Toán 8 - Chuyên đề 4: Xác định đa thức

Nội dung text: Toán 8 - Chuyên đề 4: Xác định đa thức

1. CHUYÊN ĐỀ 4. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC A. Dạng 1: Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia 1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a f(a) = 0 b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1 Vd: Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – 3 ? Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C 2. Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì f(x) = g(x). Q(x) + ax + b Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư 3x + 1 Cách 2: Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1) với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1
2. Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 Giải 41 41 40 4 10 4 2 a) x = x – x + x = x(x – 1) + x = x[(x ) – 1] + x chia cho x – 1 dư x nên chia cho x + 1 dư x 27 9 3 27 9 3 b) x + x + x + x = (x – x) + (x – x) + (x – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dư – 2x + 7 B. Sơ đồ HORNƠ 1. Sơ đồ: Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a (a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ 3 2 2 Nếu đa thức bị chia là a0x + a1x + a2x + a3, đa thức chia là x – a ta được thương là b0x + b1x + b2, dư r thì ta có: a 0 a1 a2 a3 b = a b = ab + a a 0 0 1 0 1 b2 = ab1+ a2 r = ab2 + a3 Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2 Ta có sơ đồ 1 - 5 8 - 4 2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0 Vậy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết
3. 2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a 1. Ví dụ 1: Tính giá trị của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010 Ta có sơ đồ: 1 3 0 -4 a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0 2010.4046130 – 4 = 4046130 = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 C. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác I. Phương pháp: 1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia 2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia 3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x)  g(x) f(x) g(x)  g(x) 4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia II. Ví dụ 1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + 1 Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n N Ta có: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
4. Vì x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1 Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n N 3. Ví dụ 3: CMR: f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1 Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 4. Cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh rằng a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải: a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1 x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho B = x2 – x + 1 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + 1 Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
5. 8 7 7 6 = 8(x – 1)(x + x + + 1) – 9(x – 1)(x + x + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - 1 2 Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 là nghiệm của C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 là nghiệm của C(x) 1 1 1 1 1 C(- ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - là nghiệm của C(x) 2 2 2 2 2 Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia đpcm Ví dụ 6: Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên Giải: Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1) Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn. Vậy f(x) không có nghiệm nguyên Ví dụ 7: Xác định các số hữu tỉ p và q để đa thức x3+px+q chia hết cho đa thức: x2-2x-3 Giải Cách 1: Đặt tính chia: x3 +px +q x2-2x-3 x3-2x2 -3x x+2 2x2+(p+3)x+q 2x2 -4x -6 (p+7)x+q+6 Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi gi trị của x nn: p 7 0 p 7 Vậy với p=-7, q=-6 thì x3+px+q chia hết cho đa thức x2-2x-3 q 6 0 q 6
