Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

366 trang dichphong 4640

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ Internet - Hồ Khắc Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_500_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_tu_interne.docx

Nội dung text: Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b, Cho a,b,c,d > 0 a d d b b c c a CMR: + + + 0 d b b c c a a d Bài 4: x2 xy y2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0 x2 xy y2 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = x với x > 0 (x 1995)2 Bài 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho VABC M là một điểm miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ ĐỀ SỐ 424 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trình: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 299
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x 2 5y 2 345 ĐỀ SỐ 425 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) xx - 3x + 4x -2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 ab Tính: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm e) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? g) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. ĐỀ SỐ 426 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a b c)3 a 3 b3 c 3 3 2 b) Rút gọn: 2x 7x 12x 45 3x 3 19x 2 33x 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 300
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x a x 2a 3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499    9100    .09 là số chính phương. (n 2 ). n-2 sè 9 n sè 0 ĐỀ SỐ 427 Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : x2 6 1 10 x2 : x 2 P = 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 301
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ĐỀ SỐ 428 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 9. x2 7x 6 10. x4 2008x2 2007x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 10. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 11. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)( 1 1 1 ) 9 a b c 12. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc x2 10x 21 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 13. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB . 14. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 15. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC ĐỀ SỐ 429 ®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x 2 P = 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 302
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh: 15 x 1 1 a) 2 1 12 x 3 x 4 x 4 3 x 3 148 x 169 x 186 x 199 x 10 b) 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngưêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. e) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? f) Gäi E vµ F lÇn lưît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. g) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9 h) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 x y ĐỀ SỐ 430 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 303
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 431 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: g) x2 – y2 – 5x + 5y h) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 16 A x 2 2 x 5x 5 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 2x 2 2x g) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. h) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 304
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. j) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA k) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? l) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? ĐỀ SỐ 432 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐỀ SỐ 433 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 3n3 2n 2 6n 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n 2) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 305
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 306
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 434 I.Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan ( 2 ®iÓm) H·y chän ph¬ng ¸n ®óng 12000 C©u 1 .KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh lµ: 3012 2992 A. 1 B. 10 C. 100 D. 1000 3 C©u 2. KÕt qu¶ cña phÐp chia (x2 + x +1) : 3x 3 lµ x 1 a. 3(x 1) b. 3(x -1) c. x 1 d. x 1 x 1 3(x 1) 3 C©u 3. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3 + 4x = 0 A. 0 B. 0;2 C. -2;2 D. 0;-2;2 C©u 4. Cho phöông trình ( 3x + 2k – 5 )( 2x – 1 ) = 0 coù moät nghieäm x = 1. Vaäy k = ? : A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 Caâu 5: Hình naøo sau ñaây khoâng coù truïc ñoái xöùng A. Hình thoi B. Hình bình haønh C. Hình chöõ nhaät D.Hình vuoâng C©u 6. Cho ABC vu«ng t¹i A cã AB = 3cm, BC = 5cm , CD lµ ph©n gi¸c cña gãc C thÕ th× tØ sè DA b»ng: DB A . 3 B. 5 C. 4 D. 5 5 3 5 4 C©u 7. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng 6cm vµ 8cm th× chu vi h×nh thoi b»ng A. 20cm B. 48cm C. 28cm D. 24cm Câu 8. Cho hai tam giác MNP và QRS đồng dạng với nhau theo tỉ số k.Tỉ số chu vi của hai tam giác đó là: a. k b. 1 c. 1 d. 2k k k 2 II. Tù luËn ( 8 ®iÓm) Bµi 1( 1,5 ®) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö 4x2 – 4y2 – 4x + 1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x2 – 4x + 3 Bµi 2 ( 1,5 ®) x y x2 y2 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P ( ) : ( ) y2 xy x2 xy x2y xy2 t¹i x= 2009, y = 2008 x2 3 b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc lµ sè nguyªn. x 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 307
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bµi 3 ( 1,5 ®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1 2x2 5 3 a) x3 + 3x2 – x = 3 b) x 1 1 x3 x2 x 1 Bµi 4( 2.0 ®) Cho ABC vu«ng t¹i A vµ ®êng cao AH. Gäi E, D theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña H trªn AC, AB vµ M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. Chøng minh: a) DE = AH b) AM  DE. Bµi 5 ( 1,5 ®). Cho ABC nhän ba ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DEF. ĐỀ SỐ 435 C©u 1 (3®) §iÒn kÕt qu¶ vµo chç cã dÊu chÊm : 1) A = (202 + 182 + 162 + .+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 + + 32 + 12 ) 2) B = 320.720 + (1 - 2110 ).( 1 + 2110) 3 3 3) C = ab víi 4a2 + b2 = 5ab, 2a > b > 0 4a 2 b2 A = B = . C = . C©u 2 (4®) H·y ®iÒn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau vµo tËp nghiÖm t¬ng øng : 1) 2x2 – x – 1 = 0 S = { } 2) x3 + 2x2 +5x +10 = 0 S = { } 3) 4x3 -7x + 3 = 0 S = { } 4) x4 – x3 + 3x2 -2x + 2 = 0 S = { } x 2 5 1 C©u 3 (3®) Cho biÓu thøc : Q = x 3 x 2 x 6 2 x 1) Rót gän Q. 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 4( 4®) a b 1) Cho a > 0, b > 0 chøng minh r»ng 2 dÊu b»ng x¶y ra khi nµo ? b a 2) ¸p dông (c©u1) t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 E = x x 1 ( x > 2) x 2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 308
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. DB 1 C©u 5 ( 6®) Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm D trªn c¹nh BC sao cho c¸c ®êng DC 2 th¼ng s«ng song víi AB vµ AC, kÎ tõ D c¾t AC t¹i E , c¾t AB t¹i F. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 309
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 436 Bài 1. (3 điểm) Cho f(n) = n5 – 5n3 + 4n (n là số nguyên dương) a) Phân tích f(n) thành nhân tử. b) Chứng tỏ rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2. (4 điểm) c) Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0. x y 3 d) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn : . xy 2 Bài 3. (3 điểm) Tìm các giá trị của x1, x2, x3, , x2008 sao cho : x1 x2 x3 x2008 2008 . 3 3 3 3 4 4 4 4 x1 x2 x3 x2008 x1 x2 x3 x2008 Bài 4. (2 điểm) 1 1 1 Cho các số a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 0 . a b c a 2 b2 c2 Tính : P . a 2 2bc b2 2ca c2 2ab Bài 5. (8 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M, G lần lượt là trung điểm của BC và AC. I là điểm thuộc đoạn BM (I khác B và M). Đường thẳng song song với AB kẻ từ I lần lượt cắt AM và AC tại D và E ; đường thẳng song song với AC kẻ từ I cắt AB tại K. KB AB ED AB a) Chứng minh rằng : và ; KI AC EA AC b) So sánh BK và DE ; MI c) Cho m và diện tích ABC là S. Tính diện tích IDM. MB ĐỀ SỐ 437 Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 310
