồm cỏc số nguyờn tố khi chia cho 12 thỡ dư 5 hoặc 7. (0,25 đ) - Giả sử p1; p2; p3 là ba số nguyờn tố bất kỳ lớn hơn 3. Cú ba số nguyờn tố, chỉ nằm ở hai nhúm, theo nguyờn lý Dirichle thỡ trong ba số nguyờn tố trờn, tồn tại ớt nhất hai số nguyờn tố cựng thuộc một nhúm , chẳng hạn p1 và p2 cựng thuộc một nhúm: + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 cú số dư khỏc nhau (tức là dư 1 và 11; hoặc 5 và 7) thỡ p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ; k1;k2 N suy ra p1 + p2 12 . hoặc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ; n1;n2 N suy ra p1 + p2 12 . + Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 cú số dư bằng nhau thỡ hiệu p1 – p 212 . (0,5 đ) ĐỀ SỐ 52 Huyện Đầm Hà trường Quảng Lợi năm 2007 - 2008 Thời gian làm bài 150 phỳt Cõu 1: (2 điểm) Tỡm x, biết 2.3x = 162. Cõu 2: (2 điểm)Tớnh tổng. A = 1 + 1 + 1 + 1 B = 1 + 1 + 1 + 1 24 12 8 2 30 10 5 2 Cõu 3: (4 điểm) Tớnh cỏc tổng sau bằng phương phỏp hợp lý nhất: A = 1 + 1 + 1 + . + 1 B = 2 + 2 + 2 + . + 2 1.2 2.3 3.4 49.50 3.5 5.7 7.9 37.39 78
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Cõu 4: (2 điểm) Tỡm n N* biết: 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = 225. Cõu 5: (4 điểm) Hiện nay mẹ 40 tuổi, con 12 tuổi. Sau bao nhiờu năm nữa thỡ tuổi con bằng 3 tuổi mẹ. 7 Cõu 6: (6 điểm)Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết MN = a (cm); NB = b (cm). a) Tớnh AB. b) Lấy điểm O nằm ngoài đờng thẳng AB. Giả sử  AOB = 100 0 ;  AOM = 600;  MON = 200 . Hỏi tia ON cú phảI là tia phõn giỏc của gúc MOB khụng ? Vỡ sao. ĐÁP ÁN Cõu 1: 2.3x = 162 3x = 162 : 2 0.5 đ 3x = 81 0,5 đ 3x = 34 Vậy x = 4. 1 đ Cõu 2: A = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 3 + 12 = 18 = 3 1 đ 24 12 8 2 24 24 24 24 24 4 B = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 3 + 6 + 15 = 25 = 5 1 đ 30 10 5 2 30 30 30 30 30 6 Cõu 3:A = 1 + 1 + 1 + . + 1 = 1.2 2.3 3.4 49.50 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1 - 1 = 49 2 đ 1 2 2 3 3 4 49 50 1 50 50 B = 2 + 2 + 2 + . + 2 = 3.5 5.7 7.9 37.39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 = - + - + - + + - = - = = 2 đ 3 5 5 7 7 9 37 39 3 39 39 13 (1 2n 1)n 2n2 Cõu 4: 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = = = n2 0,5 đ 2 2 Ta cú : n2 = 225 0,5 đ n = 15 0,5 đ Cõu 5: 0,5 đ Đến năm mà tuổi con bằng 3 tuổi mẹ thỡ tuổi mẹ hơn tuổi con là: 7 n2 = 152 1 - 3 = 4 (tuổi mẹ) và bằng 28 tuổi. 7 7 1,5 đ Vậy lỳc đú tuổi của mẹ là: 28 : 4 = 49 (tuổi) 7 1,5 đ Từ nay đến lỳc đú là: 49 – 40 = 9 (năm) *) Cỏch khỏc: Gọi số năm cần tỡm là x : 1 đ 12 x 3 Ta cú: = x = 9 40 x 7 Vậy từ nay đến lỳc đú là: 9 (năm) Cõu 6: Vẽ hỡnh đỳng. a) AB = 2MB = 2(MN + NB) = 2( a + b) 1 đ 79
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b) Ta cú:  AOB =  AOM +  MOB O 2 đ =  AOM +  MON +  NOB  NOB =  AOB – ( AOM +  MON) = 1000 – ( 600 + 200) = 200 Vậy tia ON là tia phõn giỏc của gúc MOB. a b Vỡ: Tia ON nằm giữa hai tia OM, OB A M N B 1 đ Và  NOB =  MON = 200 1 đ 1 đ ĐỀ SỐ 53 Bài 1 : (5 điểm) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau : A = 1 + 2 - 3 - 4 +5 + 6 - 7 - 8 + - 2007 - 2008 + 2009 + 2010 7.610.220.36 219.615 16 14 7 7 1 B = C = . 9.619.29 4.317.226 15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 Bài 2 : (5 điểm) a)Tỡm cỏc cặp số nguyờn (a, b) biết 3 a 5 b 33 . b) Cho n là số tự nhiờn, tỡm số nguyờn tố p cú 2 chữ số sao cho p = ƯCLN 2n - 3; 3n +15 c) Cho S = 1 + 5 + 52 + 53 +54 + + 52010 Tỡm cỏc số dư khi chia S cho 2, cho10, cho 13. Bài 3 : (5 điểm) a) Cho a, b, c, d là cỏc số tự nhiờn khỏc 0 và biểu thức: a b c d M = . a b c a b d a c d b c d Hỏi M cú giỏ trị là số tự nhiờn hay khụng? Vỡ sao ? b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y, z sao cho 0 < x ≤ y ≤ z và xy + yz + zx = xyz. 5 Bài 4 : (4 điểm )Cho xã Oy và yã Oz là hai gúc kề bự thoả món xã Oy =yã Oz . 4 a) Tớnh số đo cỏc gúc xOy và yOz. b) Kẻ tia Ot sao cho tãOy 800 .Tia Oy cú là tia phõn giỏc của tảOz khụng ? Tại sao ? c) Qua O kẻ thờm 50 đường thẳng nữa sao cho cỏc đường thẳng này đều khụng chứa cỏc tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường trũn tõm O bỏn kớnh r. Gọi A là tập hợp cỏc giao điểm của đường trũn núi trờn với cỏc tia gốc O cú trong hỡnh vẽ, tớnh số tam giỏc mà cỏc đỉnh của nú đều thuộc tập hợp A. (Cho biết 3 điểm cựng nằm trờn một đường trũn thỡ khụng thẳng hàng). Bài 5 : (1 điểm) Cho một lưới vuụng kớch thước 5 5. Người ta điền vào mỗi ụ của lưới một trong cỏc số -1; 0; 1. Xột tổng của cỏc số được tớnh theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chộo. Hóy chứng tỏ rằng trong tất cả cỏc tổng đú luụn tồn tại hai tổng cú giỏ trị bằng nhau. ĐÁP ÁN BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 80
