›
›
›

Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Thcs

doc 53 trang hoaithuong97 7061
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Thcs", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctoan_boi_duong_hoc_sinh_gioi_thcs.doc

Nội dung text: Toán bồi dưỡng học sinh giỏi Thcs

  1. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh 7 là số vơ tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacơpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. a b 4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ab . 2 bc ca ab b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : a b c a b c c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x 3 | = | 1 x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng khơng cĩ giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0 1 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A x2 4x 9 17. So sánh các số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45 23 2 19 c) và 27 d) 3 2 và 2 3 3 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vơ tỉ lớn hơn 2 nhng nhỏ hơn 3 19. Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x2 10x 21 5 2x x2 . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 1 1 1 1 21. Cho S . 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1 1998 Hãy so sánh S và 2. . 1999 1
  2. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a khơng phải là số chính phương thì a là số vơ tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : x y a) 2 y x x2 y2 x y b) 2 2 0 y x y x x4 y4 x2 y2 x y c) 4 4 2 2 2 . y x y x y x 24. Chứng minh rằng các số sau là số vơ tỉ : a) 1 2 3 b) m với m, n là các số hữu tỉ, n 0. n 25. Cĩ hai số vơ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khơng ? x2 y2 x y 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 4 3 . y x y x x2 y2 z2 x y z 27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng : . y2 z2 x2 y z x 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vơ tỉ là một số vơ tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 2 2 2 2 c) (a1 + a2 + + an) n(a1 + a2 + + an ). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2. 31. Chứng minh rằng : x y x y . 1 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A . x2 6x 17 x y z 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A với x, y, z > 0. y z x 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b cĩ thể là số vơ tỉ khơng nếu : a a) ab và là số vơ tỉ. b a b) a + b và là số hữu tỉ (a + b 0) b c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b 0) 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 2 b c c d d a a b 2
  3. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 39. Chứng minh rằng 2x bằng 2x hoặc 2x 1 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số cĩ dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đĩ, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 1 1 1 2 A= x2 3 B C D E x 2x x2 4x 5 x 2x 1 1 x2 3 x G 3x 1 5x 3 x2 x 1 42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M x2 4x 4 x2 6x 9 . c) Giải phương trình : 4x2 20x 25 x2 8x 16 x2 18x 81 43. Giải phương trình : 2x2 8x 3 x2 4x 5 12 . 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 1 1 A x2 x 2 B C 2 1 9x2 D 1 3x x2 5x 6 1 x 2 2 E G 2 x 2 H x 2x 3 3 1 x 2x 1 x x 4 x2 3x 45. Giải phương trình : 0 x 3 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x . 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x 3 1 48. So sánh : a) a 2 3 và b= ; b) 5 13 4 3 và 3 1 2 c) n 2 n 1 và n+1 n (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A 1 1 6x 9x2 (3x 1)2 . 50. Tính : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2 d) A m2 8m 16 m2 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1 (n > 1) 8 41 51. Rút gọn biểu thức : M . 45 4 41 45 4 41 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y)2 (y 2)2 (x y z)2 0 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 25x2 20x 4 25x2 30x 9 . 54. Giải các phương trình sau : 3
  4. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a) x2 x 2 x 2 0 b) x2 1 1 x2 c) x2 x x2 x 2 0 d) x x4 2x2 1 1 e) x2 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5 h) x2 2x 1 x2 6x 9 1 i) x 5 2 x x2 25 k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: x2 y2 2 2 . x y 56. Rút gọn các biểu thức : a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 6 2 57. Chứng minh rằng 2 3 . 2 2 58. Rút gọn các biểu thức : 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D 2 3 .59. So sánh : a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2 60. Cho biểu thức : A x x2 4x 4 a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 1 1 1 a 2 b2 c2 a b c 63. Giải bất phương trình : x2 16x 60 x 6 . 64. Tìm x sao cho : x2 3 3 x2 . 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1) 66. Tìm x để biểu thức cĩ nghĩa: 1 16 x2 a) A b) B x2 8x 8 . x 2x 1 2x 1 x x2 2x x x2 2x 67. Cho biểu thức : A . x x2 2x x x2 2x a) Tìm giá trị của x để biểu thức A cĩ nghĩa. 4
  5. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A 0 và a + b 1. 82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd cĩ ít nhất hai số d- ương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18 . 84. Cho x y z xy yz zx , trong đĩ x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2) (1 + n an) 2 . 2 86. Chứng minh : a b 2 2(a b) ab (a, b 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng cĩ độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng cĩ độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác. ab b2 a (x 2)2 8x 88. Rút gọn : a) A b) B 2 b b x x a 2 2 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều cĩ : 2 . Khi nào cĩ a 2 1 đẳng thức ? 5
  6. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 90. Tính : A 3 5 3 5 bằng hai cách. 3 7 5 2 91. So sánh : a) và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 2 3 2 3 92. Tính : P . 2 2 3 2 2 3 93. Giải phương trình : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 . 1.3.5 (2n 1) 1 94. Chứng minh rằng ta luơn cĩ : P ; n Z+ n 2.4.6 2n 2n 1 a 2 b2 95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì a b . b a x 4(x 1) x 4(x 1) 1 96. Rút gọn biểu thức : A = . 1 . x2 4(x 1) x 1 a b b a 1 97. Chứng minh các đẳng thức sau : a) : a b (a, b > ab a b 0 ; a b) 14 7 15 5 1 a a a a b) : 2 c) 1 1 1 a 1 2 1 3 7 5 a 1 a 1 (a > 0). 98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48 . c) 7 48 28 16 3 . 7 48 . 99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7 16 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 2 100. Cho hằng đẳng thức : a a 2 b a a 2 b a b (a, b > 0 và a2 b > 0). 2 2 Áp dụng kết quả để rút gọn : 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 a) ; b) 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 101. Xác định giá trị các biểu thức sau : xy x2 1. y2 1 1 1 1 1 a) A với x a , y b (a > 1 ; b > 1) xy x2 1. y2 1 2 a 2 b 6
  7. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a bx a bx 2am b) B với x , m 1 . a bx a bx b 1 m2 2x x2 1 102. Cho biểu thức P(x) 3x2 4x 1 a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) 0. Chứng minh : . b c c a a b 2 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6 . 113. CM : a 2 c2 b2 c2 a 2 d2 b2 d2 (a b)(c d) với a, b, c, d > 0. 114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x x . (x a)(x b) 115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A . x 116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5. 7
  8. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x . 118. Giải phương trình : x 1 5x 1 3x 2 119. Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 120. Giải phương trình : 3x2 21x 18 2 x2 7x 7 2 121. Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 122. Chứng minh các số sau là số vơ tỉ : 3 2 ; 2 2 3 123. Chứng minh x 2 4 x 2 . 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học : a 2 b2 . b2 c2 b(a c) với a, b, c > 0. 125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng cĩ độ dài a, b, c lập đợc thành một tam giác thì các đoạn thẳng cĩ độ dài a , b , c cũng lập đợc thành một tam giác. (a b)2 a b 127. Chứng minh a b b a với a, b 0. 2 4 a b c 128. Chứng minh 2 với a, b, c > 0. b c a c a b 129. Cho x 1 y2 y 1 x2 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1 131. Tìm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x . 132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 1 x2 2x 5 133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 4x 12 x2 2x 3 . 134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A 2x 5 x2 b) A x 99 101 x2 a b 135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn 1 x y (a và b là hằng số dương). 136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. xy yz zx 137. Tìm GTNN của A với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. z x y x2 y2 z2 138. Tìm GTNN của A biết x, y, z > 0 , x y y z z x xy yz zx 1. 2 139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A a b với a, b > 0 , a + b 1 b) 4 4 4 4 4 4 B a b a c a d b c b d c d với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 8