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 2. x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 a) Giải phương trình sau: x 2 4 3 2 2 b) Tìm x; y biết: x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dương. Câu 3: Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Câu 4: a) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kỳ sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm f) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn c) Tính : ANB + ACB = ? h) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. ĐỀ SỐ 438 Bài 1: Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y ) x 1 1 2 x 3 2x 2 Bài 3: Cho biểu thức: Q = 1 + : x 3 1 x x 2 1 x 1 x 3 x 2 x a- Rút gọn Q. 3 5 b- Tính giá trị của Q biết: x 4 4 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 311
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c-Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên. Bài 4: Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bài 5: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thoả mãn phương trình: x2 -25 = y( y+6) Bài 6: Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. a- Chứng minh rằng: BM = ND. b-Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng. c-EMFN là hình gì? d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC. ĐỀ SỐ 439 Câu 1:( 5 điểm) a) Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có: a(a+1)(2a+1)  6 Câu 2:( 5 điểm) a) Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. b) Giải phương trình sau: x 2001 x 1981 x 1957 x 1929 10 16 18 20 22 Câu 3:( 5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2017x2 + 2016x + 2017 x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4:( 5 điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 312
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OM = ON 1 1 2 b) Chứng minh rằng AB CD MN 2 2 c) Biết S AOB= 2016 (đơn vị diện tích); S COD= 2017 (đơn vị diện tích). Tính SAOD. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 313
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 440 C©u 1: ( 5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a2 b2 a2 b2 P ab b2 ab a2 ab a. Rót gän P. b. Cã gi¸ trÞ nµo cña a, b ®Ó P = 0? c. TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn: 3a2 + 3b2 = 10ab vµ a > b > 0 C©u 2: ( 3,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a. (n2 + n -1)2 – 1 chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n. b. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) C©u 3: ( 4 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x-101 x-103 x-105 a, 3 86 84 82 2 b, x2 9 12x 1 c, x4 + x2 + 6x – 8 = 0 1 1 1 d, 18 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 C©u 4: (7,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc trong tam gi¸c, H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi P, R, M theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AC, BC. Gäi Q lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AH. a. X¸c ®Þnh d¹ng cña tø gi¸c OPQR? Tam gi¸c ABC ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó OPQR lµ h×nh thoi? b. Chøng minh AQ = OM. c. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh H, G, O th¼ng hµng. d. VÏ ra ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACFL. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EL. NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC kh«ng ®æi vµ BC cè ®Þnh th× I di chuyÓn trªn ®êng nµo? ĐỀ SỐ 441 Bµi 1. Cho biÓu thøc: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 314
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 1 x 1 x2 4x 1 x 2006 A = ( ). x 1 x 1 x2 1 x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: 2 x 1 x x a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 2004 2005 2006 b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1 Bµi 3. Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. Bµi 4. Cho a 4; ab 12. Chøng minh r»ng C = a + b 7 ĐỀ SỐ 442 Câu 1( 1.5đ) . Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a. 7x2 – 7xy - 5x+ 5y b. 4x2 - 12x +9 Câu 2( 1.5đ) : Tìm x, biết: a) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15 b) 4x2 – 36 = 0 Câu 3( 1.0đ) . Chứng minh rằng biểu thức (x – 1 )(2x2 + x + 1) – ( x - 2)(2x2 +3x +6) Có giá trị không phụ thuộc vào các biến? Câu 4( 1.5đ) . Tìm số m để đa thức 2x3 – 3x2 + x + m chia hết cho x + 2 Câu 5 ( 2đ) . Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm D, kẻ DN vuông góc với AC và DM vuông góc AB . Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . a. Tứ giác AMDN là hình gì ? Vì sao? b. Tìm vị trí điểm D trên cạnh BC thì MN có độ dài nhỏ nhất ? vẽ hình đúng với vị trí của điểm D đó? Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 315
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c. Tính số đo góc MHN ? Câu 6; ( 2.5đ) a) Tìm các giá trị x ; y nguyên dương sao cho 9xy +3x +3y =51 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15 ĐỀ SỐ 443 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 3n3 2n 2 6n 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. ĐỀ SỐ 444 Bài 1 ( 5 điểm): a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y) b) Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x2 y2 xy Tính giá trị của biểu thức A xy 1 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 316
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c) Cho a > b > 0. Trong hai số sau số nào lớn hơn 1 a a2 an 1 1 b b2 bn 1 A và B 1 a a2 an 1 b b2 bn Bài 2 ( 4 điểm): ax 1 b a(x2 1) Cho phương trình: (1) x 1 x 1 x2 1 a) Giải phương trình khi a = 2; b = - 3 b) Giải và biện luận phương trình (1) Bài 3 ( 3,5 điểm): a) Cho A = a2 + b2 + c2 , trong đó a;b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b. Chứng minh A là một số chính phương lẻ. b) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh nếu 2 n = 10a + b ( 0 < b < 10) thì tích a.b chia hết cho 6. Bài 4 ( 6 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB. Chứng minh rằng: a) VAA'C : VBAC từ đó suy ra AC2 = CA’.CB CE AC3 b) BF AB3 c) D là một điểm nằm trên cạnh huyền BC; M,N là hình chiếu của D lên AB và AC. Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài 5 ( 1.5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm trong tứ giác sao cho OA 2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh rằng ABCD là một hình vuông có tâm O. ĐỀ SỐ 445 Bài 1: (4đ5) a) Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49) b) Tìm n Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số nguyên dương. c) Cho biểu thức A = x 2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2016. Tìm giá trị x và y để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2 (3đ5) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 317