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau : A = 1 + 2 - 3 - 4 +5 + 6 - 7 - 8 + - 2007 - 2008 + 2009 + 2010 (1,5 điểm) A = 1 + (2 - 3 - 4 +5)+ (6 - 7 - 8 + 9) + +(2006 - 2007 - 2008 + 2009) + 2010 1 A =1+ 0 + 0 + 0 + 2010 = 2011 0.5 7.610.220.36 219.615 B = (2 điểm) 9.619.29 4.317.226 7.210.310.220.36 219.215.315 B = 2 19 19 9 2 26 17 0.5 3 .2 .3 .2 2 .2 .3 230.316.7 234.315 BÀI 1 : B = 0.5 228.321 228.317 (5 ĐIỂM) 230.315.(7.3 24 ) B = 0.5 228.317 (34 1) 22 (21 16) B = 0.25 33 (81 1) 22 (21 16) 4.5 1 0.25 B = 3 = = 3 (81 1) 9.80 36 16 14 7 7 1 (1,5 C = 15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 5 C = 0.5 15 31 31 45 52 52 65 65.70 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C = 15 31 31 45 52 52 65 65 70 0.5 1 1 14 3 11 C = = 15 70 15.14 210 0.5 81
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a)Tỡm cỏc cặp số nguyờn (a, b) biết 3a+ 5b= 33 (1) (2 điểm) Vỡ a, b nguyờn => 3a 3, 33 3=>5b  3 0,25 mà (3, 5) =1 =>b  3 0,25 3a+ 5b= 33 =>5b≤ 33 =>b≤ 6,6 (2) 0,25 Từ (1), (2) và b nguyờn => b {0; 3; 6} 0,25 Nếu |b| =0 thỡ 3a= 33=>a= 11 => a = 11; b = 0 0,25 Ta cú cỏc cặp (0; 11), (0; -11) Nếu |b| =3 thỡ 3a= 33 – 15 =18 =>a= 6 => a = 6; b = 3 0,25 Ta cú cỏc cặp (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (-6; -3) Nếu |b| = 6 thỡ 3a= 33 – 30 =3 =>a= 1 => a = 1; b = 6 0,25 Ta cú cỏc cặp (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) KL: Ta cú cỏc cặp (0; 11), (0; -11), (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (-6; -3) BÀI 2 : 0,25 (5 ĐIỂM) (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) thoả món đề bài. b) Cho n là số tự nhiờn, tỡm số nguyờn tố p cú 2 chữ số sao cho (1điểm) p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15) 2n 3p vỡ p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15)=> 0, 25 3n 15p 6n 9p 0, 25 6n 30p 6n 30 6n 9 p 0, 25 39p do p là số nguyờn tố cú 2 chữ số => p = 13 0, 25 2 3 4 2010 c) Cho S = 1 + 5 + 5 + 5 +5 + + 5 (2 điểm) Tỡm cỏc số dư khi chia S cho 2, cho10, cho 13. S gồm 2011 số hạng đều là số lẻ nờn S lẻ => S chia cho 2 dư 1. 0, 5 S gồm 2010 số hạng chia hết cho 5 và một số hạng chia cho 5 0, 25 dư 1 => S chia cho 5 dư 1. => S cú tận cựng là 6 hoặc 1 mà S lẻ nờn S cú tận cựng là 1. 0,25 Vậy S chia cho 10 dư 1. 82
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 S = 1 + 5 + 52 + 53 +54 + + 52010 S =1 + 5 + 52 +( 53 +54 + 55 +56) +( 57 +58 + 59 +510) + 0,5 +( 52007 +52008 + 52009 +52010) BÀI 2 : 3 2 3 7 2 3 (Tiếp) S =1 + 5 + 25 +5 (1 + 5 + 5 + 5 ) + 5 (1 + 5 + 5 + 5 ) + 0,25 +52007 (1 + 5 + 52 + 53) 3 7 2007 S =26 + 5 +5 .156 + 5 .156 + +5 .156 0,25 Ta cú 26 và 156 đều chia hết cho 13 vậy S chia cho 13 dư 5. a) Cho a, b, c, d là cỏc số tự nhiờn khỏc 0 và biểu thức: a b c d (2 M = . a b c a b d a c d b c d điểm) Hỏi M cú giỏ trị là số tự nhiờn hay khụng? Vỡ sao ? a a Vỡ a, b, c, d N* a+b+c 0,5 a b c a b c d b b Tương tự : a b d a b c d c c 0,25 a c d a b c d d d b c d a b c d a b c d M > 1 0,25 a b c d BÀI 3 : a a (5 ĐIỂM) Vỡ a, b, c, d N* a + b + c > a + b a b c a b 0,5 b b Tương tự : ; a b d a b c c d d 0,25 ; a c d c d b c d c d a b c d M 2 0,25 a b c d Vậy 1< M < 2 nờn M khụng là số tự nhiờn. 0, 5 b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y, z sao cho 0 < x ≤ y ≤ z và xy + yz + zx = xyz.(1) 1 1 1 Từ (1) 1 0, 75 x y z Lý luận được 1 < x ≤ 3 x {2, 3 } * ) Trường hợp x = 2 tỡm được y {3, 4 } 0, 5 +) y = 3 tỡm được z = 6 0,25 +) y = 4 tỡm được z = 4 0,25 * ) Trường hợp x =3 tỡm được y = z =3 0, 5 Vậy x= 2, y = 3 , z = 6 hoặc x = 2, y = 4 , z = 4 hoặc x = y = z =3 0,25 83