  9. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. b c 141. Tìm GTNN của A với b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0. c d a b 142. Giải các phương trình sau : a) x2 5x 2 3x 12 0 b) x2 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1 d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2 h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1 k) 1 x2 x x 1 l) 2x2 8x 6 x2 1 2x 2 m) x2 6 x 2 x2 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5 o) x 1 x 3 2 x 1 x2 3x 5 4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2 . q) 2x2 9x 4 3 2x 1 2x2 21x 11 143. Rút gọn biểu thức : A 2 2 5 3 2 18 20 2 2 . 144. Chứng minh rằng, n Z+ , ta luơn cĩ : 1 1 1 1 2 n 1 1 . 2 3 n 1 1 145. Trục căn thức ở mẫu : a) b) . 1 2 5 x x 1 146. Tính : a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 147. Cho a 3 5. 3 5 10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên. 3 2 2 3 2 2 148. Cho b . b cĩ phải là số tự nhiên khơng ? 17 12 2 17 12 2 149. Giải các phương trình sau : a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3 150. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21 1 1 1 1 151. Rút gọn : A . 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 1 1 1 152. Cho biểu thức : P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 a) Rút gọn P. b) P cĩ phải là số hữu tỉ khơng ? 9
  10. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 1 1 1 153. Tính : A . 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 1 1 1 154. Chứng minh : 1 n . 2 3 n 155. Cho a 17 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000. 156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3 (a 3) 1 157. Chứng minh : x2 x 0 (x 0) 2 158. Tìm giá trị lớn nhất của S x 1 y 2 , biết x + y = 4. 3 1 2a 1 2a 159. Tính giá trị của biểu thức sau với a : A . 4 1 1 2a 1 1 2a 160. Chứng minh các đẳng thức sau : a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1 2 c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 2 161. Chứng minh các bất đẳng thức sau : 5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5 5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0,2 1,01 0 1 5 3 1 3 5 3 2 3 1 2 3 3 3 1 d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2 e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1 2 2 3 2 2 h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8 4 1 162. Chứng minh rằng : 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 . Từ đĩ suy ra: n 1 1 1 2004 1 2005 2 3 1006009 2 3 4 3 163. Trục căn thức ở mẫu : a) b) . 2 3 6 8 4 2 3 2 3 4 3 2 3 2 164. Cho x và y= . 3 2 3 2 Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 2002 2003 165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 . 2003 2002 10
  11. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x2 3xy y2 166. Tính giá trị của biểu thức : A với x y 2 x 3 5 và y 3 5 . 6x 3 167. Giải phương trình : 3 2 x x2 . x 1 x 168. Giải bất các pt : a) 1 3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 . 4 169. Rút gọn các biểu thức sau : a 1 a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a a x 3 2 x2 9 x2 5x 6 x 9 x2 c) C d) D 2x 6 x2 9 3x x2 (x 2) 9 x2 1 1 1 1 E 1 2 2 3 3 4 24 25 1 170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A . 2 3 x2 2 1 171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A với 0 < x < 1. 1 x x 172. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ; b) x 1 y 2 B x y 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ? 1 174. Tìm GTNN, GTLN của : a) A b) B x2 2x 4 . 5 2 6 x2 175. Tìm giá trị lớn nhất của A x 1 x2 . 176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1. 177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y 0 ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y biết x y 1 . x 1 179. Giải phương trình : 1 x x2 3x 2 (x 2) 3 . x 2 180. Giải phương trình : x2 2x 9 6 4x 2x2 . 1 1 1 1 181. CMR, n Z+ , ta cĩ : 2 . 2 3 2 4 3 (n 1) n 1 1 1 1 182. Cho A . Hãy so sánh A và 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 1,999. 183. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số hữu tỉ 11
  12. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 3 2 184. Cho a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 . CMR : a, b là các số 3 2 hữu tỉ. 2 a a 2 a a a a 1 185. Rút gọn biểu thức : P . . a 2 a 1 a 1 a (a > 0 ; a 1) a 1 a 1 1 186. Chứng minh : 4 a a 4a . (a > 0 ; a 1) a 1 a 1 a x 2 2 8x 187. Rút gọn : (0 < x < 2) 2 x x b ab a b a b 188. Rút gọn : a : a b ab b ab a ab 5a 2 189. Giải bất phương trình : 2 x x2 a 2 (a 0) x2 a 2 1 a a 1 a a 190. Cho A 1 a 2 : a a 1 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì | A | = A. a b 1 a b b b 191. Cho biểu thức : B . a ab 2 ab a ab a ab a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5 . c) So sánh B với -1. 1 1 a b 192. Cho A : 1 a a b a a b a b a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm b biết | A | = -A. c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2 . a 1 a 1 1 193. Cho biểu thức A 4 a a a 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. 6 b) Tìm giá trị của A nếu a . 2 6 c) Tìm giá trị của a để A A . a 1 a a a a 194. Cho biểu thức A . 2 2 a a 1 a 1 12
  13. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4 1 a 1 a 1 a 1 a 195. Thực hiện phép tính : A : 1 a 1 a 1 a 1 a 2 3 2 3 196. Thực hiện phép tính : B 2 2 3 2 2 3 197. Rút gọn các biểu thức sau : x y 1 1 1 2 1 1 a) A : . . 3 xy xy x y x y 2 xy x y x y với x 2 3 ; y 2 3 . x x2 y2 x x2 y2 b) B với x > y > 0 2(x y) 2a 1 x2 1 1 a a c) C với x ; 0 0 và ab + bc + ca = 1 c2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 e) E . 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 x2 4 x2 4 2x 4 198. Chứng minh : x x với x 2. x x x 1 2 1 2 199. Cho a , b . Tính a7 + b7. 2 2 200. Cho a 2 1 a) Viết a2 ; a3 dưới dạng m m 1 , trong đĩ m là số tự nhiên. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết đợc dới dạng trên. 201. Cho biết x = 2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm cịn lại. 1 1 1 202. Chứng minh 2 n 3 2 n 2 với n N ; n 2. 2 3 n 203. Tìm phần nguyên của số 6 6 6 6 (cĩ 100 dấu căn). 2 3 204. Cho a 2 3. Tính a) a b) a . 205. Cho 3 số x, y, x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x , y đều là số hữu tỉ 1 1 1 1 206. CMR, n 1 , n N : 2 2 3 2 4 3 (n 1) n 13
  14. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a25 thỏa đk : 1 1 1 1 9 . Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đĩ tồn a1 a 2 a3 a 25 tại 2 số bằng nhau. 2 x 2 x 208. Giải phương trình 2 . 2 2 x 2 2 x 1 x 1 x 209. Giải và biện luận với tham số a a . 1 x 1 x x 1 y 2y 210. Giải hệ phương trình y 1 z 2z z 1 x 2x 211. Chứng minh rằng : 7 a) Số 8 3 7 cĩ 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy. 10 b) Số 7 4 3 cĩ mời chữ số 9 liền sau dấu phẩy. * 212. Kí hiệu an là số nguyên gần n nhất (n N ), ví dụ : 1 1 a1 1 ; 2 1,4 a 2 1 ; 3 1,7 a3 2 ; 4 2 a 4 2 1 1 1 1 Tính : . a1 a 2 a3 a1980 213. Tìm phần nguyên của các số (cĩ n dấu căn) : a) a n 2 2 2 2 b) a n 4 4 4 4 c) a n 1996 1996 1996 1996 214. Tìm phần nguyên của A với n N : A 4n2 16n2 8n 3 200 215. Chứng minh rằng khi viết số x = 3 2 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. 250 216. Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của 3 2 . 217. Tính tổng A 1 2 3 24 218. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 x) với x 0. 219. Giải phương trình : a) 3 x 1 3 7 x 2 b) 3 x 2 x 1 3. 220. Cĩ tồn tại các số hữu tỉ dương a, b khơng nếu : a) a b 2 b) a b 4 2 . 221. Chứng minh các số sau là số vơ tỉ : a) 3 5 b) 3 2 3 4 14
  15. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a b c 222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số khơng âm : 3 abc . 3 a b c d 223. Cho a, b, c, d > 0. Biết 1 . Chứng minh rằng : 1 a 1 b 1 c 1 d 1 abcd . 81 x2 y2 z2 x y z 224. Chứng minh bất đẳng thức : với x, y, z > 0 y2 z2 x2 y z x 225. Cho a 3 3 3 3 3 3 3 3 ; b 2 3 3 . Chứng minh rằng : a < b. n 1 226. a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta cĩ : 1 3 . n b) Chứng minh rằng trong các số cĩ dạng n n (n là số tự nhiên), số 3 3 cĩ giá trị lớn nhất 227. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 x 1 x2 x 1 . 228. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 x) biết x 4. 229. Tìm giá trị lớn nhất của A x2 9 x2 . 230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 6) biết 0 x 3. 231. Một miếng bìa hình vuơng cĩ cạnh 3 dm. Ở mỗi gĩc của hình vuơng lớn, ngời ta cắt đi một hình vuơng nhỏ rồi gấp bìa để đợc một cái hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp. Tính cạnh hình vuơng nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất. 232. Giải các phương trình sau : a) 1 3 x 16 3 x 3 b) 3 2 x x 1 1 c) 3 x 1 3 x 1 3 5x d) 2 3 2x 1 x3 1 3 2 2 x 3x x 1 x 4 3 7 x 3 x 5 e) 3 2 3 g) 6 x 2 3 7 x 3 x 5 h) 3 (x 1)2 3 (x 1)2 3 x2 1 1 i) 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0 k) 4 1 x2 4 1 x 4 1 x 3 l) 4 a x 4 b x 4 a b 2x (a, b là tham số) 3 a 4 3 a 2b2 3 b4 233. Rút gọn A . 3 a 2 3 ab 3 b2 234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x2 x 1 x2 x 1 235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 3 . 236. Chứng minh 3 3 là số vơ tỉ. 237. Làm phép tính : a) 3 1 2.6 3 2 2 b) 6 9 4 5.3 2 5 . 238. Tính : a 3 20 14 2 3 20 14 2 . 239. Chứng minh : 3 7 5 2 3 7 2 5 2 . 15