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 2x 1 x x 4 . Cho biểu thức P . x ( với x 0; x 4 ) x x 1 x x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P 4 x 0 Bài 3: (3đ) a) Giải phương trình: 2x 1 4 2x 3 2x 2 2 2x 3 3 . (x y)(x 2 y 2 ) 45 b) Giải hệ phương trình: 2 2 (x y)(x y ) 85 Bài 4: (4đ5) Cho (O; R) và điểm S nằm ngoài đường tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (A,B là các tiếp điểm). Đường thẳng a đi qua S cắt (O) tại M, N (M nằm giữa S và N, a không đi qua O). Gọi I là trung điểm MN, hai đường thẳng AB và OI cắt nhau tại E. a) Chứng minh OI.OE = R2 b) Cho SO = 2R, MN = R3 . Hãy tính số đo góc NSO. c) Với SO = 2R, MN =R3 . Tính diện tích tam giác ESM. Bài 5: (2đ5) Cho tam giác ABC có AB 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y ĐỀ SỐ 446 Bài 1 : (4 điểm) 3x y 1, Cho x,y thoả mãn y x y 0 và x2 xy 2y2 . TínhA . x y 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 2, Tính : B 2 2 2 2 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 Bài 2 : (4 điểm) 1, Tìm a,b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 2,Tìm số nguyên a sao cho a 4 4 là số nguyên tố Bài 3 : (3 điểm) x 5x Giải phương trình : 2 x2 4x 4 x2 4 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 318
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 4 : (4 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ . Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F . Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH . 3 1, Chưng minh rằng : BG.DH BC 2 4 2, Tính số đo góc GOH Bài 5 : (3 điểm) Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho BM CN AP BM 1 & . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng BC CA AB BC 2 trọng tâm Bài 6 : (2 điểm) Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 =1 .Chứng minh rằng : x3 y3 z3 1 y 2z z 2x x 2y 3 ĐỀ SỐ 447 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 m) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? n) Tìm giá trị của x để A > 0? o) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) i) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 319
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x y z a b c x2 y2 z2 j) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. o) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? p) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK q) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. ĐỀ SỐ 448 a 3 4a 2 a 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 320
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ĐỀ SỐ 449 Bài 1: (1,5điểm) a)Chứng minh rằng 22008 + 22009 + 22010 chia hết cho 7 b)Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 2n3 – 3n2 +n +3 chia hết cho giá trị của biểu thức n2 – n Bài 2: (1,5 điểm) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh - sạch - đẹp. Học sinh khối lớp 8 nhận làm vệ sinh một đoạn đường em chăm. Lớp 8/1 nhận 10 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/2 nhận 20 mét và 1/10 của phần còn lại, lớp 8/3 nhận 30 mét và 1/10 của phần còn lại cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa đủ và phần đường của mỗi lớp nhận dài bằng nhau. Hỏi khối 8 có bao nhiêu lớp và đoạn đường mỗi lớp nhận dài bao nhiêu mét? 2x3 x2 x x2 x x2 1 x Bài 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 3 2 2 x 1 x 1 2x x 1 2x 1 a)Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. b)Rút gọn biểu thức M. c)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M có giá trị nguyên. Bài 4: (2,0 điểm) a) Cho a + b = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 + b2 1 1 3 b) Cho x2 14 với x 0. Hãy tính giá trị của biểu thức: x x2 x3 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 321
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M ; N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K. a) Chứng minh: BM vuông góc AN. b) Chứng minh: ME.NK = MI.NE. c) Biết diện tích của tam giác ABC là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AIK theo S. ĐỀ SỐ 450 Bài 1(5đ). a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2(5đ). Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Tìm số dư của đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21. x 2 x 3 x 4 x 5 c) 2007 2006 2005 2004 Bài 3(3đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi xe gắn máy từ A đến B với dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 4(7đ). Cho góc xOy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với Ox(C thuộc Ox), ID vuông góc với Oy(D thuộc Oy) sao cho IC = ID = a. Đường thẳng qua I cắt Ox ở A cắt Oy ở B. a/ Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi. CA OC 2 b/ Chứng minh rằng DB OB 2 8a 2 c/ Biết SAOB = . Tính CA; DB theo a. 3 ĐỀ SỐ 451 I.Trắc nghiệm (2đ): Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Rút gọn biểu thức E x y 1 3 x y 1 3 6 x y 2 ta được kết quả là: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 322
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. A) 2 B) 6 x y 2 C) 1 D) - 2 Câu 2: Cho x; y là hai số khác nhau sao cho x2 y y2 x ; Giá trị của biểu thức K x2 2xy y2 3x 3y là: A) 4 B) - 4 C) 0 D) - 2 m n 32x 19 Câu 3: Cho ; Ta có tích m.n bằng: x 1 x 2 x2 x 2 A) - 300 B) 150 C) 200 D) 255 Câu 4: Tứ giác ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo. Biết AB = 6 cm; IA = 8 cm; IB = 4 cm; ID = 6 cm; Ta có AD bằng: A) 10 cm B) 125 cm C) 166 cm D) 170 cm II. Tự luận: 2 x2 x2 y2 y2 x2 xy y2 Câu 5 (1,5đ): Cho biểu thức P 2 2 : x x xy xy y xy x y c) Rút gọn P; 1 d) Tìm giá trị của P với 2x 1 1 và y 1 . 2 Câu 6 (2đ): Cho điểm I di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AICD; BIEF; gọi O và O/ lần lượt là giao điểm các đường chéo của hai hình vuông đó. Gọi K là giao điểm của AC và BE. d) Tứ giác OKO/ I là hình gì? Vì sao ? e) Trung điểm M của OO/ di động trên đường nào? f) Xác định vị trí của điểm I để cho tứ giác OKO/ I là hình vuông. Câu 7 (1,5đ): Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: a) x2 xy y2 3 b) x x 1 x 7 x 8 y2 Câu 8 (3đ): a) Tìm các số có hai chữ số thỏa mãn điều kiện sau: Nếu lấy bình phương số đó trừ đi bình phương số có hai chữ số được viết bởi các chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được một số chính phương. x2 x 1 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 x 1 c) Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô màu đỏ hai đỉnh A và D, tô màu xanh 4 đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả 3 đỉnh đó (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần đổi màu theo quy tắc đó có thu được kết quả là đỉnh C có màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh không ? d) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a4 b4 c4 3 . 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 4 ab 4 bc 4 ca Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 323
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 452 C©u 1. ChÐp ®¸p ¸n ®óng vµo bµi lµm: §¸p ¸n Néi dung A B C D a, Tæng c¸c gãc ngoµi cña mét ®a gi¸c 3600 5400 7200 1800 ®Òu 10 c¹nh lµ: b, Mét ®a gi¸c ®Òu cã sè ®êng chÐo b»ng sè c¹nh th× mçi gãc cña ®a gi¸c ®ã cã sè 900 1080 1200 1800 ®o lµ: 2009 2008 c, So s¸nh M 2009 2008 M = N M > N M < N 20092 20082 vµ N 20092 20082 d, Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz. KÕt qu¶ rót -1 hoÆc 1 1 xyz -1 1 gän ph©n thøc P lµ: 8 8 (x y)(y z)(z x) 8 C©u 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 30x2+ 19x3 - 15 x2- 3x + 1 = 0 x 1973 x 1958 x 1939 x 1916 b, 10 11 13 15 17 C©u 3. Mét ngêi ®i tõ nhµ ®Õn c¬ quan, sau khi ®i 1h ®Çu víi vËn tèc 3km/h, ngêi ®ã tÝnh r»ng, nÕu cø ®i theo vËn tèc cò th× sÏ ®Õn chËm 40 phót. V× vËy trªn ®o¹n ®êng cßn l¹i, ngêi Êy ®i víi vËn tèc 4km/h, thµnh thö ®Õn sím h¬n 45 phót. h·y tÝnh ®o¹n ®êng tõ nhµ ®Õn c¬ quan. C©u 4. T×m a, b, c ®Ó: (x4+ ax3+ bx2+ cx-24) (x- 2)3 C©u 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: M = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 2009 C©u 6. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc kh¸c 0 sao cho: a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 a b c TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc N (1 )(1 )(1 ) b c a C©u 7. Cho ABC, O lµ ®iÓm bÊt kú trong tam gi¸c. Qua O kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AB, AC t¹i D, E; song song víi CA c¾t BC, BA t¹i F vµ H; song song víi AB c¾t CA, CB t¹i I, K. Chøng minh r»ng: a, AH +BK +CE = 1 b, DE +KI +HF = 2 AB BC CA BC AB AC OD OF OI 2 2 2 c, . . = 1 d, BiÕt SOKF = a ; SIOE =b ; SHOD = c . TÝnh SABC OE OH OK Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 324
