›
›
›

Tài liệu Tự học môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số. Cấp số cộng cấp số nhân

doc 62 trang Hùng Thuận 23/05/2022 3940
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Tự học môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số. Cấp số cộng cấp số nhân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_tu_hoc_mon_toan_lop_11_chu_de_3_day_so_cap_so_cong.doc
  • docxTOAN 11 - 1718- CD3 - DS-CSC-CSN-BIA.docx

Nội dung text: Tài liệu Tự học môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số. Cấp số cộng cấp số nhân

  1. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập)1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Chủ đề 3 DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ¥ là đúng với mọi n mà khơng thể thử trực tiếp được, ta cĩ thể dùng phương pháp quy nạp tốn học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 . - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nĩ cũng đúng với n = k + 1. ❖ Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên:  Các số tự nhiên liên tiếp: n;n 1;n 2;  Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n;2n 2;2n 4;  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n 1;2n 3;2n 5; * Tính chất chia hết:  Các số chẵn thì chia hết cho 2.  Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.  Các số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.  Các số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.  Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luơn chia hết cho 2.  Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luơn chia hết cho 2, 3 và 6.  Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luơn chia hết cho 2,3,4,6,8 . * Tính chất lũy thừa:  am.an am n  am : an am–n  ab n an .bn n n m n m m.n a a n m n  a a  n  a a b b *Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử: 2 Nếu phương trình ax bx c 0 cĩ 2 nghiện phân biệt x1, x2 thì: 2 ax bx c a x – x1 x – x2 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước trong phần tĩm tắt lý thuyết File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  2. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 2 B. BÀI TẬP MẪU 2 2n n 1 2n 1 Ví dụ 1. Chứng minh rằng 22 42 82 2n , với. n ¥ . 3 n 3n 1 Ví dụ 2. Chứng minh rằng 2 5 8 3n 1 , với n ¥ . 2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  3. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập)3 C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Chứng minh rằng: Với mọi n ¥ : n n 1 n2 n 1 2 a) 1 2 3 n b) 13 23 33 n3 2 4 c) 2 4 6 2n n n 1 d) 1 3 5 2n 1 n2 n 3n 1 1 1 1 1 2n 3 e) 1 4 7 3n 2 f) 2 3 32 33 3n 4.3n n 1 1 1 1 2 1 n 1 n 1 g) n n h) 3 9 27 3 3 3 2 4 8 2 2 2 n 3n 1 i) 1– 2 3 – 4  – 2n 2n 1 n 1. j) 2 5 8 3n 1 2 n n 1 2n 1 1 1 1 n k) 12 22 32 n2 l) 6 1.2 2.3 n n 1 n 1 2 2 2n n 1 2n 1 n) 1.4 2.7 n 3n 1 n n 1 p) 22 42 62 2n 3 2 2 n 4n 1 n n 1 n n 1 n 2 q) 12 32 52 2n 1 r)1 3 6 10 3 2 6 s) 1.2 2.5 3.8  n 3n –1 n2 n 1 1 1 1 n n 3 m) 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 4 n 1 n 2 n n 1 n 2 o) 1.2 2.3 3.4 n n 1 với n 2 . 3 n n 3 Bài 2. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là . 2 1 1 1 1 Bài 3. Cho tổng S , với n ¥ . n 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. 1 1 1 1 Bài 4. Cho tổng S , với n ¥ . n 1.2 2.3 3.5 n n 1 a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. 1 1 1 1 Bài 5. Cho S , với n ¥ . n 1.5 5.9 9.13 4n 1 4n 1 a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 . b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  4. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 4 Dạng 2. Chứng minh các bài tốn chia hết bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tĩm tắt lý thuyết • Nắm rõ kiến thức về chi hết B. BÀI TẬP MẪU n Ví dụ 3. Chứng minh rằng: un 4 15n 1 chia hết cho 9 , với n ¥ . Ví dụ 4. Chứng minh rằng: 13n 1 chia hết cho 12. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6. Chứng minh rằng: Với mọi n ¥ : a) n5 – n5 b) n7 – n7 c) 13n –16 d) n3 2n3 e) 3n 2n –14 f) 32n –18 g) 32n 1 2n 1 7 h) 4.32n 2 32n – 3664 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  5. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập)5 Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài tốn bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tĩm tắt lý thuyết • Lưu ý: Nguyên lý quy nạp tốn học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n : - Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n0 . - Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng khi n k n0 , từ đĩ là chứng minh được rằng bất đẳng thức đúng khi n k 1. Thế thì bất đẳng thúc đúng cho mọi số tự nhiên n n0 . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi n ¥ * , ta cĩ 1 1 a) 2n 2n 1 với n 3 . b) 1 2 n . 2 n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  6. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 6 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Chứng minh rằng: Với mọi n ¥ : a) 2n 2n 1 với n 3 b) 2n n2 với n 5 c) nn n 1 n–1 d) n! 2n–1 với n 3 e) 3n n2 4n 5 với n 3 f) 2n 2 2n 5 g) sin2n cos2n 1 h) 3n–1 n n 2 với n 4 i) 2n–3 3n –1 với n 8 j) 3n 3n 1 với n 2 . Bài 8. Chứng minh rằng với mọi n ¥ * , ta cĩ 1 1 1 1 3 2n 1 1 a) 1 2 với n 2 . b) .  . 22 n2 n 2 4 2n 2n 1 n n n a b a b Bài 9. CMR: , trong đĩ a,b 0 và n ¥ . 2 2 Bài 10. CMR nếu ABC vuơng tại A , cĩ số đo các cạnh là a , b , c thì với mọi số tự nhiên n 2 , ta cĩ bất đẳng thức: bn cn an . Bài 11. Với giá trị nào của số nguyên dương n , ta cĩ: a) 2n 1 n2 3n b) 2n 2n 1 c) 2n n2 4n 5 d) 3n 2n 7n ? Bài 12. Cho n số thực a1, a2 , a3 ,, an thỏa –1 ai 0 với i 1,n . Bài 13. Chứng minh rằng: n ¥ ta cĩ: 1 a1 1 a2  1 an 1 a1 a2  an . Bài 14. CMR với các số thực a1, a2 , a3 ,, an , n ¥ , ta cĩ: a1 a2  an a1 a2 an . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  7. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập)7 Vấn đề 2. DÃY SỐ  Định nghĩa: Định nghĩa 1. Một hàm số u được xác định trên tập ¥ các số nguyên dương được gọi là một dãy số vơ hạn (hay cịn gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: un hay ở dạng khai triển u1, u2 ,, un ,  Cách cho một dãy số: Cách 1. Dãy số xác định bởi một cơng thức cho số hạng tổng quát un . Cách 2. Dãy số xác định bởi một cơng thức truy hồi (hay cịn nĩi cho dãy số bằng quy nạp), tức là: • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu). • Cho cơng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nĩ. Cách 3. Dãy số xác định bởi một mệnh đề mơ tả các số hạng liên tiếp của nĩ.  Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa 2. a. Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu n ¥ , un un 1 . b. Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu n ¥ , un un 1 . Vậy, ta thấy: ➢ Với dãy un tăng, ta cĩ: u1 u2 u3  un  ➢ Với dãy un giảm, ta cĩ: u1 u2 u3  un   Dãy số bị chặn: Định nghĩa 3. a. Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu M ¡ : un M , n ¥ . b. Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu m ¡ : un m , n ¥ . c. Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nĩ vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là: m, M ¡ : m un M , n ¥ . Dạng 1. Mở đầu về dãy số A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với giả thiết cho dãy số un dưới dạng cơng thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và câu hỏi thường gặp là: a. Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk . Câu hỏi này được thực hiện bằng cách thế. b. Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số. Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn n :un a . B. BÀI TẬP MẪU File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  8. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 8 1 n 1 Ví dụ 6. Cho dãy số u , với u . n n n a) Tìm u9 , u12 , u2n , u2n 1 . b) Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ? Ví dụ 7. Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy sau: 2 a) Dãy số um xác định bởi: u1 0 và un 2 với n 2 . un 1 1 b) Dãy số un xác định bởi: u1 1, u2 2 và un un 1 2un 2 với n 3 . c) Dãy số vn xác định bởi: u1 1 và un 1 un 2 với n ¥ C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15. Viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số un , biết n n 2n 1 1 n a) un n b) un n c) un 1 d) un 2 1 2 1 n n2 1 2 2n 3 n 2n n e) u f) u sin2 cos g) u 1 4n n n n 4 3 n Bài 16. Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số un cho bởi n 2n2 1 n 1 n 1 ! a) u b) u c) u n cos2 n d) u . n n2 1 n 2n 1 n n 2n Bài 17. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số un cho bởi u 0 u1 2 1 u1 15, u2 9 u1 1, u2 2 a) 1 . b) 2 . c) . d) . u u u u u u 2u un 1 un 1 n 1 2 n 2 n n 1 n 2 n 1 n 3 un 1 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  9. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập)9 Dạng 2. Xác định cơng thức của dãy số un A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un. Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước: Bước 1. Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đĩ dự đốn cơng thức cho un . Bước 2. Chứng minh cơng thức dự đốn bằng pp quy nạp. B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 8. Cho dãy số un , với u1 1 và un 1 un 3 với n 2 . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm cơng thức tổng quát của dãy. Ví dụ 9. Cho dãy số un xác định bởi: u1 2017 và un 1 un 2018 với n ¥ . Tìm un . 1 Ví dụ 10. [NC] Cho dãy số u xác định bởi: u n ¥ và dãy số v xác định bởi: n n n n 1 n v1 u1 , vn 1 vn un 1 . Xác định cơng thức của vn theo n . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  10. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 10 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 18. Cho dãy số un , biết: u1 1 và un 2un 1 3 với n 2 . n 1 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un 2 3. 