  16. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 240. Tính : A 4 7 48 4 28 16 3 .4 7 48 . 241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên cĩ một nghiệm là : x 3 3 3 9 . 242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x 14 với 1 x 3 7 5 2 . 3 7 5 2 243. Giải các phương trình : a) 3 x 2 3 25 x 3 . b) 3 x 9 (x 3)2 6 c) x2 32 2 4 x2 32 3 244. Tìm GTNN của biểu thức : A x3 2 1 x3 1 x3 2 1 x3 1 . 245. Cho các số dơng a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d 4 4 abcd . 8 x 3 x2 2 3 x 3 x2 4 246. Rút gọn : P : 2 3 x ; x > 0 3 3 3 3 2 2 x 2 x x 2 x 2 x , x 8 247. CMR : x 3 5 17 3 5 17 là nghiệm của phương trình x3 - 6x + 10 = 0. 1 248. Cho x 3 4 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 - 3x + 1987. 3 4 15 a 2 5. 9 4 5 249. Chứng minh đẳng thức : 3 a 1 . 3 2 5.3 9 4 5 3 a 2 3 a 3 3 3 250. Chứng minh bất đẳng thức : 9 4 5 2 5 . 5 2 2,1 0 . 251. Rút gọn các biểu thức sau : 1 1 2 3 3 a 4 3 a 2b2 3 b4 b 4b 24 a) A b) . b 3 2 3 3 2 3 1 a ab b b 8 3 b 2 1 2. b 8 3 b a 3 a 2a 3 b 3 a 2b2 3 a 2b 3 ab2 1 c) C . . 3 2 3 3 3 3 2 a ab a b a 252. Cho M x2 4a 9 x2 4x 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng: x2 4x 9 x2 4x 8 2. 253. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P x2 2ax a 2 x2 2bx b2 (a < b) 254. Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì : abc (a + b c)(b + c a)(c + a b) 255. Tìm giá trị của biểu thức | x y | biết x + y = 2 và xy = -1 256. Biết a b = 2 + 1 , b c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức : 16
  17. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS A = a2 + b2 + c2 ab bc ca. 257. Tìm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 . 258. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1 . CMR, nếu 1 x 2 thì giá trị của y là một hằng số. 259. Phân tích thành nhân tử : M 7 x 1 x3 x2 x 1 (x 1). 260. Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ đường chéo bằng 82 , hãy tìm hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất. 261. Cho tam giác vuơng ABC cĩ các cạnh gĩc vuơng là a, b và cạnh huyền a b là c. Chứng minh rằng ta luơn cĩ : c . 2 262. Cho các số dơng a, b, c, a, b, c. Chứng minh rằng : a b c Nếu aa' bb' cc' (a b c)(a ' b' c') thì . a' b' c' 263. Giải phương trình : | x2 1 | + | x2 4 | = 3. 264. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C khơng phụ thuộc vào x, y : 4 1 x y x y C với x > 0 ; y > 0. x y x y 2 x y 4xy x y x y 265. Chứng minh giá trị biểu thức D khơng phụ thuộc vào a: 2 a a 2 a a a a 1 D với a > 0 ; a 1 a 2 a 1 a 1 a c ac 1 266. Cho biểu thức B a . a c a c a c ac c ac a ac a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. 2mn 2mn 1 267. Cho biểu thức : A= m+ 2 m 2 1 2 với m 0 ; n 1 1+n 1 n n a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 268. Rút gọn 1 x 1 x 1 1 x x D 2 1 1 x 1 x 1 x2 1 x x x 1 x 1 x2 1 2 x 2 x 269. Cho P : 1 với x 0 ; x 1. x 1 x x x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P < 0. 17
  18. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x2 x 2x x 270. Xét biểu thức y 1 . x x 1 x a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI m m2 1. Giả sử 7 là số hữu tỉ 7 (tối giản). Suy ra 7 hay 7n2 m2 n n2 (1). Đẳng thức này chứng tỏ m2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7. Đặt m = 7k (k Z), ta cĩ m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại cĩ n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7. m và n cùng chia m hết cho 7 nên phân số khơng tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 khơng phải là n số hữu tỉ; do đĩ 7 là số vơ tỉ. 2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta đợc vế phải. Từ a) b) vì (ad bc)2 0. 3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta cĩ y = 2 - x. Do đĩ : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 2. Vậy min S = 2 x = y = 1. Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, Ta cĩ :(x + y)2 (x2 + y2)(1 + 1) 4.2(x2 + y2) = 2S S.2 mim S = 2 khi x = y = 1 4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dơng bc ca bc ab ca ab và ; và ; và , ta lần lợt cĩ: a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 . 2c; 2 . 2b ; 2 . 2a cộng a b a b a c a c b c b c từng vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ : 3a 5b 3a.5b (3a + 5b)2 4.15P (vì P = a.b) 122 60P 2 12 12 P max P = . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5. 5. Ta cĩ b = 1 - a, do đĩ M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) . Dấu = xảy ra khi a = . Vậy min M = a = b = . 6. Đặt a = 1 + x b3 = 2 - a3 = 2 - (1 + x)3 = 1 - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3. Suy ra : b 1 x. Ta lại cĩ a = 1 + x, nên : a + b 1 + x + 1 x = 2. Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a b)2(a + b). 18
  19. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b | a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2 4ab > 0 ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu. 9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0. b) Ta cĩ : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c và các bất đẳng thức này cĩ hai vế đều dơng, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)] 2 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển và rút gọn, ta đợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2). 4 2x 3 1 x 3x 4 x 11. a) 2x 3 1 x 3 2x 3 x 1 x 2 x 2 b) x2 4x 5 (x 2)2 33 | x 2 | 3 -3 x 2 3 -1 x 5. c) 2x(2x 1) 2x 1 (2x 1)2 0. Nhng (2x 1)2 0, nên chỉ cĩ thể : 2x 1 = 0 Vậy : x = . 12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a 2 + b2 + c2 + d2 ab ac ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đa về dạng : a2 + (a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 = 0 (2). Do đĩ ta cĩ : a = a 2b = a 2c = a 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0. 13. 2M = (a + b 2)2 + (a 1)2 + (b 1)2 + 2.1998 2.1998 M 1998. a b 2 0 Dấu = xảy ra khi cĩ đồng thời : a 1 0 Vậy min M =1998 a = b= 1. b 1 0 14. Giải tương tự bài 13. 15. Đa đẳng thức đã cho về dạng : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0. 1 1 1 1 16. A . max A= x 2 . x2 4x 9 x 2 2 5 5 5 17. a) 7 15 9 16 3 4 7 . Vậy 7 15 < 7 b) 17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45 . 23 2 19 23 2 16 23 2.4 c) 5 25 27 . 3 3 3 d) Giả sử 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 18 12. Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : 3 2 2 3 . 2 3 18. Các số đĩ cĩ thể là 1,42 và 2 19.Viết lại phương trình dưới dạng : 3(x 1)2 4 5(x 1)2 16 6 (x 1)2 . 19
  20. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Vế trái của phương trình khơng nhỏ hơn 6, cịn vế phải khơng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1. 2 a b a b 20. Bất đẳng thức Cauchy ab viết lại dưới dạng ab (*) 2 2 (a, b 0). Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy Ta được : 2 2x xy 2x.xy 4 2 Dấu = xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. max A = 2 x = 2, y = 2. 1 2 21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : . ab a b 1998 Áp dụng ta cĩ S > 2. . 1999 22. Chứng minh như bài 1. x y x2 y2 2xy (x y)2 x y 23. a) 2 0 . Vậy 2 y x xy xy y x x2 y2 x y x2 y2 x y x y b) Ta cĩ : A 2 2 2 2 2 . y x y x y x y x y x 2 2 x2 y2 x y x y Theo câu a : A 2 2 2 2 1 1 0 y x y x y x x4 y4 x2 y2 x y c) Từ câu b suy ra : 4 4 2 2 0 . Vì 2 (câu a). y x y x y x x4 y4 x2 y2 x y d) Do đĩ : 4 4 2 2 2 . y x y x y x 24. a) Giả sử 1 2 = m (m : số hữu tỉ) 2 = m2 1 2 là số hữu tỉ (vơ lí) 3 3 b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) = a m 3 = n(a m) n n 3 là số hữu tỉ, vơ lí. 25. Cĩ, chẳng hạn 2 (5 2) 5 x y x2 y2 x2 y2 26. Đặt a 2 a 2 . Dễ dàng chứng minh 2 nên y x y2 x2 y2 x2 a2 4, do đĩ | a | 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 2 + 4 3a a2 3a + 2 0 (a 1)(a 2) 0 (2) Từ (1) suy ra a 2 hoặc a -2. Nếu a 2 thì (2) đúng. Nếu a -2 thì (2) cũng đúng. Bài tốn đợc chứng minh. 27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 20
  21. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x4z2 y4x2 z4x2 x2z y2x z2y xyz 0 . x2y2z2 Cần chứng minh tử khơng âm, tức là : x3z2(x y) + y3x2(y z) + z3y2(z x) 0. (1) Biểu thức khơng đổi khi hốn vị vịng x y z x nên cĩ thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp : a) x y z > 0. Tách z x ở (1) thành (x y + y z), (1) tương đương với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0 z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0 Dễ thấy x y 0 , x3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nên bất đẳng thức trên đúng. b) x z y > 0. Tách x y ở (1) thành x z + z y , (1) tơng đơng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0 z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0 Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng. Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 3. y z x y z x 28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vơ tỉ b là số hữu tỉ c. Ta cĩ : b = c a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy c phải là số vơ tỉ. 29. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai triển và rút gọn ta đợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự nh câu b 30. Giả sử a + b > 2 (a + b)3 > 8 a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 2 + 3ab(a + b) > 8 ab(a + b) > 2 ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 ab + b2 (a b)2 < 0, vơ lí. Vậy a + b 2. 31. Cách 1: Ta cĩ : x x ; y y nên x + y x + y. Suy ra x + y là số nguyên khơng vợt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên, x y là số nguyên lớn nhất khơng vợt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra : x + y x y. Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 x - x < 1 ; 0 y - y < 1. Suy ra : 0 (x + y) (x + y ) < 2. Xét hai trường hợp : - Nếu 0 (x + y) (x + y ) < 1 thì x y = x + y (1) - Nếu 1 (x + y) (x + y ) < 2 thì 0 (x + y) (x + y + 1) < 1 nên x y = x + y + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều cĩ : x + y + x y 21