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 5 Cho xã Oy và yã Oz là hai gúc kề bự thoả món xã Oy =yã Oz . (2 4 điểm) a) Tớnh số đo cỏc gúc xOy và yOz. Vẽ hỡnh đỳng. 0, 5 Lập luận xã Oy + yã Oz = 1800. 0,25 5 5 0, 5 mà xã Oy =yã Oz =>yã Oz + yã Oz = 1800. 4 4 9 0, 5 yã Oz = 1800 =>yã Oz = 800 4 =>xã Oy = 1000 0,25 b) Kẻ tia Ot sao cho tãOy 800 . Tia Oy cú là tia phõn giỏc của tảOz (1 khụng ? Tại sao ? điểm) Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường Bài 4 : thẳng chứa tia Oy thỡ tia Ot trựng với tia Oz ( dotãOy yã Oz = 800 ) 0, 5 (4 điểm) nờn tia Oy khụng là tia phõn giỏc của tảOz . Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thỡ tia Oy nằm giữa 2 tia Oz và Ot mà tãOy yã Oz 0,5 (= 800 ) nờn tia Oy là tia phõn giỏc của tảOz . c) Qua O kẻ thờm 50 đường thẳng nữa sao cho cỏc đường thẳng này đều khụng chứa cỏc tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường trũn tõm O bỏn kớnh r. Gọi A là tập hợp cỏc giao điểm của đường trũn núi trờn với cỏc tia (1 gốc O cú trong hỡnh vẽ, tớnh số tam giỏc mà cỏc đỉnh của nú đều điểm) thuộc tập hợp A. (Cho biết 3 điểm cựng nằm trờn một đường trũn thỡ khụng thẳng hàng). Lập luận cú 50.2 + 4 = 104 tia gốc O => A cú 104 điểm. 0,25 Lập luận để cú 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm 0,25 của A Nối 2 đầu của mỗi đoạn thẳng với 1 điểm thuộc 102 điểm cũn lại 0,25 (khụng phải là cỏc mỳt của đoạn thẳng đú) được 102 tam giỏc. Vậy cú 5356.102 tam giỏc. Nhưng như thế thỡ mỗi tam giỏc được tớnh 3 lõn, vậy ta cú5356.102 : 3 = 182104 tam giỏc. 0,25 Bài 5 : Bài 5 : (1 điểm) (1 điểm) Cho một lưới vuụng kớch thước 5 5. Người ta điền vào mỗi ụ của lưới một trong cỏc số -1; 0; 1. Xột tổng của cỏc số được tớnh theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chộo. Hóy chứng tỏ rằng trong tất cả cỏc tổng đú luụn tồn tại hai tổng cú giỏ trị bằng nhau. Vỡ lưới vuụng cú kớch thước 5 5 thỡ cú 5 cột, 5 hàng và 2 đường chộo, do đú cú tất cả 12 tổng. Do chọn điền vào ụ cỏc số -1, 0 ,1 nờn 0,5 giỏ trị mỗi tổng S là một số nguyờn thoả món : -5 ≤ S ≤ 5 . Vậy cú 11 số mà 12 tổng , theo nguyờn tắc Đi-rớch-lờ tồn tại hai tổng 0,5 cú giỏ trị bằng nhau. 84
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 ĐỀ SỐ 54 Đề Olimpic huyện năm học 2006 2007 (Thời gian làm bài 120 phỳt) Bài 1. Tỡm chữ số x để: a) 137 + 3x chia hết cho 13. 15 25 b)137x137x chia hết cho 13.Bài 2. a) So sỏnh phõn số: Với 301 499 1 2 3 n 2007 b) So sỏnh tổng S = với 2. ( n N*) 2 22 23 2n 22007 Bài 3. Với giỏ trị nào của số tự nhiờn a thỡ: a) 8a 19 cú giỏ trị nguyờn b) 5a 17 cú giỏ trị lớn nhất. 4a 1 4a 23 Bài 4. Tỡm chữ số tận cựng của số 62006, 72007 Bài 5. Trong một cuộc thi cú 50 cõu hỏi. Mỗi cõu trả lời đỳng được 20 điểm, cũn trả lời sai bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đú trả lời được mấy cõu đỳng ? ĐÁP ÁN Bài 1. Tỡm chữ số x để: a) 137 + 3x chia hết cho 13. A = 137 + 3x = 137 + 30 + x = 12. 13 + (11 + x) => A 13 Khi 11 + x  13 Vỡ x là chữ số từ 0 - > 9 => x = 2 b)137x137x chia hết cho 13. B 137x137x 13.106 7x.104 13.102 7x 13.(106 102 ) 7x.10001 10001 khụng chia hết cho 13 => B 13 Khi 7x  13 => x = 8 Bài 2. a) So sỏnh phõn số: 15 Với 25 301 499 15 15 1 25 25 15 25 . Vậy a = 0, a = 4 85
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 b) 5a 17 cú giỏ trị lớn nhất. 4a 23 5a 17 20a 68 5(4a 23) 47 5 47 4a 23 4(4a 23) 4(4a 23) 4 4(4a 23) Như vậy bài toỏn đưa về tỡm số tự nhiờn a để 4a – 23 là số tự nhiờn nhỏ nhất. Vậy a = 6 => 5a 17 = 13 4a 23 Bài 4. Tỡm chữ số tận cựng của số 62006, 72007 Ta cú: 62 = 36 ≡ 6 (mod10), vậy 6n ≡ 6 (mod10)  số nguyờn dương n => 62006 ≡ 6 (mod10) => chữ số tận cựng của 62006là 6 74 = 2401 ≡ 1 (mod10), mà 72007 = 74.501.73 (74)501 ≡ 1 (mod10) => chữ số tận cựng của 72004 là 1, Mà chữ số tận cựng của 73 là 3 => chữ số tận cựng của 72007 là 3 Bài 5. Nếu bạn đú trả lời được 50 cõu thỡ tổng số điểm là 50 x 20 = 1.000 (điểm) Nhưng bạn chỉ được 650 điểm cũn thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm). Thiếu 350 điểm vỡ trong số 50 cõu bạn đó trả lời sai một số cõu. Giữa cõu trả lời đỳng và trả lời sai chờnh lệch nhau 20 + 15 = 35(điểm). Do đú cõu trả lời sai của bạn là 350:35 =10 (cõu) Vậy số cõu bạn đó trả lời đỳng là 50 – 10 = 40 (cõu) 86
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 ĐỀ SỐ 55 Bài 1: Hóy chọn Kết quả đỳng. 1 1 1 1 Tỡm x biết rằng: 5.8 8.11 x(x 3) 6 a. x = 27 c. x = 25 b. x = 35 d. x = 205 Bài 2: Hóy chọn Kết quả đỳng. Gúc xOy cú hai tia phõn giỏc khi: a. Gúc xOy là gúc bẹt. b. Gúc xOy là gúc tự. c. Gúc xOy là gúc vuụng. d. Gúc xOy là gúc nhọn. Bài 3: Hóy chọn Kết quả đỳng. Cho 2 số: x = 222221 ; y = 444443 ; ta cú: 222222 444445 a. x = y c. x y 3 8 9999 Bài 4: So sỏnh giỏ trị của biểu thức: A = với số 99. 4 9 10.000 Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B, đi từ A với vận tốc 10km/ h, nhưng từ chớnh giữa đường đến B với vận tốc 15km/h. Tớnh xem trờn cả quóng đường người đú đi với vận tốc trung bỡnh là bao nhiờu. Bài 6: Tỡm cặp số nguyờn dương (x;y) sao cho (x- 1) (5y + 2) = 16. Bài 7: Xột hỡnh vẽ bờn: a. Cú những tam giỏc nào cú cạnh NC. A b. Cú tất cả bao nhiờu gúc cú đỉnh là N; hóy kể ra. c. Nếu biết gúc MPB = 60 0 , M K N NPC = 500 K H I thỡ PN cú là phõn giỏc của gúc MPC hay khụng ? vỡ sao? B P C ĐÁP ÁN Bài 1: 2 điểm Chọn cõu a: x = 27 Bài 2: 2 điểm Chọn cõu a: Bài 3: 2 điểm Chọn cõu c: x < y Bài 4: 2 điểm Biến đổi: 1 1 1 A = (1 ) (1 ) (1 ) 4 9 10000 0.5 1 1 1 = (1 ) (1 ) (1 ) 0.5 22 32 1002 1 1 1 = 99 - ( ) = 99 - B 0.5 22 32 1002 87