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 453 5 2 Bài 1. Cho biểu thức: A = x x x3 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị của biểu thức: P = 3a b 2a b b) Cho a, b, c là Độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a 2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải các phương trình: 2 x 1 x x a) 1 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm trong tam giác sao cho ·ABP ·ACP , kẻ PH  AB, PK  AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD Tại M và AB AD AC K, cắt đường chéo AC Tại G. Chứng minh rằng: AM AK AG ĐỀ SỐ 454 x5 x2 Bài 1. Cho biểu thức: A = x3 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab 3a b Tính giá trị của biểu thức: P = 2a b b) Cho a, b, c là Độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải các phương trình: 2 x 1 x x a) 1 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 325
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm trong tam giác sao cho ·ABP ·ACP , kẻ PH  AB, PK  AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD Tại M và K, cắt đường AB AD AC chéo AC Tại G. Chứng minh rằng: AM AK AG ĐỀ SỐ 455 C©u 1: X¸c ®Þnh hÖ sè a sao cho: a) 27x2 + a chia hÕt cho 3x + 2 b) 3x2 + ax + 27 chia hÕt cho x + 5 cã sè d b»ng 2 C©u2: Cho 3 sè a, b, c tháa m·n abc = 1999 Rót gän biÓu thøc: 1999a b c ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1 C©u 3: Cho abc 0 vµ a + b+ c 0 gi¶i ph¬ng tr×nh: a b x a c x b c x 4x 1 c b a a b c C©u 4: Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AB. VÏ vÒ mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB c¸c h×nh vu«ng AMCD, BMEF. a. Chøng minh AE vu«ng gãc víi BC. b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC. Chøng minh ba diÓm D, H, F th¼ng hµng. c. Nh÷ng minh ®o¹n th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. d. T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm K cña ®o¹n th¼ng nèi t©m hai h×nh vu«ng khi ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. ĐỀ SỐ 456 Bài 1: (3,0 điểm). 1 2 5 x 1 2x Cho biểu thức A = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 326
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b) Tìm x để A > 0. Bài 2: (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 7 ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1) 3x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết x 2 – 2 y 2 = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0). x y Bài 3: (4,0 điểm). a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0 b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40. Bài 4:(6,0điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh ABD  ACE. b) Chứng minh BH.HD = CH.HE. c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b. Bài 5: (3.0điểm). a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) 2 2 2 ab 1 b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a + b + ≥ 2. a b ĐỀ SỐ 457 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trình: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 327
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x 2 5y 2 345 ĐỀ SỐ 458 Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A : 2 2 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x 2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z 2009 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và E· AD E· CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 (với x và y cùng dấu) y x x2 y2 x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 2 3 5 (với x 0, y 0 ) y x y x Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 328
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 459 Bài 1: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: (x + 4)( x2 + 1 x – 1,5) = (3 - x )(x2 + 1 x – 1,5) 2 2 b) Giải bất phương trình: x + 1 0 Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm; gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH, BC. a) Tính diện tích tứ giác ABCH. b) Chứng minh: AM MN ĐỀ SỐ 460 Bài 1 ( 3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/x4 4 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 329
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b/ x 2 x 3 x 4 x 5 24 Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bài 3 ( 3 điểm) Giải phương trình: a/ x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b/ 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 4 (2 điểm) Tìm đa thức bậc 3 P(x), cho biết P(x) = x3 + ax2 +bx+c chia cho x-1; x-2; x-3 đều có số dư là 6 Bài 5: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. r) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? s) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK t) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. i) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. j) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất ĐỀ SỐ 461 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) xx - 3x + 4x -2 với x 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 330
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ab Tính: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm g) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? i) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. ĐỀ SỐ 462 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 331
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 332
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 463 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2: x(1 x2 )2 1 x3 1 x3 Cho A = 2 : ( x)( x) 1 x 1 x 1 x a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= -1 c, Tìm x để 2A = 1 2 Câu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn nhất của P = x (x 10)2 Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 m > 0 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 333
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Tính giá trị của biểu thức: P = m n m n Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q = 4x 3 . x 2 1 Bài 4: Tìm bốn số có tổng là 64 . Biết rằng số thứ nhất bớt 3 thì bằng số thứ hai thêm 3, bằng số thứ ba nhân với 3 và bằng số thứ tư chia cho 3. Bài 5: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G, lấy điểm P trên cạnh BC các đường thẳng qua P theo thứ tự song song với CG và BG cắt AB, AC lần lượt tại E và F, PE và PF cắt BM,CN lần lượt tại Rvà S, EF cắt BG và CG theo thứ tự tại I và J . a/ Tính ER RP b/ Chứng minh: EI =IJ = JF c/ Chứng minh rằng PG đi qua trung điểm của EF. ĐỀ SỐ 465 C©u I: (2,5 ®iÓm) 2 x 4x 2 2 x x 2 3x : Cho biÓu thøc A= 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) T×m §KX§ vµ rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A d¬ng. c) TÝnh gi¸ trÞ cña A trong trêng hîp x 7 4 . C©u II:(2 ®iÓm) 1) Cho 7x2+8xy+7y2=10. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña x2+y2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (4x+3)3+(5-7x)3+(3x-8)3 = 0 C©u III: (2 ®iÓm) Trong mét c¸i giá ®ùng mét sè qu¶ t¸o. §Çu tiªn ngêi ta lÊy ra mét nöa sè t¸o vµ bá l¹i 5 qu¶, sau ®ã lÊy thªm ra 1 sè t¸o cßn l¹i vµ lÊy thªm 4 qu¶. Cuèi cïng trong 3 giá cßn l¹i 12 qu¶. Hái lóc ®Çu trong giá cã bao nhiªu qu¶ t¸o? C©u IV:(3,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, AF, BD vµ CE lµ c¸c ®êng cao c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng: a) HD.HB=HE.HC. b) HDE HCB. c) BH.BD + CH.CE = BC2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 334