  22. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 32. Ta cĩ x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , 1 suy ra A > 0 do đĩ : A lớn nhất nhỏ nhất x2 6x + 17 nhỏ nhất. A 1 Vậy max A = x = 3. 8 33. Khơng được dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x và giả sử x y z. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z : x y z x y z A 33 . . 3 y z x y z x x y z x y z Do đĩ min 3 x y z y z x y z x x y z x y y z y x y Cách 2 : Ta cĩ : . Ta đã cĩ 2 (do x, y z x y x z x x y x x y z y z y y > 0) nên để chứng minh 3 ta cần chứng minh: 1 (1) y z x z x x (1) xy + z2 yz xz (nhân hai vế với số dơng xz) xy + z2 yz xz 0 y(x z) z(x z) 0 (x z)(y z) 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. x y z Từ đĩ tìm đợc giá trị nhỏ nhất của . y z x 34. Ta cĩ x + y = 4 x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại cĩ (x y)2 0 x2 2xy + y2 0. Từ đĩ suy ra 2(x2 + y2) 16 x2 + y2 8. min A = 8 khi chỉ khi x = y = 2. 35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : 1 = x + y + z 3.3 xyz (1) 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) 3.3 (x y)(y z)(z x) (2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 9.3 A 3 3 2 2 1 A = max A = khi và chỉ khi x = y = z = . 9 9 3 36. a) Cĩ thể. b, c) Khơng thể. 37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a b)2(a + b). 1 4 38. Áp dụng bất đẳng thức với x, y > 0 : xy (x y)2 a c a 2 ad bc c2 4(a 2 ad bc c2 ) (1) b c d a (b c)(a d) (a b c d)2 b d 4(b2 ab cd d2 ) Tơng tự (2) c d a b (a b c d)2 Cộng (1) với (2) a b c d 4(a 2 b2 c2 d2 ad bc ab cd) = 4B b c c d d a a b (a b c d)2 22
  23. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 Cần chứng minh B , bất đẳng thức này tương đương với : 2 2B 1 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0 (a c)2 + (b d)2 0 : đúng. 39. - Nếu 0 x - x < thì 0 2x - 2x < 1 nên 2x = 2x . - Nếu x - x < 1 thì 1 2x - 2x < 2 0 2x (2x + 1) < 1 2x = 2 x + 1 40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 96000 00 a + 15p < 97000 00 m chữ số 0 m chữ số 0 a 15p Tức là 96 < 97 (1). Gọi a + 15 là số cĩ k chữ số : 10k 1 a + 15 10m 10m < 10k 1 a 15 a 15p 1 (2). Đặt x . Theo (2) 10 10k 10k n 10k 10k 15 Ta cĩ x1 < 1 và < 1. 10k Cho n nhận lần lợt các giá trị 2, 3, 4, , các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng khơng quá 1 đơn vị, khi đĩ xn  sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3, Đến một a 15p lúc nào đĩ ta cĩ x = 96. Khi đĩ 96 xp < 97 tức là 96 < 97. Bất p 10k 10k đẳng thức (1) đợc chứng minh. 42. a) Do hai vế của bất đẳng thức khơng âm nên ta cĩ : | A + B | = | A | + | B | | A + B |2 = ( | A | + | B | )2 A 2 + B2 + 2AB = A2 + B2 + 2| AB | AB = | AB | (bất đẳng thức đúng). Dấu = xảy ra khi AB = 0. b) Ta cĩ : M = | x + 2 | + | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 x) 0 -2 x 3 (lập bảng xét dấu) Vậy min M = 5 -2 x 3. c) Phơng trình đã cho | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x | (2x + 5)(4 x) 0 -5/2 x 4 2 x 1 43. Điều kiện tồn tại của phơng trình : x 4x 5 0 x 5 Đặt ẩn phụ x2 4x 5 y 0 , ta đợc : 2y2 3y 2 = 0 (y 2)(2y + 1) = 0. 45. Vơ nghiệm 46. Điều kiện tồn tại của x là x 0. Do đĩ : A = x + x 0 min A = 0 x = 0. 47. Điều kiện : x 3. Đặt 3 x = y 0, ta cĩ : y2 = 3 x x = 3 y2. 13 13 13 11 B = 3 y2 + y = - (y )2 + . max B = y = x = . 4 4 4 4 48. a) Xét a2 và b2. Từ đĩ suy ra a = b. 23
  24. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS b) 5 13 4 3 5 (2 3 1) 4 2 3 3 1 . Vậy hai số này bằng nhau. c) Ta cĩ : n 2 n 1 n 2 n 1 1 và n+1 n n 1 n 1. Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n . 49. A = 1 - | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| - )2 + . Từ đĩ suy ra : min A = x = hoặc x = 1/6 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 2 3 53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1 x . 5 5 54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau : A 0 (B 0) B 0 A 0 a) A B b) A B 2 c) A B 0 A B A B B 0 B 0 A 0 d) A B A B e) A B 0 . B 0 A B a) Đa phương trình về dạng : A B . b) Đa phương trình về dạng : A B . c) Phương trình cĩ dạng : . A B 0 d) Đa phương trình về dạng : A B . e) Đa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0 g, h, i) Phương trình vơ nghiệm. k) Đặt x 1 = y 0, đa phương trình về dạng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xét dấu vế trái. l) Đặt : 8x 1 u 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2 t 0 . u v z t Ta đợc hệ : 2 2 2 2 . Từ đĩ suy ra : u = z tức là : u v z t 8x 1 7x 4 x 3. 55. Cách 1 : Xét x2 y2 2 2(x y) x2 y2 2 2(x y) 2 2xy (x y 2)2 0 . 2 2 2 x2 y2 x y Cách 2 : Biến đổi tương đương 2 2 8 x y x y 2 (x2 + y2)2 -8(x- y)2 0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 ) 0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16 0 (x2 + y2+ 4)2 0. Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : x2 y2 x2 y2 2xy 2xy (x y)2 2.1 2 1 (x y) 2 (x y). x y x y x y x y x y (x > y). 24
  25. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 6 2 6 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x ; y hoặc 2 2 6 2 6 2 x ; y 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(c b a 62. 2 2 2 2 2 2 2 = a b c a b c ab bc ca a b c abc 1 1 1 = . Suy ra điều phải chứng minh. a2 b2 c2 2 x 6 x 16x 60 0 (x 6)(x 10) 0 63. Điều kiện : x 10 x 10 . x 6 0 x 6 x 6 Bình phương hai vế : x2 16x + 60 6. Nghiệm của bất phương trình đã cho : x 10. 64. Điều kiện x2 3. Chuyển vế : x2 3 x2 3 (1) x 3 x2 3 0 Đặt thừa chung : x2 3 .(1 - x2 3 ) 0 x 2 2 1 x 3 0 x 2 Vậy nghiệm của bất phương trình : x = 3 ; x 2 ; x -2. 65. Ta cĩ x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0. Do đĩ : A2 4A + 3 0 (A 1)(A 3) 0 1 A 3. min A = 1 x = 0, khi đĩ y = 1. max A = 3 x = 0, khi đĩ y = 3 . 66. a) x 1. b) B cĩ nghĩa 4 x 4 16 x2 0 4 x 4 x 4 2 2 1 2x 1 0 (x 4)2 8 x 4 2 2 . 2 2 x 4 2 2 x 8x 8 0 1 x 1 2 x 2 2 x 2x 0 x(x 2) 0 x 2 67. a) A cĩ nghĩa 2 2 2 x x 2x x x 2x x 0 b) A = 2 x2 2x với điều kiện trên. c) A < 2 x2 2x < 1 x2 2x < 1 (x 1)2 < 2 -2 < x 1 < 2 kq 68. Đặt 0,999 99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của 20 chữ số 9 a là các chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta cĩ : 0 < a < 1 a(a 1) < 0 a2 a < 0 a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1. 25
  26. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Vậy 0,999 99 0,999 99 . 20 chữ số 9 20 chữ số 9 69. a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | | a | + | b |. A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a b | | a | - | b . A | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta cĩ : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2. Suy ra : x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) 1 Mặt khác, dễ dàng chứng minh đợc : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 . 3 1 Do đĩ từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 (2). 3 1 3 Từ (1) , (2) : min A = x = y = z = 3 3 71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so sánh n n 2 và 2 n+1 ta so sánh n 2 n 1 và n 1 n . Ta cĩ : n 2 n 1 n 1 n n n 2 2 n 1 . 72. Cách 1 : Viết các biểu thức dới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Cách 2 : Tính A2 rồi suy ra A. 73. Áp dụng : (a + b)(a b) = a2 b2. 74. Ta chứng minh bằng phản chứng. a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3 5 = r 3 + 215 + 5 = r2 r2 8 15 . Vế trái là số vơ tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vơ lí. Vậy 3 5 là số 2 vơ tỉ. b), c) Giải tương tự. 75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương : 3 3 3 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 27 8 4 8 2 15 8 2 225 128 . Vậy a > b là đúng. b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh. 76. Cách 1 : Đặt A = 4 7 4 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 A = 2 Cách 2 : Đặt B = 4 7 4 7 2 2.B 8 2 7 8 2 7 2 0 B =0. 26
  27. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 77 2 3 2.3 2.4 2 4 2 3 4 2 2 3 4 Q 1 2 2 3 4 2 3 4 . 78. Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7 . Vậy P = 2 5 7 . 79. Từ giả thiết ta cĩ : x 1 y2 1 y 1 x2 . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta đợc : y 1 x2 . Từ đĩ : x2 + y2 = 1. 80. Xét A2 để suy ra : 2 A2 4. Vậy : min A = 2 x = 1 ; max A = 2 x = 0. 2 2 2 81. Ta cĩ : M a b a b a b 2a 2b 2 . a b 1 max M 2 a b . a b 1 2 82. Xét tổng của hai số : 2a b 2 cd 2c d 2 ab a b 2 ab c d 2 cd a c = 2 2 = a c a b c d a c 0 . 83. N 4 6 8 3 4 2 18 12 8 3 4 4 6 4 2 2 = 2 2 = 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 . 84. Từ x y z xy yz zx 2 2 2 x y y z z x 0 . Vậy x = y = z. 85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3, n ). 86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b 0 và 2ab 0, ta cĩ : 2 a b 2 ab 2 2(a b) ab hay a b 2 2(a b) ab . Dấu = xảy ra khi a = b. 87. Giả sử a b c > 0. Ta cĩ b + c > a nên b + c + 2bc > a hay 2 2 b c a Do đĩ : b c a . Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập được thành một tam giác. 88. a) Điều kiện : ab 0 ; b 0. Xét hai trường hợp : b.( a b) a a b a * Trờng hợp 1 : a 0 ; b > 0 : A 1 . b. b b b b ab b2 a a a a * Trờng hợp 2 : a 0 ; b < 0 : A 1 1 2 . b2 b b b b 27