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 1 1 1 1 Trong đú B = ( ) 22 32 42 1002 0.5 Vỡ B > 0 nờn A < 99 Bài 5: 3 điểm Trờn quóng đường AB cứ 2km thỡ cú 1km đi với vận 1.0 tốc10km/h (hết 1/10h); 1km đi với vận tốc 15km/h (hết 1/15h) 1.0 Nờn cứ 2km người đú đi hết: 1 1 1 (h) 0.5 10 15 6 Vậy vận tốc trung bỡnh của người đú là: 0.5 2 : 1/6 = 12km/h Bài 6: 3 điểm Vỡ x,y nguyờn dương nờn x - 1 là uúc của 16 Mà Ư (16) = 1;2;4;8;16 0.5 Ta cú: x -1 = 1 x = 2 x -1 = 2 x = 3 x -1 = 4 x = 5 x -1 = 8 x = 9 1.0 x -1 = 16 x = 17 Thay lần lượt cỏc giỏ trị của x vừa tỡm được vào (x - 1) (5y + 2) = 16 x = 2 ta cú: 5y + 2 = 16 y = 14/5 loại x = 3 ta cú: 2 (5y + 2) = 16 y = 6/5 loại x = 5 ta cú: 4 (5y + 2) = 16 y = 2/5 loại 1.0 x = 9 ta cú: 8 (5y + 2) = 16 y = 0 x = 17 ta cú: 16 (5y + 2) = 16 y = - 1/5 loại 0.5 Kết luận: Cặp số nguyờn dương cần tỡm là (9;0) Bài 7: 6 điểm a. Những tam giỏc cú cạnh NC: NCI; NCP; NCK; NCB. 2.0 b. Những gúc cú đỉnh là N: ANC, ANB, ANP 2.0 BNP, BNC, PNC c. Ta cú tia PM và PN nằm giữa hai tia PB và PC Nờn BPM + MPN + NPC = BPC = 1800 0.5 Mà BPM = 600 ; MPC = 500 Suy ra: MPN = 1800 - 600 - 500 = 700 0.5 Ta thấy: MPN NPC 1.0 Nờn PN khụng phải là phõn giỏc của gúc MPC. ĐỀ SỐ 56 Hóy khoanh trũn chữ a, b, c hoặc d nếu đú là cõu đỳng. Bài 1: Cho 2 số nguyờn m và n: 88
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 a. m + n = m + n với mọi m và n. b. m + n = m + n với mọi m và n cựng dấu. c. m + n = m + n với mọi m và n trỏi dấu. d. m + n = m + n với mọi m và n cựng dương. Bài 2: Biết 5 của x bằng 21 ; tỡm x: 6 10 a. 63 b. 7 c. 10 d. 4 25 4 21 7 9 1 1 1 1 Bài 3: Kết quả tổng A = là: 10 90 72 6 2 a. 1 b. 2 c. 9 d. 0 2 10 Bài 4: Chứng minh :A = (2005 +20052 + + 200510) 2006 Bài 5: Tỡm hai số nguyờn dương biết tớch của hai số ấy gấp đụi tổng của hai số ấy. 23 2 Bài 6: So sỏnh 2 số: 22 và 3 23 Bài 7: Tỡm x biết: 4x - 5 + 2 3x - 4 +12 = 0 Bài 8: Cho điểm O trờn đường thẳng xy. Trờn nửa mặt phẳng cú bờ là xy vẽ tia Oz sao cho gúc xOz nhỏ hơn 900. a. Vẽ tia Om; On lần lượt là phõn giỏc của gúc xOz và gúc zOy. b. Tớnh số đo cỏc gúc nhọn trong hỡnh nếu số do gúc mOz bằng 300. ĐÁP ÁN Bài 1: 2 điểm Chọn cõu d: Bài 2: 2 điểm Chọn cõu a: Bài 3: 2 điểm Chọn cõu d: Bài 4: 2 điểm Ta cú: A = (2005 +20052 + + 20059 + 200510) = = 2005 (1 + 2005) +20053 (1 + 2005)+ + 20059 (1+ 2005) = 2006 (2005 + 20053 + + 20059 )  2006 Vậy A  2006. Bài 5: 4 điểm Gọi 2 số nguyờn dương phải tỡm là a và b. 0.5 Ta cú: 2 (a + b) = ab (1) 0.5 Do vai trũ của a và b như nhau; ta giả sử a 0 ta được a 4 0.5 Thay a = 1 vào (1) ta được 2b + 2 = b loại Thay a = 2 vào (1) ta được 4 + 2b = 2b loại 0.5 Thay a = 3 vào (1) ta được 6 + 2b =3 b b = 6 Thay a = 4 vào (1) ta được 8 + 2b =4 b b = 4 0.5 Vậy cú 2 cặp số thoả món là 3 và 6; 4 và 4. 0.5 Bài 6: 2 điểm 3 Ta cú 32 38 94 84 212 210 89
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 23 10 9 9 9 32 Từ đú: 23 22 22 2 42 32 32 1.0 23 32 1.0 Suy ra: 23 32 Bài 7: 2 điểm Khụng tỡm được x vỡ vế trỏi luụn lớn 0 với mọi x. Bài 8: 4 điểm a. Vẽ hỡnh đỳng (1đ) m z n x O y 0.5 b. Vỡ Om là phõn giỏc của gúc xOz nờn xOm = mOz = 1/2xOz mà mOz = 300 0.5 Suy ra: xOm = 300 xOz = 600 0.5 + vỡ gúc xOz và zOy kề bự nờn xOz = zOy = 1800 0.5 Suy ra: zOy = 1800 - xOz 1 = 1800 - 600 = 1200 + Vỡ On là phõn giỏc của gúc zOy nờn zOn = nOy = 1/2 zOy = 1/2 . 1200 = 600 Kết luận: xOm = 300 xOm = nOy = 600 ĐỀ SỐ 57 Khoanh trũn chữ a,b,c,d nếu đú là cõu đỳng. Bài 1: Cho 2 số nguyờn m và n: a. m . n = m . n vúi mọi m và n. b. m . n = m . n với mọi m và n cựng dấu. c. m . n = m . n với mọi m và n trỏi dấu. d. m . n = m . n với mọi m và n cựng õm. Bài 2: Với a là số nguyờn: a a2 a3 Tổng: khụng phải là số nguyờn. 3 2 6 Khẳng định trờn là: a. Đỳng b. sai Bài 3: Qua ba điểm bất kỳ A,B,C ta cú: a. AB + BC = AC c. AB + BC AC b. AB + BC > AC b. AB + BC AC Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 A = 3 32 33 399 2 Bài 5: Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số p + 2 và p + 4 Cũng là cỏc số nguyờn tố. 90