6. Cách 2: Phương pháp hệ số bất định: Đa thức bị chia bậc ba, đa thức chia bậc hai nên thương bậc nhất cĩ dạng ax+b. Hệ số của hạng tử cĩ bậc cao nhất của x trong đa thức bị chia là 1, trong đa thức chia là 1 nên ta có a=1 và thương là x+b. Ta có: x3+px+q=(x2-2x-3)(ax+b) Hay x3+0x2+px+q=x3+(b-2)x2+(-2b-3)x+(-3b) Hai đa thức trn bằng nhau nên: b 2 0 b 2 2b 3 p p 7 Vậy với p=-7, q=-6 thì x3+px+q chia hết cho x2-2x-3 thương là x+2 3b q q 6 Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Ta có: x2 - 2x - 3=(x-3)(x+1) Gọi thương khi chia x3+px+q cho x2-2x-3 l Q(x). Dư là 0 nên ta có: x3+px+q=(x2-2x-3)Q(x) Hay x3+px+q=(x-3)(x+1)Q(x) Vì đẳng thức đúng với mọi gi trị của x nn lần lượt cho x=3, x=-1 ta được: 27 3p q 0 3p q 27 p 7 1 p q 0 p q 1 q 6 Ví dụ 8: Tìm cc gi trị nguyn của n để gi trị của biểu thức: 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1 Giải Cách 1: Đặt php chia: 2n3 - 7n2 + 13n + 2 2n-1 2n3 - n2 n2 -3n+5 -6n2 + 13n + 2 -6n2 + 3n 10n + 2 10n - 5 7 Để gi trị của biểu thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1 thì 7 2n-1 Ư(7)= 1; 7
7. + Với 2n-1=1, ta có n=1 + Với 2n-1=-1, ta có n=0 + Với 2n-1=7, ta có n=4 + Với 2n-1=-7, ta có n=-3 Vậy với n 3;0;1;4 thì gi trị của biểu thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho gi trị của biểu thức 2n-1. Cách 2: Dùng phương pháp tách đa thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 thnh cc hạng tử chứa 2n-1: 2n3 - 7n2 + 13n + 2 =2n3-n2-6n2+3n+10n-5+7 =n2(2n-1)-3n(2n-1)+5(2n-1)+7 Để 2n3 - 7n2 + 13n + 2  2n-1 thì: 7 2n-1 Ư(7)= 1; 7 + Với 2n-1=1, ta có n=1 + Với 2n-1=-1, ta có n=0 + Với 2n-1=7, ta có n=4 + Với 2n-1=-7, ta có n=-3 Vậy với n 3;0;1;4 thì giá trị của b.thức 2n3 - 7n2 + 13n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n-1. Ví dụ 9: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì dư 2, f(x) chia cho x-3 thì dư 7, còn f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư. Giải Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x-2, x-3 lần lượt l P(x), Q(x) ta cĩ: f(x) = (x-2).P(x) + 5 (1) f(x) = (x-3).Q(x) + 7 (2) Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - 5x + 6 là g(x) và dư là đa thức bậc nhất ax+b, ta có: f(x) =(x-2)(x-3)g(x) +ax+b (3) Các đẳng thức (1), (2), (3) đúng với mọi x nn: - Với x=2 thì từ (1) ta cĩ: f(2)=5, cịn từ (3) ta cĩ: f(2)=2a+b, suy ra: 2a+b=5 (*)
8. - Với x=3 thì từ (2) ta có: f(3)=7, cịn từ (3) ta cĩ: f(3)=3a+b, suy ra: 3a+b=7 ( ) Từ (*) v ( ) ta có: 2a b 5 a 2 3a b 7 b 1 Vậy đa thức cần tìm l: F(x)=(x2-5x+6)(1-x2)+2x = -x4+5x3-5x2-3x+7 Bài tập về nhà: Bài 1: Tìm số dư khi a) x43 chia cho x2 + 1 b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1 c) f(x)= x50+x49+ +x2+x+1cho x2 - 1 d) f(x)= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2013 cho g(x)=x2+8x+12 Bài 2: Tính giá trị của đa thức x4 + 3x3 – 8 tại x = 2009. Bài 3: Chứng minh rằng a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 f) f(x)=(x2-3x+1)31-(x2-4x+5)30+2 chia hết cho x-2 Bài 4: Chứng minh rằng: f(x) =x99+x88+x77+ +x11+1 g(x)=x9+x8+x7+ +x+1 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: a) (9x2n-1y6 - 5x4y5 ) : 5x3yn b) (5xn-2y7 - 8xn+2y8) : 5x3yn+1 Bài 6: Tìm cc số a, b để :