  28. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS (x 2)2 8x 0 x 0 b) Điều kiện : x 0 . Với các điều kiện đĩ thì : x 2 2 x 0 x (x 2)2 8x (x 2)2 . x x 2 . x B . 2 x x 2 x 2 x Nếu 0 2 thì | x 2 | = x 2 và B = x 2 2 a 2 2 a 1 1 1 89. Ta cĩ : a 2 1 . Áp dụng bất đẳng thức a 2 1 a 2 1 a 2 1 Cauchy: 1 1 a 2 2 a 2 1 2 a 2 1. 2 . Vậy 2 . Đẳng thức xảy ra a 2 1 a 2 1 a 2 1 khi : 1 a 2 1 a 0. a 2 1 93. Nhân 2 vế của pt với 2 , ta được :2x 5 3 2x 5 1 4 x 5/2 94. Ta chứng minh bằng qui nạp tốn học : 1 1 a) Với n = 1 ta cĩ : P (*) đúng. 1 2 3 1 1.3.5 (2k 1) 1 b) Giả sử : P (1) k 2k 1 2.4.6 2k 2k 1 c) Ta chứng minh rằng (*) đúng khi n = k + 1 , tức là : 1 1.3.5 (2k 1) 1 P (2) k 1 2k 3 2.4.6 (2k 2) 2k 3 2k 1 2k 1 Với mọi số nguyên dương k ta cĩ : (3) 2k 2 2k 3 Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta đợc bất đẳng thức (2). Vậy  n Z+ 1.3.5 (2n 1) 1 Ta cĩ P n 2.4.6 2n 2n 1 a 2 b2 a3 b3 95. Biến đổi tơng đơng : a b a b b a ab ( a b)(a ab b) 2 a b ab a ab b a b 0 ab (đúng). 28
  29. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x 4(x 1) 0 x 4(x 1) 0 1 x 2 96. Điều kiện : x2 4(x 1) 0 x 2 x 1 0 2 2 Xét trên hai khoảng 1 2. Kết quả : A và A= 1 x x-1 105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đặt 2x 1 = y 0, ta cĩ : 2x 1 = y2. 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 y2 1 2y y2 1 2y y 1 y 1 A 2 2 2 2 2 2 1 Với y 1 (tức là x 1), A (y 1 y 1) 2 . 2 1 1 2y Với 0 y < 1 (tức là x < 1), A (y 1 y 1) y 2 4x 2 . 2 2 2 108. Nếu 2 x 4 thì A = 22 . Nếu x 4 thì A = 2x 2 . 109. Biến đổi : x y 2 2 x y . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta đợc : 2(x y 2) xy . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 y)(x 2) = 0. Đáp : x = 2 , y 0 , x 0 , y = 2. 110. Biến đổi tương đương : (1) a2 + b2 + c2 + d2 + 2 a2 b2 c2 d2 a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd a2 b2 c2 d2 ac + bd (2) * Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh. * Nếu ac + bd 0, (2) tơng đơng với : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2abcd (ad bc)2 0 (3). Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. 111. Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy : a2 b c a2 b c a a2 b c 2 . 2. a a . b c 4 b c 4 2 b c 4 b2 a c c2 a b Tơng tự : b ; c . a c 4 a b 4 Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : a2 b2 c2 a b c a b c a b c b c c a a b 2 2 Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacơpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) (ax + by + cz)2. Ta cĩ : 29
  30. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 2 2 2 a b c 2 2 2 X b c c a a b ≥ b c c a a b 2 a b c . b c . c a . a b b c c a a b 2 2 2 2 2 2 a b c 2 a b c a b c .2(a b c) (a b c) b c c a a b b c c a a b 2 . 112. a) Ta nhìn tổng a + 1 dưới dạng một tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt x y Cauchy : xy 2 (a 1) 1 a a 1 1.(a 1) 1 2 2 b c Tơng tự : b 1 1 ; c 1 1 2 2 a b c Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : a 1 b 1 c 1 3 3,5 . 2 Dấu = xảy ra a + 1 = b + 1 = c + 1 a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = 1. Vậy : a 1 b 1 c 1 3,5 . b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki với hai bộ ba số : 2 2 2 2 1. a b 1. b c 1. c a (1 1 1)X a b b c c a 2 a b b c c a 3(a + b + b + c + c + a) = 6 a b b c c a 6 C B b 113. Xét tứ giác ABCD cĩ AC  BD, O là giao điểm hai đờng chéo. c OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0. Ta cĩ : a O d 2 2 2 2 2 2 2 2 D AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d A AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD AC.BD. Thật vậy ta cĩ : AB.BC 2SABC ; AD.CD 2SADC. Suy ra : Suy ra : AB.BC + AD.CD 2SABCD = AC.BD. Vậy : a2 c2 b2 c2 a2 d2 b2 d2 (a b)(c d) . Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta cĩ : (a2 + c2)(c2 + b2) (ac + cb)2 a2 c2 c2 b2 ac + cb (1) Tơng tự : a2 d2 d2 b2 ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm. 2 1 1 1 1 114. Lời giải sai : A x x x . Vậy min A . 2 4 4 4 30
  31. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) - , chia chỉ ra trường hợp xảy 4 1 ra f(x) = - 4 1 Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x . Vơ lí. 2 Lời giải đúng : Để tồn tại x phải cĩ x 0. Do đĩ A = x + x 0. min A = 0 x = 0. (x a)(x b) x2 ax+ bx+ab ab 115. Ta cĩ A x (a b) . x x x ab Theo bất đẳng thức Cauchy : x 2 ab nên A 2ab + a + b = x ab 2 2 x a b .min A = a b khi và chi khi x x ab . x 0 116. Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2. Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacơpxki : (am + bn)2 (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta cĩ : A2 = (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). Vĩi cách trên ta khơng chỉ ra đợc hằng số mà A2 . Bây giờ, ta viết A2 dới dạng : 2 A2 = 2. 2x 3. 3y rồi áp dụng (1) ta cĩ : 2 2 2 2 A2 2 3 x 2 y 3 (2 3)(2x2 3y2 ) 5.5 25 x y Do A2 25 nên -5 A 5. min A = -5 x y 1 2x 3y 5 x y max A = 5 x y 1 2x 3y 5 117. Điều kiện x 2. Đặt 2 x = y 0, ta cĩ : y2 = 2 x. 2 2 1 9 9 9 1 7 a 2 y y y max A= y x 2 4 4 4 2 4 118. Điều kiện x 1 ; x 1/5 ; x 2/3 x 1. Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x 1 = 5x 1 + 3x 2 + 2 15x2 13x 2 (3) Rút gọn : 2 7x = 2 15x2 13x 2 . Cần cĩ thêm điều kiện x 2/7. Bình phơng hai vế : 4 28x + 49x2 = 4(15x2 13x + 2) 11x2 24x + 4 = 0 (11x 2)(x 2) = 0 x1 = 2/11 ; x2 = 2. Cả hai nghiệm đều khơng thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. 119. Điều kiện x 1. Phương trình biến đổi thành : 31
  32. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x 1 1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 1 * Nếu x > 2 thì : x 1 x 1 1 1 x 1 1 x 2 , khơng thuộc khoảng đang xét. * Nếu 1 x 2 thì : x 1 1 x 1 1 2 . Vơ số nghiệm 1 x 2 Kết luận : 1 x 2. 120. Điều kiện : x2 + 7x + 7 0. Đặt x2 7x 7 = y 0 x2 + 7x + 7 = y2. Phơng trình đã cho trở thành : 3y2 3 + 2y = 2 3y2 + 2y 5 = 0 (y 1)(3y + 5) = 0 y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta cĩ x2 7x 7 = 1 x2 + 7x + 6 = 0 (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 0 là nghiệm của (1). 121. Vế trái : 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 4 9 5 . Vế phải : 4 2x x2 = 5 (x + 1)2 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đĩ x = - 1. Với giá trị này cả hai bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1 5 a2 122. a) Giả sử 3 2 = a (a : hữu tỉ) 5 - 26 = a2 6 . 2 Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vơ tỉ. Vơ lí. Vậy 3 2 là số vơ tỉ. b) Giải tơng tự câu a. 123. Đặt x 2 = a, 4 x = b, ta cĩ a2 + b = 2. Sẽ chứng minh a + b 2. a2 1 b2 1 Cộng từng vế bất đẳng thức : a ; b . A 2 2 124. Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên một đờng thẳng. b Kẻ HA  BC với AH = b. Dễ thấy AB.AC 2SABC = BC.AH. a c B C 125. Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta đợc bất đẳng thức tương đương : (ad bc)2 0. Chú ý : Cũng cĩ thể chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacơpxki. 126. Giả sử a b c > 0. Theo đề bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2bc > a 2 2 b c a b c a Vậy ba đoạn thẳng cĩ độ dài b , c , a lập được thành một tam giác. 127. Ta cĩ a, b 0. Theo bất đẳng thức Cauchy : (a b)2 a b a b 1 1 a b ab a b 2 4 2 2 2 1 Cần chứng minh : ab a b a b b a . Xét hiệu hai vế : 2 32
  33. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 1 ab a b - ab a b = ab a b a b = = 2 2 2 2 1 1 ab a b 0 2 2 1 Xảy ra dấu đẳng thức : a = b = hoặc a = b = 0. 4 b c b c b c a 128. Theo bất đẳng thức Cauchy : .1 1 : 2 . a a 2a a 2a b 2b c 2c Do đĩ : . Tương tự : ; b c a b c a c a b c a b a b c a b c 2(a b c) Cộng từng vế : 2 . b c c a a b a b c a b c Xảy ra dấu đẳng thức : b c a a b c 0 , trái với giả thiết a, b, c > 0. c a b Vậy dấu đẳng thức khơng xảy ra. 129. Cách 1 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki. Ta cĩ : 2 x 1 y2 y 1 x2 x2 y2 1 y2 1 x2 . Đặt x2 + y2 = m, ta đợc : 12 m(2 - m) (m 1)2 0 m = 1 (đpcm). Cách 2 : Từ giả thiết : x 1 y2 1 y 1 x2 . Bình phương hai vế : x2(1 y2) = 1 2y1 x2 + y2(1 x2) x2 = 1 2y1 x2 + y2 0 = (y - 1 x2 )2 y = 1 x2 x2 + y2 = 1 . 130. Áp dụng | A | + | B | | A + B | . min A = 2 1 x 2 . 131. Xét A2 = 2 + 21 x2 . Do 0 1 x2 1 2 2 + 21 x2 4 2 A2 4. min A = 2 với x = 1 , max A = 2 với x = 0. 132. Áp dụng bất đẳng thức : a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 (bài 23) A x2 12 (1 x)2 22 (x 1 x)2 (1 2)2 10 1 x 1 min A 10 2 x . x 3 x2 4x 12 0 (x 2)(6 x) 0 133. Tập xác định : 1 x 3 2 x 2x 3 0 (x 1)(3 x) 0 (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0. 2 Xét : A2 (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) . Hiển nhiên A2 0 nhưng dấu = khơng xảy ra (vì A > 0). Ta biến đổi A2 dới dạng khác : 33
  34. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) - 2(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) - 2(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) + 3 2 = (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3 . A2 3. Do A > 0 nên min A = 3 với x = 0. 134. a) Điều kiện : x2 5. * Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : A2 = (2x + 1.5 x2 )2 (22 + 11)(x2 + 5 x2) = 25 A2 25. x 0 x 2 5 x A2 25 2 x2 4(5 x2 ) x 2 . 2 2 x 5 x 5 Với x = 2 thì A = 5. Vậy max A = 5 với x = 2. * Tìm giá trị nhỏ nhất : Chú ý rằng tuy từ A2 25, ta cĩ 5 x 5, nhưng khơng xảy ra A2 = - 5. Do tập xác định của A, ta cĩ x2 5 - 5 x 5 . Do đĩ : 2x - 2 5 và 5 x2 0. Suy ra : A = 2x + 5 x2 - 25 . Min A = - 25 với x = - 5 b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacơpxki và Cauchy : A x 99. 99 1. 101 x2 x (99 1)(99 101 x2 ) x .10. 200 x2 x2 200 x2 10. 1000 2 x2 101 99 99 A 1000 x 10. Do đĩ : - 1000 < A < 1000. 1 101 x2 2 2 x 200 x min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10. a b ay bx 135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = x y a b . x y x y ay bx ay bx Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dơng : 2 . 2 ab . x y x y 2 Do đĩ A a b 2 ab a b . 34