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 Bài 6: Tỡm ssú tự nhiờn nhỏ nhất cú tớnh chất sau: Số đú chia cho 3 thỡ dư 1; chia cho 4 thỡ dư 2, chia cho 5 thỡ dư 3, chia cho 6 thỡ dư 4 và chia hết cho 13. Bài 7: Tỡm x biết: x- 1 = 2x + 3 Bài 8: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm. Điểm C nằn giữa Avà B sao cho AC = 2cm. Cỏc điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. Gọi I là trung điểm của DE. tớnh DE và CI. ĐÁP ÁN Bài 1: 2 điểm Chọn cõu a: Bài 2: 2 điểm Chọn cõu b: Bài 3: 2 điểm Chọn cõu c: Bài 4: 2 điểm 1 1 1 1 Ta cú: 3A = 1 0,5 3 32 33 398 Nờn 3A - A = 1 - 1 0.5 399 1 1 1 1 Hay 2A = 1 - A = 0.5 399 2 2.399 2 Vậy A < ẵ 0.5 Bài 5: 3 điểm Số p cú một trong 3 dạng 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k N * 0.5 Nếu p = 3k thỡ p = 3 ( vỡ p là số nguyờn tố) 0.5 Khi đú p + 2 =5; p + 4 =7 đều là cỏc số nguyờn tố. 0.5 Nếu p = 3k + 1 thỡ p + 2 = 3k +3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 0.5 nờn p +2 là hợp số trỏi với đề bài. Nếu P = 3k +2 thỡ p +4 = 3k + 6 chia hết cho 3 lớn hơn 3 nờn 0.5 p + 4 là hợp số; trỏi với đề bài. 0.5 Vậy p = 3 là giỏ trị duy nhất phải tỡm. Bài 6: 3 điểm Gọi x là số phải tỡm thỡ x + 2 chia hết cho 3; 4; 5; 6 nờn x +2 là 0.5 bội chung của 3; 4; 5; 6 BCNN (3,4,5,6) = 60 nờn x + 2 = 60n 0.5 Do đú x = 60n - 2 (n = 1,2,3 ) 0.5 Do x là số nhỏ nhất cú tớnh chất trờn và x phải chia hết cho 13. 0.5 Lần lượt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10 Thỡ x = 598 chia hết cho 13. 0.5 Số nhỏ nhất cần tỡm là 598. 0.5 Bài 7: 2 điểm x - 1 = 2x + 3 ta cú: x - 1 = 2x + 3 hoặc x - 1 = -(2x + 3) 0.5 * x - 1 = 2x +3 2x - x = -1 - 3 x = - 4 0.5 * x - 1 = -(2x + 3) 91
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 x + 2x = -3 + 1 x = -2/3 Vậy x = -4; x = -2/3 0.5 Bài 8: 4 điểm Vẽ hỡnh đỳng A D C I E B 0.5 + Ta cú: AC + CB = AB ( vỡ C nằm giữa AB) nờn CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vỡ D và E nằm giữa A,B nờn 0.5 AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB 0.5 AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vỡ D là trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vỡ E là trung điểm BC) Vậy DE = 7 - 1 - 2,5 = 3,5 (cm) 0.5 + Vỡ I là trung điểm của DE 0.5 Nờn DI = 1/2 DE = 1/2 .3,5 = 1,75(cm) Suy ra AI = AD + DI = 1 + 1,75 = 2,75 + Ta thấy AD < AC < AI nờn (nằm giữa D và I) 0.5 nờn DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - 1 = 0,75 (cm). Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm. 0.5 0.5 ĐỀ SỐ 58 Đề Olimpic huyện năm học 2005 2006 (Thời gian làm bài 120 phỳt) 9. 520. 279 3.915. 259 Bài 1. Thực hiện phộp tớnh: 7. 329.1256 3. 39. 1519 Bài 2. Thay dấu “ * ” bằng cỏc chữ số thớch hợp để 359 chia cho 5; 6; và 7 đều cú số dư là 1 Bài 3. Một Đoàn khỏch 300 người đi du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long. Trong đú cú ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lỏi chở được 30 khỏch, loại thứ hai 2 người lỏi chở được 30 khỏch, loại thứ ba 2 người lỏi chở được 24 khỏch. Tớnh toỏn sao cho số thuyền, số người lỏi thuyền để chở hết số khỏch khụng thừa, khụng thiếu người trờn thuyền. Đoàn đó dựng 11 chiếc thuyền và 19 người lỏi. Tớnh số thuyền mỗi loại ? Bài 4. Số 250 viết trong hệ thập phõn cú bao nhiờu chữ số ? Bài 5. Tỡm ƯCLN của 77 7, (51 chữ sú 7) và 777777. HƯỚNG DẪN Bài 1. (4 điểm) Thực hiện phộp tớnh: 92
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 9. 520. 279 3.915. 259 32 . 520 . 327 3 . 330 . 518 = 7. 329.1256 3. 39. 1519 7 . 329 . 518 310 . 319 . 519 329 . 520 331 . 518 329 . 518 (52 32 ) 8 (Mỗi bước 1 đ) 7 . 329 . 518 329 . 519 329 . 518 (7 5) Bài 2. (5 điểm) Thay dấu “ * ” bằng cỏc chữ số thớch hợp để 359 chia cho 5; 6; và 7 đều cú số dư là 1 Theo bài ra suy ra: (359 - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 đ) Hay 359ab = 35700 + 200 + ab (a; b N; 0 a; b 9) (1 đ) => 359ab - 1 = 210 . 170 + 199 + ab (1 đ) => 199 + ab chia hết cho 210 => ab = k . 210 - 199 (k N ) (1,5 đ) k = 1 => ab = 11. Vậy số cần tỡm là 35911 (1,5 đ) Bài 3. . (4 điểm) Một Đoàn khỏch 300 người đi du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long. Trong đú cú ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lỏi chở được 30 khỏch, loại thứ hai 2 người lỏi chở được 30 khỏch, loại thứ ba 2 người lỏi chở được 24 khỏch. Tớnh toỏn sao cho số thuyền, số người lỏi thuyền để chở hết số khỏch khụng thừa, khụng thiếu người trờn thuyền. Đoàn đó dựng 11 chiếc thuyền và 19 người lỏi. Tớnh số thuyền mỗi loại ? Giả sử mỗi thuyền đều chở 30 người thỡ 11 thuyền chở được: 30 . 