2 Bài 19. Cho dãy số un , biết: u1 3 và un 1 1 un với n 1. a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un và chứng minh cơng thức đĩ bằng quy nạp. Bài 20. Cho dãy số un xác định bởi u1 3 và un 1 un 5 với mọi n 1. a) Hãy tính u2 , u4 và u6 . b) Chứng minh rằng un 5n 2 với mọi n 1. 2 Bài 21. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 2 với mọi n 1. un 1 1 2n 1 u1 2 7 Bài 22. a) Cho dãy số un cĩ 3 với n 1. Chứng minh rằng un với n 1. 3 un 1 4un 7 u1 2 n b) Cho dãy số un cĩ với n 1. Chứng minh rằng un 3 n với n 1. un 1 3un 2n 1 Bài 23. Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số un , dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un và chứng minh cơng thức đĩ bằng qui nạp 5 u 3 u1 u1 1 1 4 a) b) c) u 2u 3 u 1 u2 u 1 n 1 n n 1 n u n n 1 2 Bài 24. Cho dãy số sn với sn sin 4n 1 6 a) Chứng minh rằng sn sn 3 với mọi n 1. b) Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của sn . 2x 1 Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ cho đồ thị hàm số y 2x2 1 a) Với mỗi số nguyên dương n , gọi An là giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng x n . b) Xét dãy số un với un là tung độ của điểm An . Hãy tìm cơng thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đĩ. n 1 Bài 26. Cho dãy số un với un 5.4 3 . a) Chứng minh rằng un 1 4un 9 với mọi n 1 b) Dựa vào kết quả của phần a) hãy cho dãy số un xác định bởi hệ thức truy hồi. n Bài 27. Cho dãy số un và vn , với un n,vn 2 n a) Chứng minh rằng với mọi n 1 ta luơn cĩ un 1 2un n 1,vn 2vn n 1 b) Từ kết quả của câu a), rút ra kết luận gì? File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  11. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11 Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số un thỏa mãn tính chất K A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Chứng minh rằng số hạng u1 thỏa mãn tính chất K . Bước 2. Giả sử số hạng uk thỏa mãn tính chất K . Ta đi chứng minh uk 1 cũng thỏa mãn tính chất K . Bước 3. Kết luận dãy số un thỏa mãn tính chất K . B. BÀI TẬP MẪU 3 Ví dụ 11. Cho dãy số un , với un n 11n . Chứng tỏ rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6 . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 28. Chứng minh rằng: Với mọi n ¥ : a) 4n 15n –19 b) 16n –15n –1225 c) n3 – n3 d) n3 11n6 e) n3 3n2 5n3 f) 3n3 159 g) 62n 3n 2 3n 11 h) 2n3 – 3n2 n6 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  12. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 12 Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số un A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Tính tăng, giảm của dãy số: Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Lập hiệu H un 1 – un , từ đĩ xác định dấu của H . Bước 2. Khi đĩ:* Nếu H 0 , n ¥ thì dãy số un tăng. * Nếu H 0 , n ¥ thì dãy số un giảm. Cách 2: Nếu un 0 , n ¥ ta cĩ thể thực hiện theo các bước sau: u Bước 1. Lập tỉ số P n 1 , từ đĩ so sánh P với 1. un Bước 2. Khi đĩ:* Nếu P 1, n ¥ thì dãy số un tăng. * Nếu P 1, n ¥ thì dãy số un giảm. 2. Tính bị chặn của dãy số: • Sử dụng định nghĩa 3. • Chú ý: * Mọi dãy số un giảm luơn bị chặn trên bởi u1 . * Mọi dãy số un tăng luơn bị chặn dưới bởi u1 . B. BÀI TẬP MẪU n Ví dụ 12. Xét tính tăng giảm của dãy số: a) u , b)u 2n 1 n 5n n n2 1 Ví dụ 13. Xét tính bị chặn của dãy số: u . n n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  13. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13 2n 3 Ví dụ 14. Chứng minh dãy số u với u là dãy số giảm và bị chặn. n n 3n 2 Ví dụ 15. Xét tính tăng, giảm của các dãy số un cho bởi u 3 2 n 1 n n 1 4 1 u1 6 a) un . b) un . c) 2u . d) . n2 1 4n 5 u n n 1 un 1 6 un un 3 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  14. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 14 Ví dụ 16. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số un cho bởi 2n 3 1 a) u b) u c) u n2 4 n n 2 n n n 1 n 2 n 2n n n d) un 2 e) un f) un 1 cos . n n 1 n2 2n n 2n C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 29. Xét tính tăng, giảm của các dãy số un , biết: 1 n 1 n n 2n 1 a) un 2 b) un c) un 1 2 1 d) un n n 1 5n 2 n 1 e) u n3 3n2 5n 7 f) u g) u n 1 n . n n 3n n n Bài 30. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 un n 1 .2 với mọi n 1. Bài 31. a) Chứng minh rằng un là một dãy số tăng. n b) Chứng minh rằng un 1 n 1 .2 với mọi n 1. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  15. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 Bài 32. Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số un : 2n 1 3n n a) u 101–2n b) u 3n – 7 c) u d) u n n n n2 n 2n n n 2n 1 1 n e) un n f) un n g) un 1 h) un 2 1 2 1 n n2 1 n n 1 1 i) u j) u 1 sin k) u n 1 n n 5n n n n 2 n 2n 3 n 2n l) u 1 4n m) u n) u sin2 cos n n n n 4 3 Đáp số: a) giảm b) tăng c) giảm d) tăng i) giảm j) ko tăng, ko giảm k) giảm Bài 33. Xét tính tăng, giảm của các dãy số un : n 3n a) u 2n3 5n 1 b) u 3n n c) u d) u n n n n2 1 n 2n 1 n 3n 3n2 2n 1 n2 n 1 e) u f) u g) u h) u n 2n n n2 n n 1 n 2n2 1 2n. n n 1 1 1 i) u k) u n n2 1 l) u m) u 2n n 3n n n n n 5n Đáp số: a) tăng b) tăng c) giảm d) tăng e) giảm f) ko tăng, ko giảm g) tăng h) giảm i) giảm k) giảm l) giảm m) tăng Bài 34. Trong các dãy số un sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? 1 1 a) u 2n2 1 b) u c) u d) u sin n cos n . n n n n 2 n 2n2 1 n 2n 3 Bài 35. Chứng minh rằng dãy số u với u là một dãy số giảm và bị chặn. n n 3n 2 an2 1 Bài 36. Hãy xác định số thực a để dãy số u , với u , là: n n 2n2 3 a) Một dãy giảm. b) Một dãy tăng. Đáp số: a) a 2 / 3 b) a 2 / 3 Bài 37. Tìm số hạng thứ 3, thứ 5 và thứ 7 của mỗi dãy số sau: u1 0 u1 1,u2 2 a) 2 n 2 b) n 3 u n 2 un un 1 2un 2 un 1 u1 1 u1 5, u2 0 c) n 1 d) n 1 un 1 3un 10 un 2 un 1 6un 2 Bài 38. Cho dãy số un với un n – 4n 3 . a) Viết cơng thức truy hồi của dãy số. b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy đã cho. u1 0 n n 1 2n 11 18n Đáp số: a n 1 b) un 1 un 2n 3 6 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  16. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 16 n Bài 39. Cho dãy số un với un 1 n –1 2 . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số. b) Tìm cơng thức truy hồi. c) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn dưới. n Đáp số: b)u1 1 và un 1 un n 1 2 n 1 u 1 1 Bài 40. Dãy số un xác định bằng cơng thức: 3 5 n 1 u u2 u 1 n 1 2 n 2 n a) Tính u2 ,u3 ,u4 . b) Chứng minh rằng un 3 un ,n ¥ . Đáp số: a)u2 2,u3 0,u4 1 n n Bài 41. Dãy số u xác định bằng cơng thức:u sin cos n n 3 6 a) Tính u1, u2 , u3 , u4 , u5 , u6 . b) Chứng minh rằng un un 12 ,n ¥ . 1 3 1 3 1 3 1 3 Đáp số: a)u ,u ,u 1,u ,u ,u 1 1 2 2 2 3 4 2 5 2 6 u1 3 Bài 42. Dãy số un xác định bằng cơng thức: n 1 un 1 un 5 a) Tính u2 ,u4 ,u6 . b) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. Đáp số: b)un 5n 2 u1 1 Bài 43. Dãy số un được xác định bằng cơng thức: 3 n 1 un 1 un n a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. b) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. n2 n 1 2 Đáp số: a)u 1 b)u 24.502.501 n 4 100 u1 5 Bài 44. Dãy số un được xác định bằng cơng thức: n 1 un 1 un 3n 2 a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng. n 1 3n 4 Đáp số: a)u 5 n 2 u1 1 Bài 45. Dãy số un xác định bằng cơng thức: n n 1 un 1 un n 1 2 a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát. b) Chứng minh dãy số tăng. n Đáp số: a)un 1 n 1 2 Bài 46. Chứng minh rằng các dãy số un sau là một dãy số khơng đổi: u1 1 u 2 1 a) 2 n 1 b) u2 4 n 1 u n n 1 2 un 1 un 1 4 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  17. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17 Bài 47. Dãy số u xác định bằng cơng thức: u sin 4n 1 n n 6 a) Chứng minh rằng un un 3 với mọi n 1. b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Bài 48. Dãy số u xác định bằng cơng thức: u sin 2n 1 n n 3 a) Chứng minh rằng un un 3 với mọi n 1. b) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Đáp số:b) 3 2 Bài 49. Tìm cơng thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: u1 2 1 u1 a) 1 n 1 b) 2 n 1 u 2 n 1 u 3u un n 1 n u1 2 u1 1 c) n 1 d) n 1 un 1 un 1 un 1 un 2n 1 u1 1 u1 1 e) n 2 f) n 1 un 2un 1 3 un 1 2un 7 u1 2 u1 1 g) n 1 h) n 1 un 1 5un un 1 3un 10 n 1 1 Đáp số:a)u b)u .3n 1 c)u 3 n d)u n2 n n n 2 n n n 1 n 1 n e)un 2 3 f)un 7n 6 g)un 2.5 h)un 2.3 5 n 1 Bài 50. Cho dãy số un với un 5.4 3 . a) Chứng minh rằng: un 1 4un 9 với n 1. Đáp số: b) u1 8, un 1 4un 9, n 1 b) Dựa vào kết quả câu a), hãy viết cơng thức truy hồi của un . Bài 51. Chứng minh rằng: 2n 3 a) Dãy số u , với u là dãy số giảm và bị chặn. n n 3n 2 7n 5 b) Dãy số v , với v là dãy số tăng và bị chặn. n n 5n 7 Bài 52. Dãy số xn được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A : A A0 , A1, A2 , A3 ,, An , Gọi B là một điểm nằm ngồi trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh cịn lại thuộc tập hợp A . Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và n 1 điểm trong A rồi lập dãy số un . a) Tính u1,u2 ,u3,u4 . 2 b) Chứng minh rằng: un Cn 1 và un 1 un n 1. Đáp số: a)u1 1,u2 3,u3 6,u4 10 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  18. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 18 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 n Câu 1. Cho dãy số U với U . Khẳng định nào sau đây là đúng n n n 1 1 2 3 5 5 A. Năm số hạng đầu của dãy là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. n Câu 2. Cho dãy un xác định bởi un 2.3 . Giá trị của u20 với mọi số nguyên dương n là: A. 2.319 . B. 2.320 . C. 320 . D. 2.321 . 1 Câu 3. Cho dãy số U với U .Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là ; ; ; ; . 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M . 2 D. Khơng bị chặn. 1 Câu 4. Cho dãy số U với U . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 1 A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1; ; ; ; . 