  35. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS ay bx x y 2 a b x a ab min A a b với 1 x y y b ab x, y 0 Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : 2 a b a b 2 A (x y).1 (x y) x. y. a b . x y x y Từ đĩ tìm đợc giá trị nhỏ nhất của A. 136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 min A = 2 khi chẳng hạn y = z = 1 , x = 2 - 1. xy yz xy yz 137. Theo bất đẳng thức Cauchy : 2 . 2y . z x z x yz zx zx xy Tơng tự : 2z ; 2x . Suy ra 2A 2(x + y + z) = 2. x y y z 1 min A = 1 với x = y = z = . 3 x2 y2 z2 x y z 138. Theo bài tập 24 : . Theo bất đẳng thức x y y z z x 2 Cauchy : x y y z z x x+y+z xy yz zx 1 xy ; yz ; zx nên . 2 2 2 2 2 2 1 1 min A = x y z . 2 3 2 2 2 139. a) A a b a b a b 2a 2b 2 . a b 1 max A 2 a b a b 1 2 4 4 4 b) Ta cĩ : a b a b a b 2(a 2 b2 6ab) 4 4 a c 2(a 2 c2 6ac) ; a d 2(a 2 d2 6ad) 4 4 Tơng tự : b c 2(b2 c2 6bc) ; b d 2(b2 d2 6bd) 4 c d 2(c2 d2 6cd) Suy ra : B 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 6 35
  36. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a b c d 1 max B 6 a b c d a b c d 1 4 140. A 3x 3y 2. 3x.3y 2 3x y 2. 34 18 . min A = 18 với x = y = 2. 141. Khơng mất tính tổng quát, giả sử a + b c + d. Từ giả thiết suy ra : a b c d b c . 2 b c b c c c a b c d c d c d A c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b Đặt a + b = x ; c + d = y với x y > 0, ta cĩ : x y y y x 1 y x y 1 x y 1 1 A 1 2. . 2 2y y x 2y 2 x 2y x 2 2y x 2 2 1 min A 2 d 0 , x y 2 , b c a d ; chẳng hạn khi 2 a 2 1,b 2 1,c 2,d 0 142. a) (x 3)2 ( x 3)2 0 . Đáp số : x = 3. b) Bình phơng hai vế, đa về : (x2 + 8)(x2 8x + 8) = 0. Đáp số : x = 4 + 22 . c) Đáp số : x = 20. d) x 1 2 x 1 . Vế phải lớn hơn vế trái. Vơ nghiệm. e) Chuyển vế : x 2 x 1 1 x 1 . Bình phương hai vế. Đáp số : x = 1. 1 g) Bình phương hai vế. Đáp số : x 1 2 h) Đặt x 2 = y. Đa về dạng y 2 y 3 = 1. Chú ý đến bất đẳng thức : y 2 3 y y 2 3 y 1. Tìm đợc 2 y 3. Đáp số : 6 x 11. i) Chuyển vế :x 1 x 1 x , rồi bình phương hai vế. Đáp : x = 0 (chú ý 16 loại x = ) 25 16 k) Đáp số : . 25 l) Điều kiện : x 1 hoặc x = - 1. Bình phương hai vế rồi rút gọn : 2 2(x 1)2 (x 3)(x 1) x2 1. Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x 1) = (x + 1)2(x 1)2 (x + 1)2(x 25 1)(7x + 25) = 0; x loại. Nghiệm là : x = 1. 7 m) Vế trái lớn hơn x, vế phải khơng lớn hơn x. Phương trình vơ nghiệm. n) Điều kiện : x - 1. Bình phương hai vế, xuất hiện điều kiện x - 1. Nghiệm là : x = - 1. 36
  37. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS o) Do x 1 nên vế trái lớn hơn hoặc bằng 2, vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 2. Suy ra hai vế bằng 2, khi đĩ x = 1, thỏa mãn phương trình. p) Đặt 2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 z (1). Ta cĩ : y2 z2 1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2 . Suy ra y z = 1. Từ đĩ z x 2 (2). Từ (1) và (2) tính đợc x. Đáp số : x = 2 (chú ý loại x = - 1). q) Đặt 2x2 9x + 4 = a 0 ; 2x 1 b 0. Phương trình là : a 3 b a 15b . 1 Bình phương hai vế rồi rút gọn ta đợc : b = 0 hoặc b = a. Đáp số : ; 5 2 144. Ta cĩ : 1 2 2 2 k 1 k 2 k 1 k . k 2 k k k 1 k 1 k k 1 k Vậy : 1 1 1 1 2( 2 1) 2( 3 2) 2( 4 3) 2( n 1 n) = 2 3 n = 2( n 1 1) (đpcm). 150. Đa các biểu thức dới dấu căn về dạng các bình phương đúng. M = -2 151. Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử. Kết quả : A = n - 1. 1 152. Ta cĩ : ( a a 1) P ( 2 2n 1) . a a 1 P khơng phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng). 1 1 1 9 153. Ta hãy chứng minh : A (n 1) n n n 1 n n 1 10 1 1 1 1 1 154. 1 .n n . 2 3 4 n n 155. Ta cĩ a + 1 = 17 . Biến đổi đa thức trong ngoặc thành tổng các lũy thừa cơ số a + 1 A = [(a + 1)5 3(a + 1)4 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 14(a + 1)]2000 = (25917 - 22517 - 3417 - 1)2000 = 1. 1 1 156. Biến đổi : a a 1 ; a 2 a 3 . a a 1 a 2 a 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 157. x x x x x x x x 0 . 2 4 4 2 2 1 1 Dấu = khơng xảy ra vì khơng thể cĩ đồng thời : x và x . 2 2 168. Trớc hết ta chứng minh : a b 2(a 2 b2 ) (*) (a + b 0) Áp dụng (*) ta cĩ : S x 1 y 2 2(x 1 y 2) 2 37
  38. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 3 x x 1 y 2 2 maxS 2 x y 4 5 y 2 * Cĩ thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 180. Ta phải cĩ  A  3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : 1 B 2 3 x2 . Ta cĩ : A 0 3 x2 3 3 3 x2 0 2 3 2 3 x2 2. 1 min B 2 3 3 3 x2 x 0 . Khi đĩ max A 2 3 2 3 1 max B 2 3 x2 0 x 3 . Khi đĩ min A = 2 2x 1 x 181. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B . 1 x x Khi đĩ : 2x 1 x 2x 1 x (1) B 2 . 2 2. B 2 2 1 x x 1 x x 0 x 1 (2) Giải (1) : 2x2 = (1 x)2  x2  =  1 x . Do 0 < x < 1 nên x2 = 1 x 1 x = 2 1 . 2 1 Nh vậy min B = 22 x = 2 - 1. Bây giờ ta xét hiệu : 2 1 2x 1 x 2 2x 1 1 x A B 2 1 3 1 x x 1 x x 1 x x Do đĩ min A = 22 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1. 182. a) Điều kiện : x 1 , y 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng : a b ab . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : 2 a b 2(a 2 b2 ) A x 1 y 2 2(x 1 y 3) 2 x 1 y 2 x 1,5 max A 2 x y 4 y 2,5 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy. b) Điều kiện : x 1 , y 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : a b ab 2 38
  39. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Ta xem các biểu thức x 1 , y 2 là các tích : 2(y 2) x 1 1.(x 1) , y 2 2 x 1 1.(x 1) 1 x 1 1 Theo bất đẳng thức Cauchy : x x 2x 2 y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2 y y 2 2y 2 2 2 4 1 2 2 2 x 1 1 x 2 max B 2 4 4 y 2 2 y 4 1 1 183. a , b . Ta thấy 1997 1996 1998 1997 1997 1996 1998 1997 Nên a < b. 1 184. a) min A = 5 - 26 với x = 0. max A = với x = 6 . 5 b) min B = 0 với x = 1 5 . max B = 5 với x = 1 x2 (1 x2 ) 1 185. Xét 1 x 0 thì A 0. Xét 0 x 1 thì A x2 (1 x2 ) . 2 2 1 x2 1 x2 2 max A x 2 x 0 2 186. A =  x y  0, do đĩ A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacơpxki : 2 2 2 1 1 2 2 5 A (x y) 1.x .2y 1 (x 4y ) 2 4 4 2 5 2 5 2y 1 x x 5 5 5 max A = x 2 hoặc 2 2 2 5 5 x 4y 1 y y 10 10 187. a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết : 0 x 1 x3 x2 x3 y3 x2 y2 1 3 2 0 y 1 y y x3 x2 max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0 3 2 y y x y b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 x + y 2 1. 2 Do đĩ : 39
  40. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x3 y3 x y x3 y3 . Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki : 2 2 2 2 2 2 (x3 y3 )(x y) x3 y3 x y x3 . x y3 . y = (x2 + y2) = 1 1 2 min A x y 2 2 188. Đặt x a ; y b , ta cĩ a, b 0, a + b = 1. A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 1 3ab. Do ab 0 nên A 1. max A = 1 a = 0 hoặc b = 0 x = 0 hoặc x = 1, y = 0. (a b)2 1 1 1 1 1 Ta cĩ ab ab 1 3ab . min A x y 4 4 4 4 4 4 189. Điều kiện : 1 x 0 , 2 x 0 nên x 1. Ta cĩ : x 1 1 x (x 1)(x 2) x 2 3 x 2 1 x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3 1 x 3 x 8 . 190. Ta cĩ : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. Vậy phơng trình xác định với mọi giá trị của x. Đặt x2 2x 3 = y 0, phơng trình cĩ dạng : y 3 2 y2 - y2 - 12 = 0 (y - 32 )(y + 22 ) = 0 y 2 2 (loai vì y 0 Do đĩ x2 2x 3 = 32 x2 + 2x + 3 = 18 (x 3)(x + 5) = 0 x = 3 ; x = -5 . 191. Ta cĩ : 1 1 1 1 1 1 1 1 k. k k (k 1) k (k 1)k k k 1 k k 1 k k 1 k 1 1 1 1 1 = 1 . Do đĩ : 2 . k 1 k k 1 (k 1) k k k 1 Vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1 1 = 2 1 2 (đpcm). n 1 1 2 192. Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > 0 ; a 0). ab a b 193. Đặt x y = a , x + y = b (1) thì a, b Q . a) Nếu b = 0 thì x = y = 0, do đĩ x , y Q . 40
  41. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x y a a b) Nếu b 0 thì Q (2). x y x y b b 1 a 1 a Từ (1) và (2) : x b Q ; y b Q . 2 b 2 b 199. Nhận xét : x2 a 2 x x2 a 2 x a 2 . Do đĩ : 2 2 2 2 5a 2 5 x a x x a x 2 x x2 a 2 (1) 2 x x2 a 2 x2 a 2 x2 a 2 Do a 0 nên : x2 a 2 x x2 x x x 0 . Suy ra : x2 a 2 x 0 , x. Vì vậy : (1) x 0 2 2 2 2 2 2 2 x a 5 x a x 5x 3 x a x 0 2 2 2 25x 9x 9a x 0 3 3 x a . 0 x a 4 4 1 2a 207. c) Trước hết tính x theo a đợc x . Sau đĩ tính 1 x2 được 2 a(1 a) 1 . 2 a(1 a) Đáp số : B = 1. d) Ta cĩ a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tơng tự : b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp số : M = 0. 2x 4 208. Gọi vế trái là A > 0. Ta cĩ A2 . Suy ra điều phải chứng minh. x 1 1 3 209. Ta cĩ : a + b = - 1 , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = 1 + . 4 2 2 9 1 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - 1 - 4 9 8 3 7 4 4 7 7 3 3 4 4 3 3 7 17 1 239 Do đĩ : a + b = (a + b )(a + b ) a b (a + b) = . 1 . 4 8 64 64 210. a) a 2 ( 2 1)2 3 2 2 9 8 . a3 ( 2 1)3 2 2 6 3 2 1 5 2 7 50 49 . b) Theo khai triển Newton : (1 - 2 )n = A - B2 ; (1 + 2 )n = A + B2 với A, B N Suy ra : A2 2B2 = (A + B2 )(A - B2 ) = [(1 + 2 )(1 - 2 )]n = (- 1)n. Nếu n chẵn thì A2 2b2 = 1 (1). Nếu n lẻ thì A2 2B2 = - 1 (2). 41