11 = 330 (người). (1 đ) Nờn số thuyền 2 người lỏi chở 24 người / thuyền là (330 - 300): (30 - 24) = 5 (thuyền) (1 đ) Giả sử mỗi thuyền đều cú 2 người lỏI, thỡ số người lỏI thuyền là: 11 . 2 = 22 (người). (1 đ) Nờn số thuyền 1 người lỏI chở 30 người là: 22 -19 = 3 (thuyền) Suy ra số thuyền 2 người lỏI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = 3 (thuyền) (1 đ) Bài 4. (4 điểm) Số 250 viết trong hệ thập phõn cú bao nhiờu chữ số ? Nhận xột: Số a cú n chữ số khi và chỉ khi: 10n 1 a 10n (1 đ) Ta thấy: 250 216 . 234 216 . (29 )3 . 27 216 . 5123 . 128 (1) (0,5 đ) 1016 216 . 516 216 . (54 ) 4 216 . 6254 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 250 1016 (0.5 đ) Mặt khỏc: 250 215 . 235 215 . (27 )5 215 . 1285 (3) (0,5 đ) 1015 215 . 515 215 . (53 )5 215. 1255 (4) Từ (3) và (4) suy ra: 1015 250 (0.5 đ) Vậy ta cú: 1015 250 1016 ; Nờn số 250 cú 16 chữ số viết trong hệ thập phõn (1đ) Bài 5. (3 điểm) Tỡm ƯCLN của 77 7, (51 chữ sú 7) và 777777. 93
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 45 39 3 Ta cú: 77. 7 = 777777.10 +777777. 10 + . . .+ 777777 .10 +777 (0.5 đ) 51 chu sụ 7 = 777777(1045 + 1039 + . . . + 103) + 777 (0.5 đ) Suy ra: 77. 7 chia cho 777 777 dư 777 (0.5 đ) 51 chu sụ 7 45 39 3 Đặt 77. 7 = A ; 777 777 = B; 10 + 10 + . . . + 10 = C (0.5 đ) 51 chu sụ 7 Ta cú A = B.C + 777 hay A - B. C = 777. Từ đú mọi ước chung của A và B đều là ước của 777. Mặt khỏc 777 là ước số của A và B (0.5 đ) ( A = 777.(1048 +1045 + . . . + 1); B = 777 . 1001) Vậy 777 chớnh là ƯCLN của A và B. (0.5 đ) ĐỀ SỐ 59 Bài 1: Tỡm số tự nhiờn cú 3 chữ số abc , biết rằng: b 2 ac và abc cba 495 . Bài 2: a)Tớnh nhanh: 1978.1979 1980.21 1958 1980.1979 1978.1979 52.611.162 62.126.152 b)Rỳt gọn: 2.612.104 812.9603 Bài 3: Tỡm số tự nhiờn n để phõn số 6n 99 3n 4 a)Cú giỏ trị là số tự nhiờn. b)Là phõn số tối giản. 1 2 3 n 11 1 Bài 4: Cho A với n N. Chứng minh rằng A 52 53 54 5n 1 512 16 Bài 5: Trờn đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Gúc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540. a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz. b) Chứng minh tia Ot là tia phõn giỏc của gúc zOy. HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta cú abc cba 100a 10b c 100c 10b a 100a 10b c 100c 10b a 99a 99c 99 a c 495 a c 495 : 99 5 Vỡ b 2 ac và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nờn ta cú: Với a = 9  c = 4 và b2 = 9.4 = 36  b = 6 (Nhận) Với a = 8  c = 3 và b2 = 8.3 = 24  khụng cú giỏ trị nào của b. Với a = 7  c = 2 và b2 = 7.2 = 14  khụng cú giỏ trị nào của b. Với a = 6  c = 1 và b2 = 6.1 = 6  khụng cú giỏ trị nào của b . 1978.1979 1980.21 1958 1978.1979 1979.21 21 1958 1980.1979 1978.1979 1979. 1980 1978 1979. 1978 21 21 1958 1979. 1978 21 1 Bài 2: a) 1979.2 1979.2 1979.2000 1000 1979.2 94
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 2 6 52.611.162 62.126.152 52. 2.3 11. 24 2.3 2. 22.3 . 3.5 2 12 4 2 3 2 3 2.6 .10 81 .960 2. 2.3 12. 2.5 4 34 . 26.3.5 52.219.311 214.310.53 52.310.214. 25.3 5 25.3 5 17 4 12 11 18 3 17 3 11 3 b) 2 .5 .3 3 .2 .5 2 .5 .3 . 5.3 2 2 .5.3.12 32.3 5 96 5 101 8.15.12 120.12 1440 6n 99 6n 8 91 2 3n 4 91 2 3n 4 91 91 Bài 3: Đặt A = 2 3n 4 3n 4 3n 4 3n 4 3n 4 3n 4 a) Để A là số tự nhiờn thỡ 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}. Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vỡ n là số tự nhiờn. Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15. Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9. Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3. b) Để A là phõn số tối giản thỡ 91 khụng chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 khụng là ước của 91 Suy ra 3n + 4 khụng chia hết cho ước nguyờn tố của 91. Từ đú suy ra: 3n + 4 khụng chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1. 3n + 4 khụng chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3. 1 2 3 n 11 Bài 4: Xột 5A Suy ra: 5 52 53 5n 511 1 2 3 n 11 1 2 3 n 11 4A 5A A 2 3 n 11 2 3 4 n 1 12 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 11 4A 5 52 53 5n 511 512 11 4A B 512 Với 1 1 1 1 1 B 5 52 53 5n 511 1 1 1 1 1 5B 1 5 52 53 5n 1 510 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4B 5B B 1 2 3 10 2 3 n 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 511 1 511 1 4B 1 B 511 511 4.511 95