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. d) H lµ giao ®iÓm ba ®êng ph©n gi¸c trong cña DEF. ĐỀ SỐ 466 Câu 1 (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 – 3x2 + 2x b) x2 + 4x - y2+ 4 c) x6 – y6 d) a(b2 + c2) + b( c2 + a2) + c( a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 Câu 2 (1,0 điểm ): Tìm x biết rằng: c) (x – 3)(2x + 5) + 4x2 = 25 d) 3(x2 – 2x + 5) – 3x(x – 10)= 0 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x3 ax2 bx 2 chia cho đa thức B(x) = x+1 còn dư 5 và chia cho C(x) = x + 2 còn dư 8 b) Tìm đa thức dư cuối cùng của phép chia đa thức: f(x) = 1+ x2011+ x2012+ x2013+ x2014 cho đa thức g(x) = 1- x2 Câu 4 (1,0 điểm): bc ca ab 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức: M biÕt 0 (a,b,c 0) a 2 b 2 c 2 a b c Câu 5 (3,0 điểm): Cho hình thoi ABCD. Vẽ hình bình hành ACEF, cạnh CE có độ dài bằng cạnh của hình thoi đã cho. Gọi K là điểm đối xứng với E qua C ( K không trùng với D) c) Chứng minh rằng FK, BD, AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường d) Chứng minh rằng mỗi một trong bốn điểm B, D, E, F là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại. Câu 6 (1,0 điểm): a) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2011 y2011 z2011 32012 b) Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 8. Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx ĐỀ SỐ 467 C©u 1: (2 ®iÓm). Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 335
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 2 2x 1 2x 2 8x 10 Cho c¸c biÓu thøc A vµ B x 2 4x 5 x 3 x 2 5x 3 a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc B. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x. c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A.B < 0. C©u 2: (2 ®iÓm). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x 8 2x 4 x 2 2x 2 0 1 2 3 6 b) x 2 5x 6 x 2 8x 15 x 2 13x 40 5 C©u 3: (1,5 ®iÓm). T×m x, y biÕt a) 2x 2 y 2 6 4(x y) b) (2x 5) 3 27(x 1) 3 (8 5x) 3 0 C©u 4: (1,5 ®iÓm). Cho hai sè a, b tho¶ m·n 2a+b = 6 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= a.b C©u 5: (2 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC cã CM lµ trung tuyÕn. Qua ®iÓm D bÊt kú thuéc c¹nh AB (D kh¸c A, B) vÏ ®êng th¼ng xy song song víi CM, xy c¾t c¸c ®êng th¼ng BC vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F. CMR nÕu DA.DB = DE.DF th× tam gi¸c ADF lµ tam gi¸c c©n vµ tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng. C©u 6: (1 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, G lµ träng t©m, BM lµ ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC. Cho BM  AC . Chøng minh r»ng BM vu«ng gãc víi trung tuyÕn AD. ĐỀ SỐ 468 Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A : 2 2 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x 2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 y2009 z 2009 32010 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 336
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và E· AD E· CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 (với x và y cùng dấu) y x x2 y2 x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 2 3 5 (với x 0, y 0 ) y x y x ĐỀ SỐ 469 Câu 1: (2 điểm) a.Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là bình phương của một số hữu tỉ. b.Tính: 1 1 1 1 A (1 )(1 )(1 ) (1 ) x2 (x 1)2 (x 2)2 (x 9)2 Câu 2: (5 điểm) 2x2 2x 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x) x2 x 2 b) Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 – 1 c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 1  225 Câu 3: (5 điểm) a) Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 2 x 1 x m x 1 b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 337
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. c)Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Câu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân có các đường chéo vuông góc với nhau và có độ dài đường cao bằng 10 cm. Câu 5: (6điểm)Cho hình vuông OCID cạnh a, AB là đường thẳng bất kì đi qua I cắt tia OC, OD lần lượt ở A và B. a. Chứng minh rằng tích CA.CB có giá trị không đổi (tính theo a) CA OA2 b.Chứng minh: DB OB2 c.Xác định đường thẳng AB sao cho DB = 4CA 2 d.Cho diện tích tam giác AOB bằng 8a . Tính CA + DB theo a. 3 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 338
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐÊ SỐ 470 Bài 1: (2 điểm) x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 2009 Cho biểu thức K = 2 . x 1 x 1 x 1 x a. Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định. b. Rút gọn biểu thức K. c. Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) ( x y z ) 2 Chứng minh rằng: x 2 y 2 z 2 3 Bài 3: (2 điểm) Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Số dân tỉnh A năm nay tăng 1,2%; còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái. Bài 4: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vẽ tia phân giác của góc CAB cắt đường chéo BD tại E và cạnh BC tại F. Vẽ FM  AC (tại M). Chứng minh MEBF là hình thoi. Bài 5: (2 điểm) Giờ Toán cô giáo trả bài kiểm tra. 4 bạn Tuấn, Hùng, Lan và Quân ngồi cùng bàn đều đạt điểm 8 trở lên (8, 9 và 10). Giờ ra chơi Phương hỏi điểm của 4 bạn, Tuấn trả lời: Lan không đạt điểm 10, mình và Quân không phải điểm 9, còn Hùng không phải điểm 8. Hùng nói: Mình không đạt điểm 10, Lan không phải điểm 9, còn Tuấn và Quân không phải điểm 8. Bạn hãy cho biết mỗi người đạt điểm mấy? ĐỀ SỐ 471 Bài 1 (4,5 đ) 1 1 1 a/Tính tổng S(n) = 2.5 5.8 (3n 1)(3n 2) b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho 6 c/ Tìm giá trị lớn nhất của N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6y Bài 2 : ( 3đ) . a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028 cho x2 + 8x +12 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 339
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 Bài 3 : ( 4,5đ) . x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a/ Giải phương trình : 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2a b 5b a b/ Tính giá trị biểu thức : 3a b 3a b Biết 10a2 - 3b2 +5ab = 0 và 9a2 – b2 0 c/ Cho x,y,z là số đo ba cạnh của một tam giác chứng minh x2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 > 0 Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB lần lượt ở I ,M, N . Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD,BG vuông góc với AC .Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh : a/ IM.IN = ID2. KM DM b/ KN DN c/ AB.AE + AD.AF = AC2. Bài 5 : ( 3,5đ) Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D B và C) .Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB ở E , đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC ở F. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 , diện tích tam giác CFD = 9 cm2 . Tính diện tích tam giác ABC. ĐỀ SỐ 472 Bài 1: Cho biểu thức: x2 6 1 10 x2 A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 1) Tìm điều kiện của x để A xác định 2) Rút gọn biểu thức A. 3) Tìm các giá trị của x để A > 0 4) Tìm giá trị nguyên của x để A lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 2: x 11 x 22 x 33 x 44 1) Giải phương trình: 2002 1991 1980 1969 2) Cho x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn x2 2xy 2y2 2x 2y 5 0 . Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 340
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. xy x y 13 Tính giá trị biểu thức: P . 4xy Bài 3: Tìm đa thức dư trong phép chia : (x2013 – x2001 + 1) : (x3 – x) Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM tại D và cắt BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED và EAD = ECB 0 2 b) Cho BMC = 120 và SAED = 36 cm . Tính SEBC c) Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 Bài 5: a) Cho x2 + y2 = 25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P = 3x – 4y. b) cho x + y = 2. Chứng minh: x2013 + y2013 ≤ x2014 + y2014./. ĐỀ SỐ 473 Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc . Chứng minh rằng a b c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5 . Bài 5 (3 điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 341