  42. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Bây giờ ta xét an. Cĩ hai trường hợp : * Nếu n chẵn thì : an = (2 - 1)n = (1 - 2 )n = A - B2 = A2 2B2 . Điều kiện A2 2B2 = 1 đợc thỏa mãn do (1). * Nếu n lẻ thì : an = (2 - 1)n = - (1 - 2 )n = B2 - A = 2B2 A2 . Điều kiện 2B2 A2 = 1 đợc thỏa mãn do (2). 211. Thay a = 2 vào phương trình đã cho : 22 + 2a + b2 + c = 0 2 (b + 2) = -(2a + c). Do a, b, c hữu tỉ nên phải cĩ b + 2 = 0 do đĩ 2a + c = 0. Thay b = - 2 , c = - 2a vào phương trình đã cho : x3 + ax2 2x 2a = 0 x(x2 2) + a(x2 2) = 0 (x2 2)(x + a) = 0. Các nghiệm phương trình đã cho là: 2 và - a. 1 1 1 212. Đặt A . 2 3 n a) Chứng minh A 2 n 3 : Làm giảm mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k 1 k . k k k k 1 k Do đĩ A 2 2 3 3 4 n n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3. b) Chứng minh A 2 n 2 : Làm trội mỗi số hạng của A : 1 2 2 2 k k 1 k k k k k 1 Do đĩ : A 2 n n 1 3 2 2 1 2 n 2 . 213. Kí hiệu a n 6 6 6 6 cĩ n dấu căn. Ta cĩ : a1 6 3 ; a 2 6 a1 6 3 3 ; a3 6 a 2 6 3 3 a100 6 a99 6 3 3 Hiển nhiên a100 > 6 > 2. Nh vậy 2 < a100 < 3, do đĩ [ a100 ] = 2. 214. a) Cách 1 (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3 )2 = 7 + 43 . Ta cĩ 4 3 48 nên 6 < 43 < 7 13 < a2 < 14. Vậy [ a2 ] = 13. Cách 2 (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3 )2 thì x = 7 + 43 . Xét biểu thức y = (2 - 3 )2 thì y = 7 - 43 . Suy ra x + y = 14. Dễ thấy 0 < 2 - 3 < 1 nên 0 < (2- 3 )2 < 1, tức là 0 < y < 1. Do đĩ 13 < x < 14. Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13. b) Đáp số : [ a3 ] = 51. 215. Đặt x y = a ; x y b (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp : 42
  43. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS x y a a a) Nếu b 0 thì x y là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) x y b b 1 a 1 a Ta cĩ :x b là số hữu tỉ ; y b là số hữu tỉ. 2 b 2 b b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên x , y là số hữu tỉ. 216. Ta cĩ 1 n 1 1 1 1 1 1 n n (n 1) n n(n 1) n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 2 . Từ đĩ ta giải đợc bài tốn. n 1 n n 1 n n 1 217. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, khơng cĩ hai số nào bằng nhau. Khơng mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < . < a25. Suy ra : a1 1 , a2 2 , 1 1 1 1 1 1 a25 25. Thế thì : (1). Ta lại cĩ : a1 a 2 a 25 1 2 25 1 1 1 1 2 2 2 1 25 24 2 1 25 25 24 24 2 2 2 2 2 1 2 25 24 24 23 2 1 1 24 24 23 23 2 2 2 25 1 1 9 (2) 1 1 1 Từ (1) và (2) suy ra : 9 , trái với giả thiết. Vậy tồn tại a1 a 2 a 25 hai số bằng nhau trong 25 số a1 , a2 , , a25. 218. Điều kiện : 0 x 4. Đặt 2 x a 0 ; 2 x b 0 . a 2 b2 Ta cĩ : ab =4 x , a2 + b2 = 4. Phương trình là : 2 2 a 2 b a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2 (2 - b2 + a2 - ab) 2 (a2 + b2 2 + ab) ab(a b) = 2(a b) 2 (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a b = 2 (do ab + 2 0) Bình phơng : a2 + b2 2ab = 2 2ab = 2 ab = 1 4 x = 1. Tìm đ- ợc x = 3 . 219. Điều kiện : 0 < x 1 , a 0. Bình phương hai vế rồi thu gọn : a 1 1 x2 . a 1 2 a Với a 1, bình phương hai vế, cuối cùng đợc : x = . a 1 Điều kiện x 1 thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy). 43
  44. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 2 a Kết luận : Nghiệm là x = . Với a 1. a 1 220. Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0. Tương tự đối với y và z. Nếu xyz 0, hiển nhiên x, y, z > 0 2y 2y Từ hệ phương trình đã cho ta cĩ : x y . 1 y 2 y Tơng tự y z ; z x . Suy ra x = y = z. Xảy ra dấu = ở các bất đẳng thức trên với x = y = z = 1. Kết luận : Hai nghiệm (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1). 221. a) Đặt A = (8 + 37 )7. Để chứng minh bài tốn, chỉ cần tìm số B sao 1 cho 0 0 vì 8 > 37 . Ta cĩ 8 + 37 > 10 suy ra : 1 1 7 1 8 3 7 7 7 7 8 3 7 10 10 Theo khai triển Newton ta lại cĩ : A = (8 + 37 )7 = a + b7 với a, b N. B = (8 - 37 )7 = a - b7 . Suy ra A + B = 2a là số tự nhiên. 1 Do 0 B và A + B là số tự nhiên nên A cĩ bảy chữ số 9 liền sau dấu 107 phẩy. Chú ý : 10- 7 = 0,0000001. b) Giải tơng tự nh câu a. 222. Ta thấy với n là số chính phương thì n là số tự nhiên, nếu n khác số chính phơng thì n là số vơ tỉ, nên n khơng cĩ dạng ,5 . Do đĩ ứng với * mỗi số n N cĩ duy nhất một số nguyên an gần n nhất. Ta thấy rằng, với n bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, thì an bằng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta sẽ chứng minh rằng an lần lợt nhận các giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3 Nĩi cách khác ta sẽ chứng minh bất phương trình : 1 1 1 x 1 cĩ hai nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 2 x 2 cĩ bốn nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 3 x 3 cĩ sáu nghiệm tự nhiên. 2 2 1 1 Tổng quát : k x k cĩ 2k nghiệm tự nhiên. Thật vậy, bất đẳng 2 2 1 1 thức tơng đơng với : k2 k + < x < k2 + k + . Rõ ràng bất phơng trình 4 4 này cĩ 2k nghiệm tự nhiên là : k2 k + 1 ; k2 k + 2 ; ; k2 + k. Do đĩ : 44
  45. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.44 88 a a a 1 1 2 2 2 2 44 44 44 1 2 1980   2 số 4 số 88 số . 223. Giải tơng tự bài 24. a) 1 < an < 2. Vậy [ an ] = 1. b) 2 an 3. Vậy [ an ] = 2. c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, cịn 462 = 2116. a1 = 1996 = 44 < a1 < 45. Hãy chứng tỏ với n 2 thì 45 < an < 46. Nh vậy với n = 1 thì [ an ] = 44, với n 2 thì [ an ] = 45. 224. Cần tìm số tự nhiên B sao cho B A < B + 1. Làm giảm và làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp. Ta cĩ : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 4n + 1 < 16n2 8n 3 < 4n + 2 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + 16n2 8n 3 < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4 (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2 8n 3 < (2n + 2)2. Lấy căn bậc hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. Vậy [ A ] = 2n + 1. 225. Để chứng minh bài tốn, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1). x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2 (2). 200 Ta chọn y = 3 2 . Ta cĩ 0 < 3 2 < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) đợc chứng minh. Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Ta cĩ : 200 200 100 100 x y 3 2 3 2 5 2 6 5 2 6 . n n Xét biểu thức tổng quát Sn = a + b với a = 5 + 26 , b = 5 - 26 . n n Sn = (5 + 26 ) = (5 - 26 ) A và b cĩ tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X2 -10X + 1 = 0, tức là : a2 = 10a 1 (3) ; b2 = 10b 1 (4). Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn. Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), tức là Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2  - Sn+1 (mod 10) Do đĩ Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5) 0 0 Ta cĩ S0 = (5 + 26 ) + (5 - 26 ) = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 26 ) + (5 - 26 ) = 10. Từ cơng thức (5) ta cĩ S2 , S3 , , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 , , S100 cĩ tận cùng bằng 2, tức là tổng x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 250 125 226. Biến đổi 3 2 5 2 6 . Phần nguyên của nĩ cĩ chữ số tận cùng bằng 9. 45
  46. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS (Giải tương tự bài 36) 227. Ta cĩ : A 1 3 4 8 9 15 16 24 Theo cách chia nhĩm nh trên, nhĩm 1 cĩ 3 số, nhĩm 2 cĩ 5 số, nhĩm 3 cĩ 7 số, nhĩm 4 cĩ 9 số. Các số thuộc nhĩm 1 bằng 1, các số thuộc nhĩm 2 bằng 2, các số thuộc nhĩm 3 bằng 3, các số thuộc nhĩm 4 bằng 4. Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 228. a) Xét 0 x 3. Viết A dới dạng : A = 4. . .(3 x). Áp dụng bất 2 2 x x x x đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm , , (3 x) ta đợc : . .(3 x) 2 2 2 2 3 x x 3 x 2 2 1. 3 Do đĩ A 4 (1) b) Xét x > 3, khi đĩ A 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận : x 3 x max A 4 2 x 2 . x 0 229. a) Lập phơng hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc : x 1 7 x 3.3 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 x = - 1 ; x = 7 (thỏa) b) Điều kiện : x - 1 (1). Đặt 3 x 2 y ; x 1 z . Khi đĩ x 2 = y2 ; x + 1 = z2 nên z2 y3 = 3. Phương trình đã cho được đa về hệ : y z 3 (2) z2 y3 3 (3) z 0 (4) Rút z từ (2) : z = 3 y. Thay vào (3) : y3 y2 + 6y 6 = 0 (y 1)(y2 + 6) = 0 y = 1 Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đĩ x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3. 1 1 230. a) Cĩ, chẳng hạn : 2 . 2 2 b) Khơng. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dơng a, b mà a b 4 2 . Bình ph- ơng hai vế : a b 2 ab 2 2 ab 2 (a b) . 46
  47. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Bình phơng 2 vế : 4ab = 2 + (a + b)2 2(a + b)2 2(a + b) 2 = 2 + (a + b)2 4ab Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vơ tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn. m m3 231. a) Giả sử 3 5 là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy n n3 m chứng minh rằng cả m lẫn n đều chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số n tối giản. m b) Giả sử 3 2 3 4 là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra : n m3 3 m 6m 3 2 3 4 6 3.3 8. 6 m3 6n3 6mn2 (1) m3  2 m  2 n3 n n Thay m = 2k (k Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia hết cho 2 n3 chia hết cho 2 n chia hết cho 2. Nh vậy m và m n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản. n 232. Cách 1 : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3. Bất đẳng thức cần chứng minh a b c x3 y3 z3 3 abc tơng đơng với xyz hay x3 + y3 + z3 3xyz 0. 3 3 Ta cĩ hằng đẳng thức : 1 x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2]. (bài tập sbt) 2 Do a, b, c 0 nên x, y, z 0, do đĩ x3 + y3 + z3 3xyz 0. Nh vậy : a b c 3 abc 3 Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. Cách 2 : Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm. Ta cĩ : a b c d 1 a b c d 1 4 ab cd ab. cd abcd 4 2 2 2 2 4 a b c d a b c Trong bất đẳng thức abcd , đặt d ta đợc : 4 3 4 a b c a b c 4 3 a b c a b c a b c abc. abc. . 4 3 3 3 a b c Chia hai vế cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 3 3 a b c a b c 3 0, bài tốn được chứng minh) : abc abc . 3 3 47