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 511 1 11 512 5 44 1 512 49 1 49 1 4A A 1 4.511 512 4.512 16 512 16 512 16 Bài 5: Hỡnh vẽ t y z 970 0 0 54 x' 40 x O a)Theo đề bài ta cú gúc x’Ox = 1800 mà gúc x’Oy và gúc yOx kề bự. Mà gúc x’Oy = 400 ⇒ gúc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: gúc xOt < gúc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại cú: gúc xOz < gúc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy. b)Theo cõu a ta cú tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Gúc zOt + gúc tOy = gúc zOy. Vỡ tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Gúc xOt + gúc tOy = gúc xOy hay gúc tOy = 430 ( vỡ gúc xOt = 970 và gúc xOy = 1400). Vỡ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Gúc xOz + gúc zOt = gúc xOt hay gúc zOt = 430 ( vỡ gúc xOt = 970 và gúc xOy = 540). Suy ra gúc tOy = gúc zOt = 430. Vậy tia Ot là tia phõn giỏc của gúc zOy ĐỀ SỐ 60 Phũng GD huyện Ngọc Lạc Trường Cao Thịnh năm 2006 2007 Thời gian làm bài:120 phỳt Bài 1 (4 điểm) : Tớnh giỏ trị của biểu thức : a/ A = 1 + (-2) +3 + (-2) + + 2003 + (-2004) + 2005 b/ B = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + (B cú 2005 số hạng) Bài 2(5 điểm) : a/ Chứng minh : C = ( 2004 + 20042 + 20043 + +200410 ) chia hết cho 2005 b/ Tỡm số nguyờn n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1. Bài 3(4 điểm) : Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất biết rằng số đú chia cho 3 thỡ dư 1 ; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3 ; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13. Bài 4(2 điểm) : Tỡm x là số nguyờn biết : x 5 x 5 0 . Bài 5 (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 7 cm ; điểm C nằm giữa A và b sao cho AC = 2 cm ; cỏc điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB ,Gọi I là trung điểm của DE.Tớnh độ dài của DE và CI. ĐÁP ÁN Bài 1 : a/ A = 1 + (-2+3) + (-3+4) + + (-2002+2003) + (-2004 + 2005) 96
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 = 1+ 1 + 1 + + 1+ + 1 ( cú 1002 số hạng) = 1003 b/ B = 1 – 7 +13 – 19 + 25 – 31 + (B cú 2005 số hạng) = 1 +C C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) + (C cú 1002 cặp) = 6 + 6+ 6 + = 6012 Vậy B = 6013 Bài 2 : a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + +( 20049+200410) = 2004.2005 + 20043.2005 + + 20049.2005 = 2005.( 2004 +20043+ + 20049) 2005 n 4 3 b/ n + 4 = (n + 1) + 3 1 Z n 1 n 1 3 Z n 1 Ư(3) = { 1; 3 } n 1 Vậy n {-4;-2;0;2} Bài 3 : Gọi số phải tỡm là a (a nguyờn dương) Theo gt : chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2 ,chia cho 5 dư 3 ,chia cho 6 dư 4 suy ra a +2 chia hết cho 3,4,5,6. BCNN(3;4;5;6) = 60 suy ra a+2 60 hay a = 60k -2 (k N) Mặt khỏc a  13 suy ra 60k -2  13 hay 8k-2 13 Do a nhỏ nhất suy ra k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 k = 10 suy ra a = 598 Bài 4 : x 5 x 5 0 Nếu x 5 : x-5+x-5=0 x=5 (TM) Nếu x <5 : 5-x+x-5 =0 0.x = 0 phương trỡnh thoó món với mọi x <5 Vậy với cỏc số nguyờn x 5 thoó món bài ra. Bài 5 : C nằm giữa A và B : CB = AB – AC= 5 cm D là trung điểm AI : AD = DC = 1cm E là trung điểm CB : CE = EB = 2,5 cm DE = DC + CE = 3,5 cm I là trung điểm DE : DI = 1 ,75 cm CI = DI-DC = 0,75 cm Đề số 61 Thời gian làm bài 120 phỳt Bài 1( 8 điểm 1. Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phõn số a ( a<b) cựng thờm m đơn vị vào tử và mẫu thỡ phõn số mới lớn hơn b hay bộ hơn a ? b 4. Cho số 155*710* 4*16 cú 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay cỏc dấu * bởi cỏc chưc số khỏc nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cỏch tuỳ thỡ số đú luụn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 97
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3 a) ; b) 2 4 8 16 32 64 3 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2: (2 điểm ) Trờn tia Ox xỏc định cỏc điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tớnh độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xỏc định điểm M trờn tia Ox sao cho OM = 1 (a+b). 2 HD ĐỀ 61 Cõu Nội dung điểm 1. Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau: Để tỡm chữ số tận cựng của cỏc số chỉ cần xột chữ số tận cựng của từng số : a) 571999 ta xột 71999 Ta cú: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cựng bằng 3 0,25 Vậy số 571999 cú chữ số tận cựng là : 3 b) 931999 ta xột 31999 Ta cú: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 0,25 Suy ra chữ số tận cựng bằng 7 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . CMR: A chia hết cho 5 Bài 1: Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xột chữ số tận cựng của A bằng việc xột chữ số tận cựng của từng số hạng. Theo cõu 1b ta cú: 9999931999 cú chữ số tận cựng là 7 Tương tự cõu 1a ta cú: (74)499.7 =2041499.7 cú chữ số tận cựng là 7 0,5 Vậy A cú chữ số tận cựng là 0, do đú A chia hết cho 5. 