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2013 (đơn vị diện tích); SCOD= 2014 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. ĐỀ SỐ 474 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 342
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 475 Bài 1 : (4,5 điểm) a) Tính: A = 1+ 2 – 3 – 4 +5 + 6 – 7 – 8 + + 2009 + 2010 – 2011 –2012 + 2013. b) Phân tích đa thức sau thành 3 nhân tử: M = x3+ x2y – x2 – xy – 90x – 90y . c) Với những giá trị nguyên nào của x để biểu thức : x 2 x 2 x2 8x 4 x 2012 N = ( ). có giá trị nguyên ? x 2 x 2 x2 4 x m(x 2) Bài 2 :(3đ)Tìm giá trị của m để phương trình : m 1 2x 1 a) Vô nghiệm b) Có nghiệm lớn hơn – 3 Bài 3 : (4,5 đ) a) Tìm sô dư trong phép chia : (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2012 cho x2 + 8x + 12 b) Ba cạnh của một tam giác là x ; y ; z và A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 Chứng minh rằng A > 0 Bài 4 : (3,5 đ) Cho tam giác ABC có ABC = ACB = 700 và đường cao AH . Các điểm E , F theo thứ tự thuộc các đoạn AH , AC sao cho ABE = CBE = 300 . Gọi M là trung điểm của AB a) Chứng minh AMF đồng dạng BHE b) Chứng minh AB.BE = BC.AE Bài 5 : (4,5 đ) Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AC > AB) có đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA ; đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE . Tính số đo góc AHM ĐỀ SỐ 476 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: i) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. j)x 4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 343
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. k) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. l) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . g) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . h) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. ĐỀ SỐ 477 Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: A = – 12 + 22 – 32 + 42 – – 992 + 1002 Câu 2: (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau với x = 2007 M = (x + 7)2 – 2(x + 7)(x – 3) + (x – 3)2 Câu 3: (1,5 điểm) Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không? Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho một số có 3 chữ số có dạng abc . Chứng minh rằng: ( abc + bca + cab )  (a b c) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 344
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 5: (2 điểm) Hai anh em hiện nay có tuổi cộng lại bằng 63. Tuổi của người anh hiện nay thì gấp đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người ? Câu 6: ( 2 điểm) Cho tam giác ABC, có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ABC. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 345
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 478 C©u I ( 2 ®iÓm) 1 2x 2x Cho biÓu thøc: H = - : 1 x 1 x 3 x x 2 1 x 2 1 a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× H cã gi¸ trÞ d¬ng. C©u II (2®iÓm) 1) Cho hai sè a,b tho¶ m·n 2a+b=6. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=ab. 2) BiÕt ax+by+cz=0 vµ a+b+c= 1 2009 2 2 2 TÝnh A= ax by cz bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2 C©u III (2 ®iÓm) T×m cÆp sè nguyªn x,y biÕt: a)2x2+y2+6=4(x-y). b)(y+2)x2+1=y2 C©u IV (4 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Trªn c¹nh AB lÊy mét ®iÓm N, ®êng th¼ng CN c¾t ®êng th¼ng DA t¹i E. §êng th¼ng vu«ng gãc víi CE t¹i C c¾t tia AB t¹i F.M lµ trung ®iÓm cña EF. a) Chøng minh CE=CF.   b) Chøng minh ACE =BCM . c) Khi N ch¶y trªn AB nhng kh«ng trïng víi A vµ B. Chøng minh r»ng M lu«n ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh. d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña N trªn AB ®Ó tø gi¸c ACFE cã diÖn tÝch gÊp ba lÇn diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD. ĐỀ SỐ 479 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 346
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 480 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c c. Cho 1 . Chứng minh rằng: b c c a a b a2 b2 c2 0 b c c a a b 2 x 2 1 10 x Câu2. 1, Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 2,T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc: (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 cho ®a thøc x2 +10x +21 Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 347
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b dương và a2010 + b2010 = a2011 + b2011 = a2012 + b2012 Tinh: a2013 + b2014 ĐỀ SỐ 481 Câu 1. (4,5 điểm) 3) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a3 7a2b 7ab2 2b3 . 4) Cho x2 x 1 . Tính giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 . Câu 2. (4,5 điểm) x 1 x 1 4 4026 1) Cho biểu thức: R 2 2 3 : . Tìm x để biểu thức xác x 2x x 2x x 4x x định, khi đó hãy rút gọn biểu thức. 2) Giải phương trình sau: x 2 x 1 x 1 x 2 4 . Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh n3 n chia hết cho 24. 2) Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 là một số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC a 2 . a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a . b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh H· DI 450 . 2) Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là la ,lb ,l .c Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 la lb lc a b c Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số không âm a và b thoả mãn a2 b2 a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 348
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a b S a 1 b 1 ĐỀ SỐ 482 Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5 1 3 3 b) x3 x2 x 1 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 8 4 2 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 (6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1) 3x 4 x y b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết x 2 – 2 y 2 = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0). x y c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2015 cho đa thức x2 10x 21 . 4xy 1 1 Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau: 3 2 4 9 a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 c) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) 5 3x 3x 5 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương. Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Bài 6 : (0,5 điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 349
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a 3 + b3+ ab 1 2 ĐỀ SỐ 483 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: 2 3 1 a/ x 4 12 ; b/ : x 3 ; 3 4 4 x 4 x 3 x 2 x 1 c/ 3x 5 4 ; d/ 2011 2012 2013 2014 Bài 3: (2,0 điểm) a2 4a 4 a/ Cho A = . Tìm a Z để A là số nguyên. a3 2a2 4a 8 b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 Bài 4: (2,0 điểm) a 1 b 3 c 5 a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và . 2 4 6 b/ Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b 0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 1 1 a/ Cho a + b + c = 1 và = 0. Tính a2 b2 c2 a b c 1 1 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 và . a b a c b c 2014 a b c Tính: S = b c a c a b Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90 0. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA  FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD. a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 350