  48. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS a b c Xảy ra đẳng thức : a = b = c = a = b = c = 1 3 b c d a 1 233. Từ giả thiết suy ra : 1 . Áp dụng bất b 1 c 1 d 1 a 1 a 1 đẳng thức Cauchy cho 3 số dương : 1 b c d bcd 3.3 . Tơng tự : a 1 b 1 c 1 d 1 (b 1)(c 1)(d 1) 1 acd 3.3 b 1 (a 1)(c 1)(d 1) 1 abd 3.3 c 1 (a 1)(b 1)(d 1) 1 abc 3.3 d 1 (a 1)(b 1)(c 1) 1 Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1 81abcd abcd . 81 x2 y2 z2 234. Gọi A . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : y2 z2 x2 2 x2 y2 z2 x y z 3A 2 2 2 (1 1 1) (1) y z x y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số khơng âm : x y z x y z 3.3 . . 3 (2) y z x y z x 2 x y z x y z x y z Nhân từng vế (1) với (2) : 3A 3 A y z x y z x y z x 235. Đặt x 3 3 3 3 ; y 3 3 3 3 thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hiệu b3 a3 , ta đ- ợc : b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 bởi 4(x3 + b3), ta cĩ : b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > 0 (vì x > y > 0). Vậy b3 > a3 , do đĩ b > a. 236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n 2, theo khai triển Newton, ta cĩ : n 1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1) 2.1 1 1 1 n. . 2 . 3 . n n n 2! n 3! n n! n 1 1 1 < 1 1 2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 Dễ dàng chứng minh : 2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n 48
  49. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 Do đĩ (1 )n 3 n b) Với n = 2, ta chứng minh 3 3 2 (1). Thật vậy, (1) 6 6 3 3 2 32 > 22. Với n 3, ta chứng minh n n n 1 n 1 (2). Thật vậy : n n(n 1) n(n 1) (n 1)n 1 n 1 n n n 1 (2) n 1 n (n 1) n n n 1 n n n (3) n 1 Theo câu a ta cĩ 1 3 , mà 3 n nên (3) đợc chứng minh. n Do đĩ (2) đợc chứng minh. 237. Cách 1 : A2 2 x2 1 x4 x2 1 4 . min A = 2 với x = 0. Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A 2 4 (x2 x 1)(x2 x 1) 2 4 x4 x2 1 2 min A = 2 với x = 0. 238. Với x < 2 thì A 0 (1). Với 2 x 4, xét - A = x2(x 2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : 3 x x x 2 3 A x x 2 2 2x 2 . .(x 2) 8 4 2 2 3 3 - A 32 A - 32. min A = - 32 với x = 4. 239. Điều kiện : x2 9. 2 2 3 x x 2 2 2 9 x x x A2 x4 (9 x2 ) 4. . (9 x2 ) 4 2 2 4.27 2 2 3 max A = 6 3 với x = 6 . 240. a) Tìm giá trị lớn nhất : Cách 1 : Với 0 x < 6 thì A = x(x2 6) 0. Với x 6 . Ta cĩ 6 x 3 6 x2 9 0 x2 6 3. Suy ra x(x2 6) 9. max A = 9 với x = 3. Cách 2 : A = x(x2 9) + 3x. Ta cĩ x 0, x2 9 0, 3x 9, nên A 9. max A = 9 với x = 3 b) Tìm giá trị nhỏ nhất : Cách 1 : A = x3 6x = x3 + (2 2 )3 6x (22 )3 = = (x + 22 )(x2 - 22 x + 8) 6x - 16 2 49
  50. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS = (x + 22 )(x2 - 22 x + 2) + (x + 22 ).6 6x - 16 2 = (x + 22 )(x - 2 )2 - 42 - 42 . min A = - 42 với x = 2 . Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số khơng âm : x3 + 22 + 22 3.3 x3.2 2.2 2 = 6x. Suy ra x3 6x - 42 . min A = - 42 với x = 2 . 241. Gọi x là cạnh của hình vuơng nhỏ, V là thể tích của hình hộp. x x Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 2x)2. x 3-2x x Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng : 3-2x 3 x x 4x 3 2x 3 2x x x 4V = 4x(3 2x)(3 2x) = 8 3 1 max V = 2 4x = 3 2x x = 2 1 Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuơng nhỏ bằng dm. 2 242. a) Đáp số : 24 ; - 11. b) Đặt 3 2 x a ; x 1 b . Đáp số : 1 ; 2 ; 10. 5 c) Lập phơng hai vế. Đáp số : 0 ; 2 d) Đặt 3 2x 1 = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 1 5 x = y. Đáp số : 1 ; . 2 1 e) Rút gọn vế trái đợc : x x2 4 . Đáp số : x = 4. 2 g) Đặt 3 7 x a ; 3 x 5 b . Ta cĩ : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, do đĩ vế a3 b3 phải của phương trình đã cho là . Phương trình đã cho trở thành : 2 a b a3 b3 = . a b 2 a b a3 b3 Do a3 + b3 = 2 nên (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) a b a3 b3 Do a + b 0 nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2). Từ a = b ta đợc x = 6. Từ ab = 0 ta đợc x = 7 ; x = 5. h) Đặt 3 x 1 a ; 3 x 1 b . Ta cĩ : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 b3 = 2 (2). Từ (1) và (2) : a b = 2. Thay b = a 2 vào (1) ta đợc a = 1. Đáp số : x = 0. i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 0, chia hai vế cho 3 x 2 . x 1 x 3 Đặt 3 a ; b . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vơ x 2 x 2 nghiệm. 50
  51. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS Cách 2 : Đặt 3 x 2 = y. Chuyển vế : 3 y3 1 3 y3 1 y . Lập phương hai vế ta được : y3 1 + y3 + 1 + 3.3 y6 1 .(- y) = - y3 y3 = y. 3 y6 1 . Với y = 0, cĩ nghiệm x = - 2. Với y 0, cĩ y2 = 3 y6 1 . Lập phơng : y6 = y6 1. Vơ nghiệm. Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x - 2, phơng trình vơ nghiệm, xem bảng dưới đây : x 3 x 1 3 x 2 3 x 3 Vế trái x - x > - 1 > 0 > 1 > 0 k) Đặt 1 + x = a , 1 x = b. Ta cĩ : a + b = 2 (1), 4 ab 4 a 4 b = 3 (2) m n Theo bất đẳng thức Cauchy mn , ta cĩ : 2 a b 1 a 1 b 3 a. b 1. a 1. b 2 2 2 1 a 1 b a b a b 1 1 2 3 . 2 2 2 Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đĩ x = 0. l) Đặt 4 a x m 0 ; 4 b x n 0 thì m4 + n4 = a + b 2x. Phương trình đã cho trở thành : m + n = 4 m4 n4 . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0. Suy ra m = 0 hoặc n = 0, cịn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0. Do đĩ x = a , x = b. Ta phải cĩ x a , x b để các căn thức cĩ nghĩa. Giả sử a b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a. 243. Điều kiện để biểu thức cĩ nghĩa : a2 + b2 0 (a và b khơng đồng thời bằng 0). x4 x2y2 y4 x4 2x2y2 y4 2x2y2 Đặt 3 a x ; 3 b y , ta cĩ : A = x2 xy y2 x2 xy y2 2 x2 y2 (xy)2 x2 y2 xy x2 y2 xy x2 y2 xy . x2 xy y2 x2 y2 xy Vậy : A 3 a 2 3 b2 3 ab (với a2 + b2 0). 244. Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta cĩ thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1. x2 x 1 2 4 (x2 x 1)(x2 x 1) x2 x 1 x2 x 1 = 2 4 x4 x2 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi : x 0 . 4 2 x x 1 1 Ta cĩ A 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 x = 0. 245. Vì 1 + 3 là nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 51
  52. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 246. Ta cĩ :3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. Sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) 3 = 0. Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42 Z và q = 2a + b + 18 Z. Ta phải tìm các số nguyên a, b sao cho p + q3 = 0. p Nếu q 0 thì 3 = - , vơ lí. Do đĩ q = 0 và từ p + q3 = 0 ta suy ra p = 0. q Vậy 1 + 3 là một nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và chỉ khi : 4a b 42 0 . Suy ra a = - 12 ; b = 6. 2a b 18 0 p p p3 246. Giả sử 3 3 là số hữu tỉ ( là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = . Hãy q q q3 p chứng minh cả p và q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối q giản. 2 247. a) Ta cĩ : 3 1 2 6 1 2 6 1 2 2 2 6 3 2 2 . 2 Do đĩ : 3 1 2.6 3 2 2 6 3 2 2.6 3 2 2 6 32 2 2 1 . b) 6 9 4 5.3 2 5 1 . 248. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta cĩ : a3 20 14 2 20 14 2 33 (20 14 2)(20 14 2).a a3 40 33 202 (14 2)2 .a a3 6a 40 = 0 (a 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 a = 4. 249. Giải tơng tự bài 21. 250. A = 2 + 3 2 . 251. Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). Từ x = 3 3 3 9 . Suy ra x3 = 12 + 3.3x x3 9x 12 = 0. 252. Sử dụng hằng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B). Tính x3. Kết quả M = 0 253. a) x1 = - 2 ; x2 = 25. u v3 6 b) Đặt u = 3 x - 9 , v = x - 3 , ta được : u = v = - 2 x = 1. 3 v u 6 c) Đặt : 4 x2 32 y 0 . Kết quả x = 7. 254. Đa biểu thức về dạng : A x3 1 1 x3 1 1 . Áp dụng | A | + | B | = | A + B | min A = 2 -1 x 0. 255. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần. 256. Đặt 3 x y thì 3 x2 y2 P 2 3 x 2 52
  53. TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI THCS 258. Ta cĩ : P x a 2 x b 2 = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a c ; b + c > a ; c + a > b. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương (a b c) (b c a) (a b c)(b c a) b 2 (b c a) (c a b) (b c a)(c a b) c 2 (c a b) (a b c) (c a b)(a b c) a 2 Các vế của 3 bất dẳng thức trên đều dương. Nhân 3 bất đẳng thức này theo từng vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b c = b + c a = c + a b a = b = c (tam giác đều). 260. x y (x y)2 (x y)2 4xy 4 4 2 2 . 261. 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2. Ta cĩ : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - (2 + 1 + 2 - 1) = - 22 . Do đĩ : 2A = (2 + 1)2 + (2 - 1)2 + (-22 )2 = 14. Suy ra A = 7. 2 2 2 262. Đa pt về dạng : x 2 1 y 3 2 z 5 3 0 . 263. Nếu 1 x 2 thì y = 2. 264. Đặt : x 1 y 0. M x 1 x 1 2 3 x 1 . 265. Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y. Với mọi x, y ta cĩ : x2 + y2 2xy. Nhng x2 + y2 = (82 )2 = 128, nên xy 64. Do đĩ : max xy = 64 x = y = 8. 266. Với mọi a, b ta luơn cĩ : a2 + b2 2ab. Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 2ab 2c2 a2 +b2 + 2ab 2c2 (a + b)2 a b c2 a + b c . 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 2 2 267. Biến đổi ta được : a 'b ab' a 'c ac' b'c bc' 0 268. 2 x - 1 ; 1 x 2. Hết 53