3 Theo bài toỏn cho a <b nờn am < bm ( nhõn cả hai vế với m) 0.25 ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) 0.25 a a m a(b+m) < b( a+m) b b m 4.(1 đ ) Ta nhận thấy , vị trớ của cỏc chữ số thay thế ba dấu sao trong số trờn đều ở hàng chẵn và vỡ ba chữ số đú đụi một khỏc nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nờn tổng của chỳng luụn bằng 1+2+3=6. Mặt khỏc 396 = 4.9.11 trong đú 4;9;11 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vỡ số tạo bởi hai chữ số tận cựng của A là 16 chia hết cho 4 + A  9 vỡ tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 + A  11 vỡ hiệu số giữa tổng cỏc chữ số hàng chẵn và tổng cỏc chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 Vậy A  396 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5(4 đ ) a) Đặt A= 2 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 2 22 23 24 25 1 26 1 1 2A+A =3A = 1- 1 3A < 1 A < 26 26 3 1 2 3 4 99 100 b) Đặt A= 3 32 33 34 399 3100 98
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 2 3 3 4 99 100 3A= 1- 3 32 33 33 398 399 1 1 1 1 1 100 4A = 1- 3 32 33 398 399 3100 2.0 1 1 1 1 1 4A< 1- (1) 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- 3B= 2+ 3 32 33 398 399 3 32 397 398 4B = B+3B= 3- 1 < 3 B < 3 (2) 399 4 Từ (1)và (2) 4A < B < 3 A < 3 4 16 Bài 2 B A x 2 đ O M a) (1 điểm )Vỡ OB < OA ( do b <a) nờn trờn tia Ox thỡ điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đú: OB +OA= OA Từ đú suy ra: AB= a - b b)(1 điểm )Vỡ M nằm trờn tia Ox và OM = 1 a b 2b a b a b OA OB 1 (a b) b OB + OB AB 2 2 2 2 2 2 M là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM ĐỀ 62 Thời gian làm bài: 120 phỳt. A – Phần số học : (7 điểm ) Cõu 1:( 2 điểm ) a, Cỏc phõn số sau cú bằng nhau khụng? Vỡ sao? 23 ; 23232323 ; 2323 ; 232323 99 99999999 9999 999999 b, Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Cõu 2:( 2 điểm ) Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A = (1 + 1 - 1 ):(1 + 1 - 1 + 1 . 1 . 1 ) + 1:(30. 1009 – 160) 7 23 1009 23 7 1009 7 23 1009 Cõu 3 :( 2 điểm ) a, Tỡm số tự nhiờn x , biết : ( 1 + 1 + . . . + 1 ).x = 23 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 30 1 b,Tỡm cỏc số a, b, c , d N , biết : = 1 43 a 1 b 1 c d Cõu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiờn chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tỡm a, biết a bộ nhất. B – Phần hỡnh học ( 3 điểm ) : Cõu1: ( 2 đ ) Gúc tạo bởi 2 tia phõn giỏc của 2 gúc kề bự, bằng bao nhiờu? Vỡ sao? Cõu 2: ( 1 đ) Cho 20 điểm, trong đú cú a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tỡm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. HD ĐỀ 62 99
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 A. Phần số học 23 23.101 2323 23 23.10101 232323 23 23.1010101 23232323 Cõu 1: a,Ta thấy; ; ; 99 99.101 9999 99 99.10101 999999 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 Vậy; 99 9999 999999 99999999 b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thỡ 9 . x + 5 . y chia hết cho 17 Ta cú 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại ta cú: 4 ( 2x + 3y )  17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 Cõu 2 ; Ta viết lại A như sau : 1 1 1 ( ).23.7.1009 1 A=23 7 1009 + 1 1 1 1 1 1 ( . . ).23.7.1009 (23 7).1009 161 1 23 7 1009 23 7 1009 = 7.1009 23.1009 23.7 + 1 = 1 7.1009 23.1009 23.7 1 23.1009 7.1009 23.7 1 1 1 1 1 1 1 23 Cõu 3; a, ( ) . x = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 1 1 23 .( ) . x = x = 2 2 2 90 45 30 1 1 1 1 b, = => a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 43 13 1 1 43 1 1 1 4 1 30 30 2 2 1 13 3 4 a 120.q1 58 9a 1080q1 522 Cõu 4; Ta cú (q1, q2 N ) a 135.q2 88 8a 1080.q2 704 Từ ( 2 ) , ta cú 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180 Vỡ a nhỏ nhất, cho nờn, q phải nhỏ nhất => q = 1 => a = 898 B- Phần hỡnh học Cõu 1; Gọi Ot , Ot, là 2tia phõn giỏc của 2 kề bự gúc xOy và yOz y Giả sử , xã Oy = a ; => ãyOz = 1800 – a t 1 1 Khi đú ; tảOy = a ; tã'Oy = ( 180 – a) 2 2 t' 1 1 => tãOt ' , = a (180 a ) = 900 2 2 x O z Cõu 2; Giả sử trong 20 điểm, khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đú, số đường thẳng vẽ được là: 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta cú: 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170 => a = 7 100
Tuyển tập 62 đề thi HSG Toỏn6 101