9. a) 2x2-3x2+ax+b chia hết cho x2+x+2 b) 2x4+ax2+b chia hết cho x2-x+3 c) ax3+bx+12 chia hết cho (x-1)(x+2) d) x4+2x3-3x2+ax+b chia cho x2-x+2 dư -4x-1 Bài 7: Tìm các số a, b để : a) x3+ax+b chia cho (x-2)thì dư 12, chia cho (x+1) thì dư -6 b) x3+ax2+bx+c chia cho (x+2); (x+1); (x-1) đều dư 8. Bài 8: Tìm các số nguyên n để: a) Gi trị của biểu thức 10n2+n-10 chia hết cho gi trị của biểu thức n-1; b) Gi trị của biểu thức n3 - 3n2 - 3n - 1 chia hết cho gi trị của biểu thức n2+n+1. c) 2n3 + n2 + 7n + 1 chia hết cho 2n - 1. d) n3 - n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1 Bài 9: Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư. Bài 10: Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, cịn f(x) chia cho x2+x-12 thì được thương x2+3 v cịn dư. Bài 11. Xác định đa thức f(x) thỏa mn cả ba điều kiện sau: a) Khi chia cho x - 1 dư 4. b) Khi chia cho x + 2 dư 1. c) Khi chia cho (x - 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 v cịn dư. Bài 12: Tìm đa thức bậc ba f(x) biết rằng khi chia f(x) cho x-1, cho x-2, cho x-3 đều dư 6 và f(-1) = -18. Bài 13: Đa thức 4x3 + ax + b chia hết cho các đa thưcs x - 2 và x + 1. Tính 2a - 3b. Bài 14: Cho đa thức f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d. Biết f(1)=10, f(2) = 20, f(3)=30. Tính f(12) + f(-8) Bài 15: Cho đa thức f(x) . Hy tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – 2x – 3 , biết rằng f(x) chia cho x + 1 thì dư – 45 và chia cho x - 3 thì dư – 165 Bài 16: Tìm đa thức f(x) biết : 1. f(x) chia cho x – 3 thì dư 7 , chia cho x – 2 thì dư 5 , chia cho ( x – 2)( x – 3) thì cĩ thương là 3x và cịn dư 2. f(x) chia cho x – 3 thì dư 2 , chia cho x + 4 thì dư 9 , Chia cho x2 + x – 12 thì được thương là x2 + 3 v cịn dư 3. f(x) có bậc 3 v thỏa mn : f( - 1) = 0 và chia cho x – 1 , x + 2 , x + 3 đều dư 8 4. f(x) có bậc 3 v thỏa mn : f( - 1) = - 18 v chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư 6 5. f(x) cĩ bậc 3 v thỏa mn : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) = 1 6. f(x) cĩ bậc 2 v thỏa mn : f(0) = 19 ; f(1) = 5 ; f(2) = 1995 7. f(x) cĩ bậc 4 v thỏa mn : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47
10. Bài 17: Tìm một đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995. Bài 18: Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1. Bài 19: Cho đa thức bậc bốn P(x) thỏa mn: P(-1) = 0 v P(x) - P(x - 1) = x(x + 1)(2x + 1) a) Xác định P(x). b) Suy ra gi trị của tổng: S = 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n + 1)(2n + 1) Bài 20: Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c 0). Cho biết 2a + 3b + 6c = 0. a) Tính a, b, c theo P(0), P(1 ), P(1). 2 b) Chứng minh rằng P(0), P(1 ), P(1) không thể cùng â m hoặc cùng dương. 2 Bài 21: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m, n thì: x6m+4+x6n+2+1 chia hết cho x4+x2+1 Bài 22: Xác định số k để đa thức: A= x3+y3+z3+kxyz chia hết cho đa thức x+y+z Bài 23: Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) l các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên. Bài 24: Cho f(x) là đa thức có các hệ số nguyên, a v b l các số nguyên. a) Chứng minh rằng f(a) - f(b) chia hết cho a - b; b) Có thể xảy ra đồng thời f(5) = 7 và f(19) = 15 được không? Bài 25: Chứng minh rằng không tồn tại một đa thức với hệ số nguyên P(x) thỏa mãn: P(1) = 19 v P(19) = 85.