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành. Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10 ĐỀ SỐ 484 Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: 8 1) 18x3 - x 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 Bài 2 (2,5 điểm) 3 x 1 x 3 5 Cho biểu thức: A = 2 : 2 x 1 2x 2 2x 2 4x 4 1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định. 2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Bài 3 (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. a b 2 b c 2 c a 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 1 a2 1 b2 1 c2 x y a b 2) (1,5 điểm) Cho 2 2 2 2 . x y a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài 4 (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) x 1 x 3 x 5 4x b) (x2 – 5x + 6).1 x = 0 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0 Bài 5 (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 - 1 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài 6 (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q. 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD. 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC. 3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 351
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. 4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB. ĐỀ SỐ 485 Câu 1 (3,0 điểm). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 12x3 + 16x2 - 5x - 3 b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu 2 (3,0 điểm). a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thì x = y = z a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn: . b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a = b = c. Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình: a) 2x 1 2x 5 = 4 (1) 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Câu 4 (4,0 điểm). 2 2 1 1 a) Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng: x y 8 x y 2015 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = , với x là số nguyên. x 3 Câu 5 (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF ĐỀ SỐ 486 Câu 1 (2,0 điểm). x3 y3 z3 3xyz Rút gọn biểu thức: B = (x y)2 (y z)2 (x z)2 Câu 2 (4,0 điểm). a) Tìm số dư trong phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x 2 + 8x + 12. b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3. Câu 3 (4,0 điểm). Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 352
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Giải các phương trình: 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Câu 4 (4,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = 3x 1 x 2 4x 3 2 b) B = 14x 8x 9 3x2 6x 9 Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E. Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD. b) E là trực tâm tam giác ABN. Câu 6 (2,0 điểm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD vµ N lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo AC sao cho B· NM 900 . Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua N. Chøng minh r»ng FB  AC. ĐỀ SỐ 487 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4 a b c Bài 2: a) Tính S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) 1 1 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3 3n 2 3n 5 150 150 150 150 c) Tính 5.8 8.11 11.14 47.50 Bài 3: Giải các phương trình x 1 x 1 2 7 x 5 x 3 x a) b) 3 x2 x 1 x2 x 1 x(x4 x2 1) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M là điểm nằm trong ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’  AC, MC’  AB Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 353
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. MA ' MB' MC' (A’ BC; B’ AC; C’ AB). Chứng minh rằng: = 1 ha hb hc (Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của ABC) ĐỀ SỐ 488 2 x 4 Bài 1: Cho phân thức: P = x2 x 20 a) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi x 5 1,5 Bài 2: So sánh A và B biết: a) A = 2002. 2004 và B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Hạ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD và BG vuông góc với AC. Chứng minh: a) ACE ABG và AFC CBG b) AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600. Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N a) Chứng minh: Tích BM. DN có giá trị không đổi b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4(x + y) = 11 + xy ĐỀ SỐ 489 n2 n 1 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m n 1 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n. c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13. Câu 2: Rút gọn biểu thức: bc ca ab a) A= + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 6 3 b) B = 1 6 1 1 3 1 x x 6 2 : x x 3 x x x x 1 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = + + + + 1 1.3 3.5 5.7 2009.2011 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 354
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011. Chứng minh rằng biểu thức 2011x y z sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x Câu 5: Giải phương trình: 5 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc x· My = 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : 2 a) BD.CE= BC 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của ·BDE và C· ED . c) Chu vi ADE không đổi. ĐỀ SỐ 490 n2 n 1 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m n 1 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của n. c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13. Câu 2: Rút gọn biểu thức: bc ca ab a) A= + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 6 3 b) B = 1 6 1 1 3 1 x x 6 2 : x x 3 x x x x 1 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = + + + + 1 1.3 3.5 5.7 2009.2011 Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011. Chứng minh rằng biểu thức 2011x y z sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x Câu 5: Giải phương trình: 5 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC . Một góc x· My = 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : 2 a) BD.CE= BC 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của ·BDE và C· ED . c) Chu vi ADE không đổi. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 355
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. ĐỀ SỐ 491 Bài 1) (2 điểm). a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - 6 b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1. Tính 2a-3b. Bài 2) (2 điểm). a) Cho an = 1+2+3+ + n. Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương. 2 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10n 9n 4 tối giản. 20n2 20n 9 Bài 3) (3 điểm). xyz a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz. Hãy rút gọn phân thức P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M=    34 4 74 4 114 4 194 4 Bài 4) (4 điểm). a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0. CMR: 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0 , tính giá trị của biểu thức: P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1. Bài 6: (3 điểm).Cho hình vuông ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC. a) CMR: CE vuông góc với DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD. Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. a) Chứng minh rằng EC = BH; EC  BH b) Gọi M, N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MNI là tam giác gì? Vì sao? ĐỀ SỐ 492 Câu 1: (2,5 điểm ) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 356
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Phân tích đa thức a2(b c) b2(c a) c2(a b) thành nhân tử. b) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn (a b)3 (b c)3 (c a)3 210 . Tính giá trị của biểu thức. Câu 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3 xy. b) Giải phương trình: (6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 . Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x 2012)2 (x 2013)2 . b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . x2 x y2 y z2 z 2 Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi. c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . ĐỀ SỐ 493 Bài 1: (3 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 – 30x2 + 31x – 30 b/ Cho a + b + c = 6 và ab + bc + ca = 12 Tính giá trị của biểu thức: (a - b)2012 + (b - c)2013 + (c - a)2014 Bài 2: (4 điểm) a/ Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho: A = n3 + 4n2 - 20n - 48 chia hết cho 36 b/ Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n là số nguyên Bài 3: (5 điểm) a/ Giải và biện luận phương trình sau: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 357
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. x m x 2 x 1 x 1 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết: x 2 2x 2014 M với x 0 x 2 Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có Â = 800, AD là phân giác. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Tình số đo góc FED. Bài 5: (5,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Chứng minh rằng : a/ Tứ giác BEDF là hình bình hành ? b/ CH.CD = CB.CK c/ AB.AH + AD.AK = AC2. ĐỀ SỐ 494 Bài 1: (3 điểm) 1 3 x 2 1 Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 358
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương ĐỀ SỐ 495 PhÇn I: Tr¾c nghiÖm (8 ®iÓm) Khoanh trßn vµo ®¸p ¸n ®óng 8x 3 y 3 4x 2 y 2 1 C©u 1: (1 ®iÓm) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = 2; y lµ: 2x y 4x 2 4xy y 2 2 A. 57 B. 57 C. 57 D. 57 2 4 6 8 C©u 2: (1 ®iÓm) X¸c ®Þnh a ®Ó ®a thøc x3 – 5x2 + 11x + a chia hÕt cho ®a thøc x – 3: A. a = 45 B. a = 15 C. a = - 45 D. a = - 15 3 40 1 C©u 3: (1 ®iÓm) Khi thùc hiÖn biÓu thøc ta ®îc kÕt qu¶ lµ: 2x 5 4x 2 25 2x 5 A. 8 B. x 2 C. 8 D. 8 x 5 x 2 25 x 5 x 5 C©u 4: (1 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 cã tËp nghiÖm lµ: 1 2 A. S  B. S 1 C. S 1;3 D. 1:  3 3 x 1 5 3x C©u 5: (1 ®iÓm) Ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ: x 2 2(x 1) 1 1  1  A. S 2;4 B. S 2;  C. S 2; ;3 D. S 2; ; 3 4 4  4  C©u 6: (1 ®iÓm) §êng chÐo cña mét h×nh vu«ng b»ng 4cm. C¹nh cña h×nh vu«ng ®ã b»ng: A. 2 2cm B. 4 2cm C. 2cm D. 8cm C©u 7: (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch 60cm2, gäi M vµ N lµ trung ®iÓm cña BC vµ AC. VËy diÖn tÝch tam gi¸c AMN lµ bao nhiªu ? A. 45cm2 B. 30cm2 C. 20cm2 D. 15cm2 C©u 8: (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC. Tia ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t BC t¹i D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. §é dµi x lµ: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 359
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. A. x = 14 B. x = 12 C. x = 8 D. x = 6 PhÇn II: Tù luËn (12 ®iÓm) C©u 1: (4 ®iÓm) a) TÝnh 1 1 1 1 M x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 2007 x 2008 1 1 1 1 N 2.4 4.6 6.8 2006.2008 3n 9 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× biÓu thøc A cã gÝ trÞ lµ mét sè nguyªn? TÝnh n 4 gi¸ trÞ ®ã? C©u 2: (3 ®iÓm) Mét xe t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50km/h. §i ®îc 24 phót th× gÆp ®êng xÊu nªn vËn tèc trªn qu·ng ®êng cßn l¹i gi¶m cßn 40km/h. V× vËy ®Õn n¬i chËm mÊt 18 phót. Qu·ng ®êng AB dµi lµ: C©u 3: (3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD cã AB = 3, BC = 4, CD = 12 vµ DA = 13; gãc CBA=900. TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 36cm, AD = 24cm. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AB, ®êng th¼ng DE c¾t AC t¹i F vµ c¾t CB kÐo dµi t¹i G.TÝnh DE, DG, DF ? ĐỀ SỐ 496 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: i) x2 – y2 – 5x + 5y j) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 16 A x 2 2 x 5x 5 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 2x 2 2x i) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. j) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 360
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. m) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA n) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? o) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? ĐỀ SỐ 497 Bài 1 (4,0 điểm). 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Cho biểu thức: P 4x2 1 8x3 1 a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 Bài 2 (4,0 điểm). a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a +b 2b+c 2c+d 2d +a + + 6. Chứng minh A = abcd là số chính phương. a b b+c c d d +a b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. Bài 3 (3,0 điểm). a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 2 x+1 x+1 2x-4 b. Giải phương trình: + -3 0 x-2 x-4 x-4 Bài 4 (3,0 điểm). a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 361
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 5 (5,0 điểm). Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 ĐÊ SỐ 498 a 3 4a 2 a 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . 1 1 1 1 C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 362
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ĐỀ SỐ 499 C©u 1: (3 ®iÓm) Cho biểu thức A = 15n2 - 16n - 15. Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là số nguyên tố. C©u 2: (5 ®iÓm) a4 16 Cho biÓu thøc: A a4 4a3 8a2 16a 16 a. Rót gän biÓu thøc A. b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 3: (3 ®iÓm) 4x 3x Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 1 4x2 8x 7 4x2 10x 7 C©u 4: (7 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a, ®iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh BC sao cho E· AF 450 . Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A ®Õn EF. Gäi G, I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña BD víi AF, AE. 1. Chøng minh r»ng: a. ED = EH, FB = FH. b. BG2 + DI2 = GI2 2. Gäi M lµ giao ®iÓm cña AH vµ BD. KÎ MP  DC, MQ  BC (P CD, Q BC). X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó tam gi¸c APQ cã diÖn tÝch nhá nhÊt. C©u 5: (2 ®iÓm) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x 4 y 4 y 4 z 4 z 4 x 4 1 x 3 y 3 y 3 z 3 z 3 x 3 ĐỀ SỐ 500 Bài 1. (4 điểm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 363
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. a) Tìm 3 số dương a, b, c thỏa mãn và a2 + 2c2 = 3c2 + 19. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x +1. Bài 2. (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic vì sức khỏe toàn dân, trường A đã nhận được một số chiếc áo và chia đều cho các lớp. Biết rằng theo thứ tự, lớp thứ nhất nhận được 4 áo và 1 số áo còn lại, rồi đến lớp thứ n (n = 2; 3; 4; ) nhận được 4n áo và 1 số áo 9 9 còn lại. Cứ như thế các lớp đã nhận hết số áo. Hỏi trường A đã nhận được bao nhiêu chiếc áo? Bài 3. (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để (1 + n2017 + n2018) là số nguyên tố. Bài 4. (3 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì chỉ thi đấu với nhau một trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận và thua b2 trận, , đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng a1 + a2 + a3 + + a9 = b1 + b2 + b3 + + b9 . Bài 5. (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a (cm). Lấy điểm C bất kì thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và B). Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB. a) Chứng minh AE vuông góc với BD. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AE và BD. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn nhất. c) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí của điểm C. Bài 6. (2 điểm) Hình vuông có 3x3 ô (như hình bên) chứa 9 số mà tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau gọi là hình vuông kì diệu. Chứng minh rằng số ở tâm (x) của một hình vuông kì diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, hoặc cùng cột, hoặc cùng đường chéo. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 364
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. CHÍNH THỨC HẾT CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 365
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Success has only one destination, but has a lot of ways to go. Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Công Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi" 366