2 3 4 5 B. Bị chặn trên bởi số M 1. C. Bị chặn trên bởi số M 0. D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m 1. n Câu 5. Cho dãy số Un với Un a.3 ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 A. Dãy số cĩ Un 1 a.3 . B. Hiệu số Un 1 Un 3.a . C. Với a 0 thì dãy số tăng. D. Với a 0 thì dãy số giảm. a 1 Câu 6. Cho dãy số U với U . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n n2 a 1 a 1 A. Dãy số cĩ U . B. Dãy số cĩ U . n 1 n2 1 n 1 (n 1)2 C. Là dãy số tăng với mọi a . D. Là dãy số giảm với mọi a . a 1 Câu 7. Cho dãy số U với U ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 a 1 2n 1 A. Un 1 . B. Hiệu Un 1 Un 1 a . . (n 1)2 n 1 2 n2 2n 1 C. Hiệu Un 1 Un a 1 . . D. Dãy số tăng khi a 1. n 1 2 n2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  19. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19 a.n2 Câu 8. Cho dãy số U với U ( a : hằng số). U là số hạng nào sau đây? n n n 1 n 1 2 2 a. n 1 a. n 1 a.n2 1 an2 A. U . B. U . C. U . D. U . n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 an2 Câu 9. Cho dãy số U với U . ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 a. n 1 2 a. n2 3n 1 A. U . B. U U . n 1 n 2 n 1 n (n 2)(x 1) C. Là dãy số luơn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a 0 . Câu 10. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; 25;  . Số hạng tổng quát của dãy số này là A. Un 5 n 1 . B. Un 5n . C. Un 5 n . D. Un 5.n 1. Câu 11. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,  Số hạng tổng quát của dãy số này là A. Un 7n 7 . B. Un 7.n . C. Un 7.n 1. D. Un khơng viết được dưới dạng cơng thức. 1 2 3 4 Câu 12. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 0; ; ; ; ; Số hạng tổng quát của dãy số này là 2 3 4 5 n 1 n n 1 n2 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n 1 n n n n 1 Câu 13. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng 1 1 A. u 0,00 01. B. u 0,00 01. C. u . D. u . n  n  n 10n 1 n 10n 1 n so0 n 1 so 0 Câu 14. Trong các dãy số un sau đây, hãy chọn dãy số giảm. 2 n 1 n n A. un sin n . B. un . C. un n n 1 . D. un 1 . 2 1 . n Câu 15. Trong các dãy số un sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn. 1 n A. u n2 1 . B. u n . C. u 2n 1. D. u . n n n n n n 1 Câu 16. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 1, 1, 1, 1, - 1, .Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng n n 1 A. un 1. B. un 1. C. un 1 . D. un 1 . Câu 17. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là 2; 0; 2; 4; 6; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng A. un 2n . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 2 n 1 . 1 1 1 1 1 Câu 18. Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là ; ; ; ; ; Số hạng tổng quát của dãy số này là 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. u . . B. u . C. u . D. u . n 3 3n 1 n 3n 1 n 3n n 3n 1 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  20. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 20 k Câu 19. Cho dãy số u với u (k: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai n n 3n k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là . B. Số hạng thứ n 1 của dãy số là . 35 3n 1 C. Là dãy số giảm khi k 0 . D. Là dãy số tăng khi k 0 . 1 n 1 Câu 20. Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai n n n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M 1. u1 1 Câu 21. Cho dãy số un : . Với mọi số nguyên dương n . Giá trị của u20 là: un 1 2un 5 A. 220 5. B. 3.219 5 . C. 3.220 5 . D. 222 5. * Câu 22. Cho dãy số un cĩ un n 1 với n ¥ . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là 0; 1; 2; 3; 5 . B. Số hạng un 1 n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 . 2 Câu 23. Cho dãy số un cĩ un n n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng 2 A. 6 số hạng đầu của dãy là 1; 1; 5; 5; 11; 19 . B. un 1 n n 2 . C. un 1 un 1. D. Là một dãy số giảm. u1 5 Câu 24. Cho dãy số un với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un 1 un n n 1 n n 1 n A. u . B. u 5 . n 2 n 2 n 1 n n 1 n 2 C. u 5 . D. u 5 . n 2 n 2 u1 1 Câu 25. Cho dãy số un với 2 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un 1 un n n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6 n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 u1 2 Câu 26. Cho dãy số un với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un 1 un 2n 1 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . 1 Câu 27. Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 1 1 A. un 1 . B. un un 1 . n 1 2 1 C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  21. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21 Câu 28. Cho dãy số u với u sin . Khẳng định nào sau đây là sai. n n n 1 A. Số hạng thứ n 1 của dãy: u sin . B. Dãy số bị chặn. n 1 n 1 C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số khơng tăng khơng giảm. 1 Câu 29. Cho dãy số u , n ¥ * biết u , ba số hạng đầu tiên của dãy số đĩ là: n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. , , . B. 1, , . C. , , . D. 1, , . 2 3 4 2 3 2 4 6 3 5 n Câu 30. Cho dãy số u , n ¥ * biết u . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đĩ là: n n 3n 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 A. , , . B. , , . C. , , . D. , , . 2 4 26 2 4 8 2 4 16 2 3 4 u1 1 Câu 31. Cho dãy số un , biết với n 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đĩ là: un 1 un 3 A. 1, 2, 5 . B. 1, 4, 7 . C. 4, 7, 10. D. 1, 3, 7 . n Câu 32. Cho dãy số u , biết u ,n ¥ * . Chọn đáp án đúng: n n 2n 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . 4 4 5 16 5 32 3 8 n n Câu 33. Ba số hạng đầu của dãy u , biết u 1  với n 3 là: n n n 1 1 2 1 2 3 3 4 5 3 4 5 A. 0; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 3 2 3 4 4 5 6 4 5 6 u1 1;u2 2 Câu 34. Ba số hạng thứ 3 , 4 ,5 của dãy un với ,n 1 là: un un 1 2un 2 A. 4; 8; 16 . B. 1; 3; 5 . C. 2; 4; 6 . D. 4; 8; 16 . n Câu 35. Cho dãy số un , biết un 3 . Hãy chọn phương án đúng: Số hạng un 1 bằng: A. 3n 1. B. 3n 3. C. 3n.3. D. 3 n 1 . n Câu 36. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng u2n bằng: A. 2.3n . B. 9n . C. 3n 3. D. 6n . n Câu 37. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng un 1 bằng: 1 A. 3n 1. B. .3n . C. 3n 3 . D. 3n 1. 3 n Câu 38. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng u2n 1 bằng: A. 32.3n 1. B. 3n.3n 1 . C. 32n 1. D. 32 n 1 . n n Câu 39. Cho dãy số un với un 4 2 . Ba số hạng đầu tiên của dãy là: A. u1 6; u2 20; u3 70 . B. u1 6; u2 18; u3 72 . C. u1 4; u2 20; u3 72 . D. u1 6; u2 20; u3 72 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  22. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 22 1 Câu 40. Dãy số un xác định bởi u1 0; un , n 2 . Số hạng thứ 5 là: un 1 2 1 2 5 12 A. u . B. u . C. u . D. u . 5 2 5 5 5 12 5 29 Câu 41. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 un 2n, n 1. Ta cĩ u9 bằng: A. 57 . B. 60 . C. 56 . D. 73. u 1 Câu 42. Số hạng nào sau đây là một số hạng của dãy u với u 2, u n , n ¥ * . n 1 n 1 2 1025 2007 2006 2005 A. . B. . C. . D. . 1024 2006 2005 2007 Câu 43. Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 un n, n 1. Ta cĩu11 bằng: A. 36 . B. 60 . C. 56 . D. 44 . 1 1 3 2 Câu 44. Cho dãy số u với u 0 , u , u , u , u . Tính u . n 1 2 3 3 2 4 5 5 3 10 7 2 3 9 A. . B. . C. . D. . 13 3 7 11 2n Câu 45. Cho dãy số u với u . Tính u . n n n2 10 256 1 256 512 A. . B. . C. . D. . 5 5 25 81 1 Câu 46. Cho dãy số u xác định bởi u 3 và u u 2, n ¥ * . Mệnh đề nào sau đây sai n 1 n 1 2 n 5 15 31 63 A. u . B. u . C. u . D. u . 2 2 3 4 4 8 5 16 n * Câu 47. Cho dãy số un xác định bởi: u1 2 và un 1 2 .un , n ¥ . Ta cĩ u5 bằng: A. 10. B. 1024. C. 2048 . D. 4096 . 1 Câu 48. Cho dãy số u xác định bởi: u và u u 2n, n ¥ ,n 2 . Ta cĩ u bằng: n 1 2 n n 1 50 A. 1274,5 . B. 2548,5. C. 5096,5 . D. 2550,5. * Câu 49. Cho dãy số un xác định bởi: u1 1 và un 2n.un 1, n ¥ ,n 2 . Ta cĩ u11 bằng: A. 210.11!. B. 210.11!. C. 210.1110 . D. 210.1110 . Câu 50. Cho dãy số un xác định bởi un 2n 1, n ¥ . Mệnh đề nào sau đây sai A. Mọi số hạng của dãy un là số hữu tỷ. B. Dãy un gồm các số 1, 3, 5, 9, 13, 17 . C. Mọi số hạng của dãy un là số chẵn. D. Mọi số hạng của dãy un là các số tự nhiên. 1 1 * Câu 51. Cho dãy un xác định bởi: u1 và un ,n ¥ ,n 2 . Ta cĩ u4 bằng: 2 2 un 1 3 4 5 6 A. . B. . C. . D. . 4 5 6 7 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  23. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23 n 2 Câu 52. Cho dãy số u với u 1 cos . Khi đĩ u bằng: n n n 12 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 n Câu 53. Cho dãy số u với u . Khi đĩ u bằng: n n 2n 1 n 1 1 n 2 n 2 n n A. u . B. u . C. u . D. u . n 1 2n n 1 2n n 1 2n 1 n 1 2n * Câu 54. Cho dãy số un cĩ u1 1, un 2un 1 3un 2 n ¥ . Khi đĩ số hạng thứ n 3 là A. un 3 2un 2 3un 1 . B. un 3 2un 2 3un . C. un 3 2un 2 3un 1 . D. un 3 2un 2 3un 1 . n Câu 55. Cho dãy số un cĩ cơng thức tổng quát là un 2 thì số hạng thứ n 3 là 3 n n n A. un 3 2 . B. un 3 8.2 . C. un 3 6.2 . D. un 3 6 . n 1 Câu 56. Cho dãy số un cĩ số hạng tổng quát un 5.4 3 . Tìm mối liên hệ giữa un 1 và un n 1 A. un 1 2un 5 . B. un 1 3un 7 . C. un 1 4un 9 . D. un 1 5un 11. 2 Câu 57. Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy un với un n 1, n ¥ A. 79 . B. 89 . C. 69 . D. 99 . * Câu 58. Cho dãy số un cĩ un 5n 9, n ¥ . Phát biểu nào sau đây sai? A. Dãy un là cấp số cộng cĩ cơng sai d 5 và u1 14 . B. Dãy un là cấp số cộng cĩ cơng sai d 5 và u4 29 . C. Dãy un là dãy số tăng. D. Dãy un là dãy số giảm. n Câu 59. Số 518 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy un với un 2 6, n ¥ A. 8 . B. 9 . C. 10. D. 11. 2n 5 7 Câu 60. Cho dãy số u với u , n ¥ * . Cho biết số hạng thứ n là . Giá trị của n là n n 5n 4 12 A. n 6 . B. n 8 . C. n 9 . D. n 10 . 2n 9 Câu 61. Cho dãy số u với u , n ¥ * . Số là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số? n n n2 1 41 A. 9 . B. 10. C. 8 . D. 11. n 1 8 Câu 62. Cho dãy số u với u , n ¥ * . Số là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số n n 2n 1 15 A. 7 . B. 6 . C. 8 . D. 5 . * Câu 63. Cho dãy số un với u1 1, un 1 un 2,n ¥ . Số 33 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số ? A. 17 . B. 14. C. 15. D. 16. n 1 2 Câu 64. Cho dãy số u với u ; biết u . u là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho n n n2 1 k 13 k A. thứ 3 . B. thứ 6 . C. thứ 5 . D. thứ 4 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  24. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 24 1 1 1 1 Câu 65. Số hạng tổng quát của dãy số u : , , , , là: n 2 4 8 16 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n 2n n 2n n n2 n 4n * Câu 66. Cho dãy số un với u1 1, un 1 un 2 ,n ¥ . Số 33 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số A. 17 . B. 14. C. 15. D. 16. 1 1 1 Câu 67.Số hạng tổng quát của dãy số u : 1, , , , là: n 2 3 4 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n n n 2n n n2 n n 1 1 1 1 Câu 68. ; ; là ba số hạng đầu tiên của dãy số u cĩ số hạng tổng quát u bằng: 2 4 6 n n 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2n n 2n 4 2n n 1 * Câu 69. Cho dãy số un xác định bởi u1 1, un 1 un , n ¥ . 2 a.2n b Số hạng u được biểu diễn dưới dạng u thì tổng a b c là: n n c.2n A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . 1 Câu 70. Dãy số số u xác định bởi u 2, u u 1, n ¥ * . Số hạng tổng quát của dãy số là: n 1 n 1 2 n A. un 2. B. un 3 . C. un n 1. D. un 3n 1. * Câu 71. Cho dãy số un xác định bởi u1 11, un 1 10un 1 9n, n ¥ . Số hạng un được biểu n diễn dưới dạng un a b.n c . Giá trị biểu thức a.b c là: A. 10. B. 12. C. 12 . D. 10 . 1 1 Câu 72. Cho dãy số u xác định bởi u 2, u u , n ¥ * . Số hạng u được biểu diễn n 1 n 1 2 n 2 n 2n a dưới dạng u thì giá trị a là: n 2n A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 1. * Câu 73. Cho dãy số un xác định bởi u1 1, un 1 2un 3, n ¥ . Số hạng un được biểu diễn dưới n dạng un a.2 b . Khi đĩ giá trị a.b là: A. 6 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . * Câu 74. Cho dãy số un với u1 1, un 1 un 2n 1, n ¥ . Số hạng tổng quát của dãy là 2 2 2 2 A. un n . B. un n 1. C. un 2n . D. un 3n 1. 1 Câu 75. Cho dãy số u với u , u 2u , n ¥ * .Số hạng tổng quát của dãy là n 1 2 n 1 n 1 1 A. u 2n 1 . B. u . C. u . D. u 2n 2 . n n 2n 1 n 2n n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  25. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25 Câu 76. Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 1, u1 2 , un 3un 1 2un 2 , n ¥ ,n 2 A. 1; 2; 4; 8; 16; 36; . B. 1; 2; 8; 16; 24; 54. n n C. un 2 1. D. un 2 . 2n * Câu 77. Theo giả thiết ta cĩ Cho dãy số un xác định bởi u1 1, un 1 un 1 , n ¥ . Số hạng tổng quát của dãy số trên là A. un 1 n . B. un 1 n . 2n C. un 1 1 . D. un n . 1 * Câu 78. Cho dãy số un xác định bởi u1 2 , un 1 2 , n ¥ . un Số hạng tổng quát của dãy số trên là n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 1 Câu 79. Cho dãy số u xác định bởi cơng thức truy hồi: u 3, u u , n ¥ * . Tìm cơng thức n 1 n 1 2 n tính số hạng tổng quát un của dãy số? 3 3 3 3 A. u . B. u . C. u . D. u . n 2n n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 1 Câu 80. Cho dãy số u và dãy v xác định bởi cơng thức v u , v v u ,  ¥ * . Số n n n 1 n 1 1 n 1 n n 1 a.n b hạng tổng quát v được biểu diễn dưới dạng v . Khi đĩ giá trị biểu thức a.d b.c là: n n c.n d A. 1. B. 1. C. 2 . D. 2 . * Câu 81. Cho dãy số un xác định bởi u1 1, un 1 un 2, n ¥ . Số hạng tổng quát un được biểu diễn dưới dạng un a.n b . Khi đĩ a b là: A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 82. Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 1, u1 2, un 3un 1 2un 2 , n 2, 3, 4 A. 1; 2; 4; 8; 16; 36; . B. 1; 2; 8; 16; 24; 54. n n C. un 2 1. D. un 2 . n * Câu 83. Cho dãy số un với un 3 ,n ¥ . Hãy chọn hệ thức đúng: u u u u A. 1 9 u . B. 2 4 u . 2 5 2 3 u 1 C. 1 u u u 100 . D. u u u u . 1 2 100 2 1 2 100 5050 1 1 1 1 Câu 84. Cho tổng S với n ¥ * . Lựa chọn đáp án đúng. n 1.2 2.3 3.4 n. n 1 2 1 1 1 A. S . B. S . C. S . D. S . 2 3 2 6 3 12 3 4 Câu 85. Cho tổng Sn 1 2 3 n . Khi đĩ S3 là bao nhiêu: A. 6 . B. 4 . C. 9 . D. 3 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  26. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 26 Câu 86. Cho tổng S n 12 22 n2 . Khi đĩ cơng thức của S n là: n n 1 2n 1 n 1 A. S n . B. S n . 6 2 n n 1 n 1 n 2n 1 3n 1 C. S n . D. S n . 6 6 2 2 2 2 3 3 3 3 Câu 87. Đặt S1 n 1 2 3  n , S2 n 1 2 3  n , S3 n 1 2 3  n . Mệnh đề nào sau đây đúng 3n n 1 n n 1 2n 1 A. S n . B. S n . 1 2 2 3 n2 n 1 2 n n 1 C. S n . D. S n . 3 4 1 2 1 1 1 1 Câu 88. Tổng S là: 2.5 5.8 8.11 3n 1 3n 2 n 3n 3n 1 3n A. S . B. S . C. S . D. S . 2 3n 2 2 3n 2 2 3n 2 3n 2 1 1 1 1 Câu 89. Tổng S là: 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 n n 1 n 2n A. S . B. S . C. S . D. S . 2n 1 2n n 1 2n 1 Câu 90. Tính tổng S n 1 2 3 4  2n 1 2n 2n 1 là A. S n n 1. B. S n n . C. S n 2n . D. S n n . Câu 91. Tính tổng S n 1.4 2.7 n 3n 1 . Khi đĩ cơng thức của S n bằng A. S n n 3. B. S n n 1 2 . C. S n n n 1 2 . D. S n 4n . Câu 92. Tính tổng S n 1.1! 2.2! 2017.2017!. Khi đĩ cơng thức của S n A. 2017!. B. 2018!. C. 2018! 1. D. 2017! 1. Câu 93. Tính tổng S 1.2 2.3 n 2 n 1 n 1 n . n n2 1 n n2 1 n n2 1 2n n2 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3 Câu 94. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng: 3 2 n A. u 2n . B. u . C. u . D. u 2 . n n n n 3n n Câu 95. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng: n 2 n 2 n 1 A. u . B. u . C. u 5 . D. u . n n 1 n n 1 n n n2 Câu 96. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? n 2 n 2 n 1 A. un . B. un . C. un . D. un . 3 n 1 n. n 1 n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  27. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27 Câu 97. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? n 2 n A. u cos n . B. u . C. u 1 .n2 . D. u 3n 2 . n n n 1 n n Câu 98. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? n 1 2n n 1 n A. 1 sin . B. 1 5 1 . C. . D. 2 . n n 1 n n 1 Câu 99. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? n 1 2n 3 1 2n n A. un 1 sin . B. un . C. un . D. un 1 3 1 . n 3n 2 n n 1 Câu 100. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? 1 3n 1 A. u . B. u . C. u n2 . D. u n 2 . n 2n n n 1 n n Câu 101. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? 2 n 1 n n A. un sin n . B. un n n 1 . C. un . D. un 1 2 1 . n Câu 102. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm? n 3 n 4 A. u 3n . B. u . C. u . D. u n4 2. n n n 1 n n 2 n 2n 1 Câu 103. Cho dãy số u vớiu ,n ¥ * . Mệnh đề nào sau đây sai? n n 2n 1 1 3 7 15 A. Bốn số hạng của dãy là: ; ; ; . B. Là dãy số tăng. 3 5 9 17 1 5 7 15 31 63 C. Sáu số hạng đầu của dãy là , , , , , . D. Là dãy số giảm. 3 3 9 17 33 65 a.n2 1 Câu 104. Cho dãy số u . Giá trị của a để dãy số giảm là n 2n2 3 2 2 A. a 1. B. a . C. a 1. D. a . 3 3 Câu 105. Xét các dãy 1 1 1 1, 2, 3, 4,  1 . 1, , ,  2 . 3 5 7 1 1 1 1 1 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,  3 . 1, , , , , ,  4 . 2 2 3 3 3 Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng A. 1 là dãy đơn điệu giảm, 2 là dãy đơn điệu giảm, 3 là dãy đơn điệu khơng giảm, 4 là dãy đơn điệu khơng tăng. B. 1 là dãy đơn điệu tăng, 2 là dãy đơn điệu tăng, 3 là dãy đơn điệu khơng giảm, 4 là dãy đơn điệu khơng tăng. C. 1 là dãy đơn điệu tăng, 2 là dãy đơn điệu giảm, 3 là dãy đơn điệu khơng giảm, 4 là dãy đơn điệu khơng giảm. D. Cả ba câu trên đều sai. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  28. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 28 1 Câu 106. Cho dãy số u , biết u . Chọn đúng n n n A. Dãy số un là dãy số giảm. B. Dãy số un là dãy số tăng. 1 C. Dãy số u là dãy số khơng tăng khơng giảm. D. Dãy số u cĩ u . n n 3 6 1 Câu 107. Dãy số u là dãy số cĩ tính chất n n 1 A. Tăng. B. Giảm. C. Khơng tăng khơng giảm. D. Khơng bị chặn. n Câu 108. Cho dãy số un 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Khơng bị chặn. 1 n Câu 109. Dãy số u sin là n n 2 A. Dãy giảm. B. Dãy khơng tăng, khơng giảm. C. Dãy tăng. D. Dãy bị chặn. Câu 110. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên 1 A. u . B. u 2n . C. u n2 . D. u n 1 . n n n n n 3n 1 Câu 111. Cho dãy số u , biết u . Dãy số u bị chặn trên bởi n n 3n 1 n 1 1 A. 1. B. . C. . D. 0 . 3 2 Câu 112. Trong các dãy số un sau, dãy số nào bị chặn trên 2n 1 n2 (I) u 2n2 1, II u , III u , IV u 2 3n . n n 2n 1 n n 1 n A. I , II và IV . B. I và II . C. II và IV . D. II và III . 1 1 1 1 Câu 113. Dãy số u xác định bởi u là dãy bị chặn trên bởi n n 1.2 2.3 3.4 n n 1 1 2 3 A. u . B. u 1. C. u . D. u . n 2 n n 3 n 4 1 1 * Câu 114. Dãy số un xác định bởi u1 ,un 1 ,n ¥ là dãy bị chặn trên vì 2 2 un 3 4 2 A. u . B. u 1. C. u . D. u . n 4 n n 5 n 2 Câu 115. Trong các dãy số un sau, dãy số nào bị chặn dưới? n2 I u n2 4n 2 , II u 1 2n2 , III u , IV u 2 3n n n n n 1 n A. I và II . B. II và III . C. I và III . D. II và IV . 1 2 * Câu 116. Dãy số un xác định bởi u1 2,un 1 un ,n ¥ là dãy bị chặn dưới vì 2 un 5 3 A. u 3 . B. u 2 . C. u . D. u . n n n 3 n 2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  29. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29 u 1 Câu 117. Dãy số u xác định bởi u 2, u n , n ¥ * là dãy bị chặn dưới vì n 1 n 1 2 10 11 9 A. u . B. u 1. C. u . D. u . n 9 n n 10 n 8 Câu 118. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn 1 A. u . B. u 3n . C. u n 1 . D. u n2 . n 2n n n n Câu 119. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn 1 n A. u n2 1 . B. u n . C. u 2n 1. D. u . n n n n n n 1 * Câu 120. Dãy số un xác định bởi u1 6, un 1 6 un , n ¥ là dãy bị chặn vì 5 A. 6 u . B. 6 u 3. n 2 n C. 6 un 6 6 . D. 6 un 6 7 . * Câu 121. Dãy số un xác định bởi u1 2, un 1 2 un , n ¥ là dãy bị chặn vì 3 5 A. 2 u . B. 2 u 2 . C. 1 u 2 2 . D. 2 u . n 2 n n n 3 1 1 1 Câu 122. Xét dãy số u với u . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? n n 1.2 2.3 n n 1 A. Dãy un là dãy số bị chặn trên. B. Dãy un là dãy số bị chặn dưới. C. Dãy số un là dãy số tăng nhưng khơng bị chặn trên. D. Dãy un là dãy số tăng và bị chặn. n2 n 1 Câu 123. Cho dãy số u với u . Khi đĩ dãy số u . n n n2 1 n A. Tăng. B. Giảm. C. Bị chặn. D. Khơng bị chặn. 4n 1 Câu 124. Cho dãy số u với u . Khi đĩ dãy số u n n 4n 5 n A. Tăng. B. Giảm. C. Bị chặn. D. Khơng bị chặn. Câu 125. Chọn đáp án đúng. A. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì bị chặn trên. B. Dãy số khơng giảm thì sẽ bị chặn trên. C. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì khơng bị chặn. D. Dãy số tăng và bị chặn trên thì khơng bị chặn. Câu 126. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Dãy số vơ hạn là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương ¥ * . B. Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. C. Dãy số bị chặn là dãy số khơng đổi. D. Các phương án trên đều sai. n Câu 127. Cho dãy số u xác định bởi u . Mệnh đề nào sau đây sai? n n n 1 A. Dãy un là dãy số tăng. B. Dãy un là dãy số giảm. C. Dãy un là dãy số bị chặn trên bởi 1. D. Dãy un là dãy số bị chặn dưới bởi 0 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  30. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 30 7n 5 Câu 128. Dãy số u xác định bởi cơng thức u là dãy số n n 5n 7 A. Giảm và bị chặn. B. Tăng và bị chặn. C. Tăng và khơng bị chặn. D. Giảm và khơng bị chặn. n Câu 129. Cho dãy số u vớiu . Mệnh đề nào sau đây đúng? n n n 1 1 2 3 5 A. 5 số hạng đầu của dãy là ; ; ; 1; . 2 3 4 6 B. Dãy số un là dãy số tăng. 1 2 3 4 5 C. 5 số hạng đầu của dãy là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 D. Dãy số un bị chặn trên bởi số 1. n Câu 130. Cho dãy số un 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Khơng bị chặn. Câu 131. Cho dãy số u sin . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây n n A. u sin . B. Dãy số bị chặn. n 1 n 1 C. là dãy tăng. D. dãy số khơng tăng, khơng giảm. Câu 132. Xét tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số un xác định bởi * u1 2,un 1 un 2 (n ¥ ) A. Dãy số un khơng đơn điệu, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2 . B. Dãy số un giảm, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2 . C. Dãy số un giảm, bị chặn dưới bởi 2 và khơng bị chặn trên. D. Dãy số un tăng, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2 . Câu 133. Xét các câu sau Dãy 1, 2, 3, 4,  là dãy bị chặn (dưới và trên) 1 . 1 1 1 Dãy 1, , , là dãy bị chặn dưới nhưng khơng bị chặn trên 2 . 3 5 7 Trong hai câu trên A. Chỉ cĩ 1 đúng. B. Chỉ cĩ 2 đúng. C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai. n Câu 134. Số hạng lớn nhất của dãy số u là n n2 100 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 21 20 25 30 1 Câu 135. Cho dãy số u , biết u . Mệnh đề nào đúng n n n 1 A. Dãy un bị chặn. B. Dãy un tăng. C. u30 30 . D. Dãy un khơng bị chặn. Câu 136. Trong dãy số 1, 3, 2, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nĩ trừ đi số * hạng đứng trước số hạng này, tức là un un 1 un 2 ,n ¥ ,n 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đĩ. Đáp số của bài tốn là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  31. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31 Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG ① Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vơ hạn), trong đĩ, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nĩ với một số khơng đổi d gọi là cơng sai. un 1 un d ( d : cơng sai; n ¥ ) (1) ② Số hạng tổng quát: un u1 n –1 .d (2) ③ Tính chất các số hạng của cấp số cộng: Trong một cấp số cộng. Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữa hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nĩ, tức là: u u u k 1 k 1 k 2 (3) k 2 ④ Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: n u u S 1 n (4) n 2 n 2u n 1d S 1 (5) n 2 ⑤ Các số hạng liên tiếp: •Nếu CSC cĩ lẻ số hạng thì: ; x – a; x ; x a; •Nếu CSC cĩ chẵn số hạng thì: ; x – 3a; x – a; x a ; x a; Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Để chứng minh ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng ta đi chứng minh a c 2b hoặc a – b b – c • Để chứng minh dãy số u1, u2 , u3 ,, un –1, un lập thành cấp số cộng, ta chứng minh: u2 – u1 u3 – u2  nu – un–1 d (cơng sai) B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 17. Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định cơng sai của cấp số cộng đĩ: a) un 19n – 5 b) un an b , với a , b là hằng số. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  32. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 32 Ví dụ 18. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a 2 ab b2 , a2 ac c2 và b2 bc c 2 cũng lập thành một cấp số cộng. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 53. Trong các dãy số un sau, dãy nào là cấp số cộng 2 a) un 2n 1. b) un vn vn 1 với vn 2n 1 . n u1 3 c) un 1 2n . d) với n 1. un 1 1 un Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng, ta sử dụng cơng thức: un u1 n –1 d; un un–1 d với n 2 . Tức là đi xác định số hạng đầu u1 và cơng sai d . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 19. Cho CSC un cĩ u20 –52 và u51 –145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số đĩ. Ví dụ 20. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp sống cộng un , biết u9 5u2 u1 u3 u5 10 u3 u7 8 u5 4u3 a) b) c) d) u13 2u6 5 u1 u6 7 u2u7 75 u2u6 11 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  33. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33 Ví dụ 21. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp sống cộng un , biết 152 2 u3 u5 14 S u1 1 S5 S2 u5 0,1 a) b) 16 3 c) d) S12 129 5S5 S10 S4 u7 0,1 S21 3S10 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 54. Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm sáu số nữa để được một cấp số cộng. u1 9 Bài 55. Cho cấp số cộng un với . Tìm u25 . un 1 un 5 u5 43 Bài 56. Cho cấp số cộng un với . u21 171 a) Tìm d và u1 . b) Tìm u29 . c) 16123 là số hạng thứ bao nhiêu. d) 35 cĩ thuộc cấp số cộng trên hay khơng? File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  34. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 34 Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng un A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ❖Ở dạng đơn giản, ta cĩ thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u1 và cơng sai d : u2 u1 d; u3 u1 2d; u4 u1 3d;; un u1 n –1 d ❖ Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau: 1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, d là cơng sai. Ví dụ:  Cấp số cộng cĩ 3 số hạng: x – d; x ; x d  Cấp số cộng cĩ 5 số hạng: x – 2d; x – d; x ; x d; x 2d 2) Nếu số số hạng là số chẵn: 2d là cơng sai. Thí dụ:  Cấp số cộng cĩ 4 số hạng: x – 3d; x – d; x d ; x 3d  Cấp số cộng cĩ 6 số hạng: x – 5d; x – 3d; x – d; x d ; x 3d; x 5d Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số cộng. B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 22. Một cấp số cộng cĩ năm số hạng mà tổng số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28 , tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40 . Hãy tìm cấp số cộng đĩ. Ví dụ 23. Xác định 4 gĩc của một tam tứ giác lồi, biết rằng 4 gĩc hợp thành cấp số cộng và gĩc lớn nhất bằng 5 lần gĩc nhỏ nhất. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  35. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35 u2 u3 u5 10 Ví dụ 24. Cho CSC un thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên và cơng sai. u1 u6 17 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 57. Xác định số hạng đầu u1 và cơng sai d của một cấp số cộng khi biết: u u u 10 2u u u 12 u u 60 a) 2 3 5 b) 1 2 3 c) 1 15 2 2 u1 u6 17 2u2 u3 u5 20 u4 u12 1170 S 9 u u 4 4 1 7 u3 u5 14 d) 2 2 e) 45 f) u3 u7 122 S6 S12 129 2 Bài 58. Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng sau: a) Đặt 6 số giữa hai số 35 và 7 để được một cấp số cộng. b) Đặt 5 số giữa hai số 3 và 27 để được một cấp số cộng. c) Đặt 6 số giữa hai số 3 và 31 để được một cấp số cộng. d) Đặt 4 số giữa hai số 5 và 8 để được một cấp số cộng. e) Đặt 6 số giữa hai số 35 và 112 để được một cấp số cộng. Bài 59. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22 . Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đĩ. Bài 60. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 14. Tổng các bình phương của chúng bằng 94. Tìm bốn số đĩ. Bài 61. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng –10 . Tổng các bình phương của chúng bằng 70. Tìm bốn số đĩ. Bài 62. Bốn số lập thành một cấp số cộng là các số nguyên. Tổng của chúng bằng 20 và tích là 384. Tìm bốn số đĩ. Bài 63. Năm số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 15. Tổng các bình phương của chúng bằng 65. Tìm năm số đĩ. Bài 64. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất cĩ 1 cây, hàng thứ hai cĩ 2 cây, hàng thứ ba cĩ 3 cây, v.v Hỏi cĩ bao nhiêu hàng ? File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  36. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 36 Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ❖ Bài tốn 1. “Cho ba số a , b , c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K ”, khi đĩ ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1. Từ giả thiết a , b , c lập thành cấp số cộng, ta được: a c 2b hoặc biểu 1 thức tương đương: a – b b – c a – c 2 • Bước 2. Chứng minh tính chất K . ❖ Bài tốn 2. “Tìm điều kiện để 3 số, 4 số lập thành cấp số cộng”: • Để 3 số a , b , c lập thành cấp số cộng thì a c 2b . a c 2b • Để 4 số a , b , c , d lập thành cấp số cộng thì . b d 2c B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 25. Tìm x để ba số x2 1, x – 2, 1– 3x lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 26. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a) a2 2bc c2 2ab b) a2 8bc 2b c 2 c) 3 a2 b2 c2 6 a b 2 a b c 2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  37. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 65. Cho ba số a2 , b2 , c2 lập thành một cấp số cộng cĩ cơng sai d 0 . Chứng minh rằng ba số 1 1 1 , , cũng lập thành một cấp số cộng . b c c a a b 1 1 Bài 66. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số , , b c c a 1 cũng lập thành một cấp số cộng . a b Bài 67. Cho cấp số cộng u1, u2 , , un , trong đĩ ui 0 với mọi i 1, 2, , n . Chứng minh rằng 1 1 1 n 1 a)  . u1u2 u2u3 un 1un u1un 1 1 1 1 2 1 1 1 b)   . u1un u2un 1 un 1u2 unu1 u1 un u1 u2 un Bài 68. Cho cấp số cộng u1, u2 , , un , trong đĩ ui 0 với mọi i 1, 2, , n . Chứng minh rằng 1 1 1 n 1 . u1 u2 u2 u3 un 1 un un u1 Dạng 5. Tính tổng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ❖ Thơng thường bài tốn được chuyển tính tổng của một cấp số cộng. n u u n 2u1 n 1 d ❖ Sử dụng các cơng thức tính S : S 1 n . n n 2 2 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 27. Cho cấp số cộng un cĩ u2 u20 60 . Hãy tính tổng 21 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ. Ví dụ 28. Tính tổng S 105 110 115  995 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  38. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 38 Ví dụ 29. Tính tổng S 12 – 22 32 – 42  992 –1002 . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 69. Cho dãy số un với un 5n 2 . a) Chứng minh un là một cấp số cộng. b) Tìm S50 . c) Biết Sn 2576 , tìm n . Bài 70. Cho cấp số cộng un , biết u2015 u2016 500 . Tính tổng 4030 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Bài 71. a) Cho phương trình 1 6 11 16  x 970 . Tìm x biết 1, 6, 11, , x là một cấp số cộng. b) Giải phương trình x 1 x 4 x 7  x 28 155 , biết 1, 4, 7, , 28 là một cấp số cộng. BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 Bài 72. Cho cấp số cộng: 2 1; 2 ; 3 – 2; a) Tìm u10 ,un . b) Tìm S10 Bài 73. Cho cấp số cộng: 1; 5 ; 9;  a) Tìm u17 ,un . b) Tìm S17 Bài 74. Cho cấp số cộng un cĩ: a) u1 5, u10 50 . Tìm d và S10 b) u1 1,u2 5 . Tìm S10 c) u1 9,un 49,d 2,5 . Tìm n d) u7 –2, d 3 . Tìm u33 và S33 e) u5 5,u10 15 . Tìm u22 và S22 f) u5 19,u9 35, Sn 666. Tìm un . g) u4 u11 20 . Tìm S14 h) u3 u13 80 . Tìm S15 . Bài 75. Cho cấp số cộng un biết: 2 a) Sn 5n 3n (n ¥ ) . Tìm u1 và d b) Sm n, Sn m m n . Tìm Sm n . c) Sm Sn m n . Tìm Sm n . d) Chứng minh: S3n 3 S2n – Sn . Bài 76. Trong các dãy số un dưới đây, dãy nào là cấp số cộng. Khi đĩ tìm u1 và d . n a) un 3n – 7 b) un 5 – 2n c) un 3 3n 2 7 3n d) u n2 e) u f) u . n n 5 n 2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  39. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39 Bài 77. Tính a) Sn 1 2 3  n b) Sn 1 3 5  2n –1 c) Sn 2 4 6  2n e) Sn 105 110 115  995 . Bài 78. Xác định số hạng đầu u1 và cơng sai d của một cấp số cộng khi biết: u1 u3 u5 10 u7 u3 8 u3 u5 14 a) b) c) u1 u6 17 u2.u7 75 S12 129 u1 u2 u3 15 u10 u6 16 u2 u4 u6 36 d) e) 1 1 1 71 f) u1 u2 un 1 0 u2.u3 54 u1 u2 u3 105 u2 u3 un 36 Bài 79. Tìm x để 3 số liên tiếp sau lập thành cấp số cộng. a) x; x 3; 3 2x b) 1 sin x; sin2 x; 1 sin 3x . c) x2 ; x; – 3 m2 d) sin2 x; 2sin x; 3 e) 2m; ; 3 f) C k , C k 1 , C k 2 2 7 7 7 Bài 80. Xác định m để phương trình: a) x3 3x2 9x m 0 cĩ 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. b) x4 2 m 1 x2 2m 1 0 cĩ 4 nghiệm lập thành cấp số cộng. A B C Bài 81. Cho ABC cĩ tan ; tan ; tan liên tiếp tạo thành cấp số cộng. CMR: cos A; cos B; cosC 2 2 2 cũng liên tiếp tạo thành cấp số cộng. Bài 82. Cho a , b , c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. CMR: 2 3 a) a b c a2 b c b2 a c c2 a b 9 b) a2 – bc;b2 – ac;c2 – ab cũng lập thành một cấp số cộng. c) a2 ab b2 ;a2 ac c2 ;b2 bc c2 lập thành một CSC. Bài 83. Cho a, b, c 0 liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. 1 1 1 Chứng minh 3 số: ; ; cũng lập thành một cấp số cộng. b c c a a b Bài 84. Cho a , b , c là 3 số dương. Chứng minh rằng a2 ,b2 ,c2 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 1 1 ; ; lập thành một cấp số cộng. b c c a a b Bài 85. Cho a , b , c là 3 số dương. Cho a2 , b2 , c2 lập thành cấp số cộng. a b c Chứng minh: ; ; lập thành một cấp số cộng. b c c a a b an b Bài 86. Cho dãy số u với u ( a,b,c ¡ và c 0 ). n n c Chứng minh rằng un là một cấp số cộng. Bài 87. Cho cấp số cộng un thỏa: u2 u3 u5 u12 u14 u15 150 . Tính: a) u2 u15 b) u4 u13 . c) Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  40. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 40 Bài 88. Ba gĩc của một tam giác vuơng lập thành một cấp số cộng. Tìm ba gĩc đĩ. Bài 89. Một cấp số cộng cĩ 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số cộng đĩ. Bài 90. Ba số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 21. Tổng các bình phương của chúng bằng 155. Tìm ba số đĩ. Bài 91. Năm số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 40 . Tổng các bình phương của chúng bằng 480. Tìm năm số đĩ. Bài 92. Một tam giác vuơng cĩ 3 cạnh tạo thành cấp số cộng, tổng bình phương 3 cạnh là 800. Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác đĩ. Bài 93. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuơng biết số đo của chúng tạo thành cấp số cộng và cạnh huyền bằng 35. Bài 94. Các gĩc của một tam giác tạo thành cấp số cộng và số đo gĩc nhỏ nhất bằng ½ số đo gĩc lớn nhất. Tìm số đo các gĩc của tam giác đĩ. u1 2 Bài 95. Cho dãy số un định bởi: u . u n n 1 1 un a) Hãy xác định số hạng tổng quát un . Suy ra un 0 với n ¥ . un 1 b) Đặt vn . Chứng minh rằng vn là một cấp số cộng. un BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 u1 1 Câu 137. Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới un 1 un ( 1) đây 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 ( 1) . D. un n . u1 1 Câu 138. Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây un 1 un 1 A. un 2 n . B. un khơng xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n. Câu 139. Cho cấp số cộng 2, x, 6, y . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. x 6, y 2 . B. x 1, y 7 . C. x 2, y 8 . D. x 2, y 10 . Câu 140. Khẳng định nào sau đây là sai. 1 1 3 1 1 A. Dãy số ; 0; ; 1; ; là một cấp số cộng với u ; d . 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 B. Dãy số ; ; ; là một cấp số cộng với u ; d . 2 22 23 1 2 2 C. Dãy số: 2; 2; 2; 2; là cấp số cộng với u1 2; d 0 . D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; khơng phải là một cấp số cộng. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  41. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41 1 1 Câu 141. Cho một cấp số cộng cĩ u ; d . Hãy chọn kết quả đúng. 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển: ; 0; 1; ; 1; B. Dạng khai triển: ; 0; ; 0; ; 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển: ; 1; ; 2; ; D. Dạng khai triển: ; 0; ; 1;. ; 2 2 2 2 2 2 Câu 142. Cho cấp số cộng un . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u A. 10 20 u u . B. u u 2u . 2 5 10 90 210 150 u .u C. u .u u . D. 10 30 u . 10 30 20 2 20 Câu 143. Cho dãy số un xác định bởi: u1 150 và un un 1 3 với mọi n 2 . Khi đĩ tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đĩ bằng A. 150. B. 300 . C. 29850 . D. 59700 . Câu 144. Cho cấp số cộng un cĩ: u2 2001 và u5 1995 . Khi đĩ u1001 bằng A. 4005 . B. 4003. C. 3 . D. 1. Câu 145. Cho một cấp số cộng cĩ u1 3; u6 27 . Tìm d ?. A. d 5. B. d 7 . C. d 6 . D. d 8. 1 Câu 146. Cho một cấp số cộng cĩ u ; u 26 . Tìm d ?. 1 3 8 11 3 10 3 A. d . B. d . C. d . D. d . 3 11 3 10 Câu 147. Cho một cấp số cộng cĩ: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là. A. 1,6 . B. 6 . C. 0,5. D. 0,6 . Câu 148. Cho cấp số cộng un tăng cĩ hai số hạng là 3 và 37 , biết giữa hai số trên cĩ 9 số hạng. Chọn khẳng định đúng A. Trong 9 số nĩi ở đề bài cĩ số 16. B. Tổng của 11 số hạng trên bằng 186. C. Trong 9 số nĩi ở đề bài cĩ số 29 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Câu 149. Cho cấp số cộng un cĩ số 10 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối là 65. Chọn khẳng định đúng A. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 335 . B. Cơng sai của cấp số cộng bằng 1,4 . C. Tổng của các số hạng của cấp số cộng là 671. D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. 1 u1 Câu 150. Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 Câu 151. Cho một cấp số cộng CSC cĩ: u1 0,1; d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Số hạng thứ 7 của CSC là 0,6 . B. CSC khơng cĩ hai số 0,5 và 0,6 . C. Số hạng thứ 6 của CSC là 0,5. D. Số hạng thứ 4 của CSC là 3,9 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  42. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 42 Câu 152. Cho cấp số cộng un cĩ u4 8; u7 14 . Cấp số cộng trên cĩ: A. u5 u7 26 . B. u6 3u2 . C. 2u3 4u5 33. D. 3u5 u2 41. Câu 153. Cho cấp số cộng un cĩ u4 3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S9 45 . Cấp số cộng trên cĩ: A. S10 92. B. S20 980 . C. S3 56 . D. S16 526. Câu 154. Cho cấp số cộng un ; Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của un . Biết S5 25; S16 160 . Khi đĩ: un cĩ: 10 83 A. d 1. B. u 3. C. d . D. u . 1 11 1 11 Câu 155. Cho cấp số cộng un cĩ 9 số hạng, biết tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15, tổng của 4 số hạng cuối bằng 86 . Cấp số cộng này cĩ: A. d 2 . B. u1 3. C. d 3. D. u1 4 . n Câu 156. Cho các dãy un ; sn : un 1 3n; sn 2 . Chọn khẳng định đúng A. un và sn là hai cấp số cộng. B. un là cấp số cộng và sn khơng phải là cấp số cộng. C. sn là cấp số cộng và un khơng phải là cấp số cộng. D. un khơng là cấp số cộng và sn khơng là cấp số cộng. 2 Câu 157. Cho các dãy vn ; tn : vn 2n 1; tn n . Chọn khẳng định đúng A. vn và tn là hai cấp số cộng. B. vn là cấp số cộng và tn khơng phải là cấp số cộng. C. tn là cấp số cộng và vn khơng phải là cấp số cộng. D. vn khơng là cấp số cộng và tn khơng là cấp số cộng. Câu 158. Cho một cấp số cộng CSC cĩ: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai. A. Số hạng thứ 2 của CSC là1,4 . B. Số hạng thứ 3 của CSC là 2,5. C. Số hạng thứ 4 của CSC là 3,6 . D. Số hạng thứ 7 của CSC là 7,7 . Câu 159. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được dãy số cĩ 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18 . D. 6; 12; 18. 1 16 Câu 160. Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được dãy số cĩ 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Câu 161. Cho dãy số un với: un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai A. 3 số hạng đầu của dãy: u1 5; u2 3; u3 1. B. Số hạng thứ n 1 là un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng cĩ d 2 . D. Số hạng thứ 4 là u4 1. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  43. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43 1 Câu 162. Cho dãy số u với: u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng n n 2 1 A. Dãy số này khơng phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n 1:u n . n 1 2 1 C. Hiệu:u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là S 12. n 1 n 2 5 Câu 163. Cho dãy số un với: un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai A. Là cấp số cộng cĩ d 2 . B. Là cấp số cộng cĩ d 2 . C. Số hạng thứ n 1:u 2n 7 . D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là S 40 . n 1 4 Câu 164. Trong các dãy số (un ) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng u1 1 u1 2 u1 1 u1 3 A. 3 . B. . C. . D. . un 1 un 1 un 1 un n un 1 un 2 un 1 2un 1 Câu 165. Cho cấp số cộng: 6, x, 2, y . Hãy chọn kết quả đúng. A. x 2, y 5 . B. x 4, y 6. C. x 2, y 6 . D. x 4, y 6 . Câu 166. Cho cấp số cộng un cĩ 2u4 3u5 5 và tổng của ba số hạng đầu tiên bằng 15. Cấp số cộng này cĩ u8 bằng bao nhiêu: A. 7 . B. 7 . C. 9 . D. 9 . 1 Câu 167. Cho cấp số cộng u cĩ: u 3; d . Khẳng định nào sau đây là đúng n 1 2 1 1 A. u 3 n 1 . B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. un 3 n 1) . D. un n 3 n 1 . 2 4 4 1 Câu 168. Cho cấp số cộng u cĩ u ; d . Khẳng định nào sau đây đúng n 1 5 4 5 4 5 4 A. S . B. S . C. S . D. S . 1 4 1 5 1 4 1 5 Câu 169. Cho cấp số cộng un cĩ d 2; S8 72 . Tính u1 1 1 A. u 16 . B. u 16 . C. u . D. u . 1 1 1 16 1 16 Câu 170. Cho cấp số cộng un cĩ d 0,1; S5 0,5 . Tính u1 10 10 A. u 0,3. B. u . C. u . D. u 0,3. 1 1 3 1 3 1 Câu 171. Cho cấp số cộng un cĩ u1 1, d 2, Sn 483 . Tính số các số hạng của cấp số cộng A. n 20 . B. n 21. C. n 22 . D. n 25 . Câu 172. Cho cấp số cộng un cĩ u1 2; d 2; S 15 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 8 số hạng đầu của cấp số cộng. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  44. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 44 Câu 173. Cơng thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 , cơng sai d A. un un d . B. un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d . D. un u1 n 1 d . Câu 174. Cho cấp số cộng hữu hạn un cĩ số hạng đầu u1 3. Chọn khẳng định đúng A. Nếu cơng sai d 4 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 78 . B. Nếu cơng sai d 2 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 18 . C. Nếu cơng sai d 6 thì tổng của các số hạng của cấp số cộng là S 10 . D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai. Câu 175. Xác định x để 3 số 1 x; x2 ; 1 x lập thành một cấp số cộng A. Khơng cĩ giá trị x . B. x 2. C. x 1. D. x 0 . Câu 176. Xác định x để 3 số 1 2x; 2x2 1; 2x lập thành một cấp số cộng 3 3 A. x 3 . B. x . C. x . D. Khơng cĩ giá trị x . 2 4 Câu 177. Xác định a để 3 số 1 3a ; a2 5; 1 a lập thành một cấp số cộng A. Khơng cĩ giá trị a . B. a 0 . C. a 1. D. a 2 . Câu 178. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a2 c2 2ab 2bc . B. a2 c2 2ab 2bc . C. a2 c2 2ab 2bc . D. a2 c2 ab bc . Câu 179. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng A. a2 c2 2ab 2bc 2ca . B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac . D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Câu 180. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng a A. 2b2 , a2 , c2 . B. 2c, 4b, 2a . C 2b, a, c . D. 2b, , c . 2 Câu 181. Cho cấp số cộng un cĩ u4 12; u14 18 . Tìm u1; d của cấp số cộng? A. u1 20; d 3. B. u1 22; d 3. C. u1 21; d 3. D. u1 21; d 3. Câu 182. Cho cấp số cộng un cĩ u4 12; u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S 24 . B. S 24 . C. S 26 . D. S 25. Câu 183. Cho cấp số cộng un cĩ u5 15, u20 60 . Tìm u1 , d của cấp số cộng A. u1 35, d 5. B. u1 35, d 5. C. u1 35, d 5. D. u1 35, d 5. Câu 184. Cho cấp số cộng un cĩ u5 15; u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S 200 . B. S 200 . C. S 250 . D. S 25. Câu 185. Cho cấp số cộng un cĩ u2 u3 20; u5 u7 29. Tìm u1; d A. u1 20; d 7 . B. u1 20,5; d 7 . C. u1 20,5; d 7 . D. u1 20,5; d 7 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  45. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45 Câu 186. Cho cấp số cộng: 2; 5; 8 ; 11 ; 14 ,; Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên A. d 3; S20 510 . B. d 3; S20 610 . C. d 3; S20 610 . D. d 3; S20 610. Câu 187. Cho tam giác ABC biết 3 gĩc của tam giác lập thành một cấp số cộng và cĩ một gĩc bằng 25 .Tìm 2 gĩc cịn lại A. 65; 90 . B. 75; 80 . C. 60; 95 . D. 60; 90 . µ Câu 188. Cho tứ giác ABCD biết sn gĩc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và gĩc A bằng 30 . Tìm các gĩc cịn lại A. 75; 120; 165 . B. 72; 114; 156 . C. 70; 110; 150 . D. 80; 110; 135 . 1 1 3 5 Câu 189. Cho dãy số u : ; - ; - ; - ; .Khẳng định nào sau đây sai n 2 2 2 2 A. un là một cấp số cộng. B. Dãy số là một cấp số cộng cĩ d 1. C. Số hạng u20 19,5. D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . 2n 1 Câu 190. Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây đúng n n 3 1 2 1 2 A. u là cấp số cộng cĩ u ; d - . B. u là cấp số cộng cĩ u ; d . n 1 3 3 n 1 3 3 C. un khơng phải là cấp số cộng. D. un là dãy số giảm và bị chặn. 1 Câu 191. Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai n n n 2 1 1 A. Dãy số u là cấp số cộng cĩ u ; u . n 1 2 n n 2 B. Dãy số un là một dãy số giảm dần. C. Dãy số un là một cấp số cộng. 1 D. Dãy số u bị chặn trên bởi M . n 2 2n2 1 Câu 192. Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai n n 3 1 2 A. Dãy số u là cấp số cộng cĩ u ; d . n 1 3 3 (2n 1)2 1 B. Số hạng thứ n 1: u . n 1 3 2(2n 1) C. Hiệu u u . n 1 n 3 D. Khơng phải là một cấp số cộng. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  46. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 46 Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN ① Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vơ hạn), trong đĩ, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nĩ với một số khơng đổi q gọi là cơng bội. un+1 = un .q ( q : cơng bội; n ¥ ) (1) Đặc biệt: Khi q 0 , cấp số nhân là u1; 0; 0; 0; Khi q 1, cấp số nhân là u1; u1; u1; u1;  Khi u1 0 , cấp số nhân là 0; 0; 0; 0; (với mọi q ) n–1 ② Số hạng tổng quát: un = u1 .q n 2 (2) ③ Tính chất các số hạng của cấp số nhân: Trong một cấp số nhân. Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữa hạn), đều cĩ bình phương là tích của hai số hạng kề bên nĩ, tức là: 2 uk uk 1.uk 1 hay uk uk 1.uk 1 k 2 (3) ④ Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân un với cơng bội q 1. n u1 1 q Đặt S u u u  u . Khi đĩ: S (4) n 1 2 3 n n 1 q Nếu q 1 thì Sn nu1 . (5) ⑤ Các số hạng liên tiếp: x • Nếu cấp số nhân cĩ lẻ số hạng thì: ; ; x ; xa ; a x x • Nếu cấp số nhân cĩ chẵn số hạng thì: ; ; xa ; xa3 ; a3 a Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân un A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Muốn xác định một cấp số nhân, ta chỉ cần xác định một số hạng và cơng bội của nĩ. ❖Ở dạng đơn giản, ta cĩ thể trực tiếp tìm bằng cách chuyển về xác định u1 và cơng sai d : 2 3 n–1 u2 u1q;u3 u1q ;u4 u1q ;;un u1q ❖ Trong một số trường hợp, để đơn giản hơn ta thường là như sau: 1) Nếu số số hạng là số lẻ: ta đặt x là số chính giữa, q là cơng bội. Ví dụ: x  Cấp số cộng cĩ 3 số hạng: ; x ; q.x q x x  Cấp số cộng cĩ 5 số hạng: ; ; x ; q.x ; q2.x q2 q 2) Nếu số số hạng là số chẵn: q2 là cơng sai. Thí dụ: x x  Cấp số cộng cĩ 4 số hạng: ; ; q.x ; q3 x q3 q x x x  Cấp số cộng cĩ 6 số hạng: ; ; ; q.x ; q3x ; q5x q5 q3 q Từ các cách đặt ở trên, dựa vào các điều kiện của đề bài ta xác định được cấp số nhân. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  47. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 30. Cho cấp số cộng un thỏa mãn u4 – u2 72 và u5 – u3 144 . Tìm số hạng đầu tiên và cơng bội. Ví dụ 31. Một cấp số nhân cĩ 5 số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số hạng dương, tích của số hạng 1 đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng . Hãy tìm cấp số 16 nhân đĩ. Ví dụ 32. Tìm ba số hạng liên tiếp a , b , c của 1 cấp số nhân biết a b c 14 và abc 64 . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 96. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp sống nhân un , biết u5 u1 15 u20 8u17 u1 u3 u5 65 u2 u4 u5 10 a) . b) . c) . d) . u4 u2 6 u3 u5 240 u1 u7 325 u3 u5 u6 20 Bài 97. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp sống nhân un , biết 1 1 1 1 1 u1 u2 u3 u4 u5 49 u1 u2 u3 14 a) u1 u2 u3 u4 u5 . b) . u1.u2.u3 64 u1 u3 35 Bài 98. Tìm cơng bội của cấp sống nhân un , biết u1 u2 u3 26 u1 u2 u3 u4 15 a) . b) . 2 2 2 2 2 2 2 u1 u2 u3 364 u1 u2 u3 u4 85 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  48. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 48 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI n–1 Để xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta sử dụng cơng thức: un u1.q . Tức là đi xác định số hạng đầu và cơng bội q . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 33. Tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân un biết rằng u3 –5 và u6 135 Ví dụ 34. Cho cấp số nhân un cĩ u3 15, u6 0 . Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đĩ. Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Câu hỏi thường đặt ra là: “Cho ba số a , b , c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K ”, khi đĩ ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Từ giả thiết a , b , c lập thành cấp số nhân, ta được: a.c b2 Bước 2. Chứng minh tính chất K . B. BÀI TẬP MẪU 2 Ví dụ 35. Cho ba số a , b , c lập thành một cấp số nhân. CMR: a2 b2 b2 c2 ab bc File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  49. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49 Ví dụ 36. Các số x 6y, 5x 2y, 8x y theo thứ tự đĩ lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x 1, y 2, x 3y theo thứ tự đĩ lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . Ví dụ 37. Tìm x để ba số x 2, x 4 , x 2 lập thành một cấp số nhân. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 99. Tìm các số dương x , y sao cho 2x 1, 2x y, 2y 1 theo thứ tự đĩ lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số y 3 2 , xy 4, x 1 2 theo thứ tự đĩ lập thành một cấp số nhân. Tìm x và y . 1 1 1 Bài 100. Chứng minh rằng nếu a, b, c lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi , , lập thành a b c một cấp số nhân. Bài 101. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng a) a2 4ab 8bc 4c2 a 2b 2c 2 . b) a b c a b c a2 b2 c2 . Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Để chứng minh ba số a , b , c lập thành một cấp số nhân ta đi chứng minh: a.c b2 • Để chứng minh dãy số u1,u2 ,u3 ,,un –1,un lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: u u u 2 3 n q ( q : cơng sai) u1 u2 un 1 B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 38. Cho dãy số un xác định bởi: u1 1 và un 1 5.un 8, n 1. a) Chứng minh rằng dãy số vn , với vn un 2 là cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đĩ. b) Dựa vào kết quả phần a), hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số un . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  50. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 50 2 1 2 Ví dụ 39. Cho ba số , , lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a , b và c lập b a b b c thành một cấp số nhân. Dạng 5. Tính tổng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ❖ Thơng thường bài tốn được chuyển tính tổng của một cấp số nhân. qn 1 ❖ Sử dụng các cơng thức tính S : S u  . Sau đĩ tìm được u , q và n . n n 1 q 1 1 ❖ Đối với cấp số nhân lùi vơ hạn: ✓ Trước tiên ta xét xem cấp số nhân cĩ lùi vơ hạn hay khơn. Nếu cĩ ta xét tiếp xem q 1 khơng ? u ✓ Nếu q 1 tính tổng S 1 . n 1 q B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 40. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  51. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51 1 Ví dụ 41. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng , số hạng thứ 256 1 1 hai bằng và số hạng cuối bằng . 512 1048576 Ví dụ 42. Tính tổng S 2 6 18 13122. Ví dụ 43. [NC] Tính tổng S 1 11 111 1111 111. 1. n số 1 Ví dụ 44. Tính tổng S 8 4 2 1 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  52. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 52 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN u1 u5 51 Bài 102. Cho cấp số nhân cĩ . u2 u6 102 a) Tìm số hạng đầu tiên và cơng bội. b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên. c) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765. d) Số 12288 là số hạng thứ mấy ? Bài 103. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp sống nhân un , biết u1 1 S4 40 a) 38 1 . b) . S 680 S8 8 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 Bài 104. Cho cấp số nhân un cĩ: u5 96 , u6 192 . a) Tìm u1 , q . b) Tìm S4 . Bài 105. Tính số hạng un trong các cấp số nhân dưới đây: 1 1 a) 1; ; , . Tính u . b) 2; 4; 8;.Tính u . 3 9 8 11 Bài 106. Cho cấp số nhân un cĩ: a) u1 2 , u11 64 . Tìm q . b) u3 18, u6 –486 . Tìm u1 , q , S6 . c) u1 2 , q 3, un 486. Tìm n . d) q 2 , S7 384 . Tìm u2 . e) u1 3, q –2. Tìm S6 . f) q 2 , u7 192 . Tìm S4 . Bài 107. Tính tổng sau: 2 3 99 a) S 3 33 333. 3 b) S 1 2.2 3.2 4.2  100.2 n số 3 u 1 1 Bài 108. Cho dãy số un định bởi: 1 n ¥ * . Tính un theo n . u u 1 n 1 3 n u1 0 un 1 Bài 109. Cho dãy số un : u 2 n ¥ * và vn : vn . u n n 1 un 2 un 4 a) Chứng minh vn là một cấp số nhân. b) Tính vn và un theo n . n Bài 110. Tổng n số hạng đầu của dãy số un là Sn 3 1. a) Tính un theo n . b) Chứng minh dãy số un là cấp số nhân. Bài 111. Xác định u1 và q của một cấp số nhân khi biết: u6 3 u5 u3 144 u5 u4 72 a) b) c) u9 81 u4 u2 72 u7 u4 216 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  53. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53 u1 u3 u5 65 u1 u2 u3 168 u1 u2 u3 13 d) e) f) u1 u7 325 u4 u5 u6 21 u4 u5 u6 315 u2 u4 u6 42 u1 u6 244 u1 u2 u3 u4 15 g) h) i) 2 2 2 2 u3 u5 20 u3 u4 36 u1 u2 u3 u2 85 Bài 112. Tìm các số hạng của cấp số nhân sau: a) Cĩ 6 số hạng mà số hạng đầu là 1 và số hạng cuối là 128. b) Cĩ 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 và số hạng cuối là 243. c) Cĩ 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1. 1 d) Cĩ 5 số hạng cơng bội bằng số hạng thứ nhất, tổng của 2 số hạng đầu bằng 21. 4 e) Cĩ 6 số hạng, 3 số hạng đầu cĩ tổng bằng 168, 3 số hạng cuối cĩ tổng bằng 21. f) Cĩ 3 số hạng, tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64 . Bài 113. Tìm cấp số nhân cĩ 5 số hạng dương. Biết rằng: u1.u5 u2.u3.u4 12 u1.u5 25 u1 u5 164 a) b) c) 242 u2 u3 u4 31 u2 u3 u4 78 u1 u2 u3 u4 u5 9 Bài 114. Tìm bốn gĩc của một tứ giác, biết rằng các gĩc đĩ lập thành một cấp số nhân và gĩc cuối gấp 9 lần gĩc thứ hai. Bài 115. Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của nĩ bằng a3 , diện tích tồn phần của nĩ bằng 2a2 và ba cạnh lập thành một cấp số nhân. Bài 116. Cho 3 số a, b, c 0 lập thành cấp số nhân. Chứng minh: a b c a – b c a2 b2 c2 Áp dụng: Tìm 3 số hạng của cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của chúng bằng 84 . Bài 117. Tìm CSN a , b , c biết a b c , a.b.c 216 và a b c 19. 2 1 2 Bài 118. Cho ba số: ; ; lập thành cấp số cộng. Chứng minh: a , b , c lập thành cấp số b a b b c nhân. Bài 119. Cho 3 số a , b , c lập thành cấp số nhân. Chứng minh: a) ab bc ca 3 abc a b c 3 b) a2 b2 b2 c2 ab bc 2 Bài 120. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đĩ lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số cộng ấy. Bài 121. Cho 3 số 1; 9 ; 33 . Tìm một số x phải cộng thêm vào 3 số trên để 3 số mới lập thành một cấp số nhân. Bài 122. Ba số khác nhau lập thành một cấp số cộng cĩ tổng là 6 . Bình phương ba số ấy lập thành một cấp số nhân. Tìm cấp số cộng đĩ. Bài 123. Tìm 3 số tạo thành một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng 91. Nếu lần lượt thêm các số 25 ; 27 ; 1 vào 3 số đĩ ta được ba số mới lập thành một cấp số cộng. Bài 124. ABC vuơng tại A cĩ độ dài 3 cạnh a , b , c lập thành một cấp số nhân và tích độ dài của chúng là 8 . Xác định độ dài 3 cạnh của ABC . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  54. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 54 a b Bài 125. Cho a, b 0 . Đặt thêm 5 số giữa hai số ; để được cấp số nhân. b2 a2 Bài 126. Cho a, b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng a) b c 2 c a 2 d b 2 a d 2 . b) ab bc cd 2 a2 b2 c2 b2 c2 d 2 . 2 2 2 1 1 1 3 3 3 c) a b c 3 3 3 a b c . a b c 2 1 2 Bài 127. Cho ba số , , (b 0, b a, b c ) tạo thành cấp số cộng. Chứng minh a, b, c b a b b c tạo thành cấp số nhân. Bài 128. Tìm 2 số a , b dương biết: 1, a, b là cấp số cộng a, b, 9 là cấp số cộng a) b) 2 2 1, a , b là cấp số nhân a, b,12 là cấp số nhân 4, a 8, b là cấp số cộng a, a 2b, 2a b là cấp số cộng c) d) 2 2 4, a, b là cấp số nhân (b 1) , ab 5, (a 1) là CSN. Bài 129. Tìm 3 số a , b , c biết: a b c 30 a, b, c là cấp số cộng a) a, b, c là cấp số cộng b) 2 2 2 a , b , c là cấp số nhân a, c, b là cấp số nhân a b c 91 a b c 52 c) a, b, c là cấp số nhân d) a, b, c là cấp số nhân a 25, b 27, c 1là CSC. a 1, b 10, c 3 là CSC. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 Câu 193. Cho dãy số: 1; 1; 1; 1; 1; Khẳng định nào sau đây là đúng A. Dãy số này khơng phải là cấp số nhân. n B. Số hạng tổng quát un 1 1. C. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u1 1; q 1. 2n D. Số hạng tổng quát un 1 . 1 1 1 1 Câu 194. Cho dãy số: 1; ; ; ; ; . Khẳng định nào sau đây là sai 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân cĩu 1; q . B. Số hạng tổng quát u . 1 2 n 2n 1 1 C. Số hạng tổng quát u . D. Dãy số này là dãy số giảm. n 2n 1 1 Câu 195. Cho cấp số nhân: ; a; . Giá trị của a là 5 125 1 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a 5. 5 25 5 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  55. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55 Câu 196. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 u u 1 1 2 u1 1; u2 2 A. 2 . B. 2 . C. un n 1. D. . 2 un 1 un 1.un un 1 un un 1 2 . un Câu 197. Cho dãy số: 1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? A. Khơng cĩ giá trị nào của x . B. x 0,008. C. x 0,008 . D. x 0,004 . Câu 198. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. u 1. B. u . C. u n2 . D. u n2 . n 4n n 4n 2 n 4 n 4 Câu 199. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. n n 1 1 A. un là cấp số tăng. B. un là cấp số tăng. 4 4 n n C. un 4 là cấp số tăng. D. un 4 là cấp số tăng. Câu 200. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3 A. u là dãy số giảm. B. u là dãy số giảm. n 10n n 10n n n C. un 10 là dãy số giảm. D. un 10 là dãy số giảm. Câu 201. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 5 1 A. Cấp số nhân: 2; 2, 3; 2, 9;cĩ u6 2 . 3 6 B. Cấp số nhân: 2; 6; 18; cĩ u6 2 3 . C. Cấp số nhân: 1; 2; 2;cĩ u6 2 2 . D. Cấp số nhân: 1; 2; 2; cĩ u6 4 2 . Câu 202. Cho cấp số nhân un cĩ cơng bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u A. u u .u . B. u k 1 k 1 . k k 1 k 2 k 2 k 1 C. uk u1q . D. uk u1 k 1 q . u 2 1 Câu 203. Cho dãy số un xác định bởi: 1 . Chọn hệ thức đúng: u .u n 1 10 n 1 1 A. u là cấp số nhân cĩ q . B. u ( 2) . n 10 n 10n 1 u u C. u n 1 n 1 n 2 . D. u u .u n 2 . n 2 n n 1 n 1 Câu 204. Xác định x để 3 số 2x –1; x, 2x 1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x . B. x 3 . 3 1 C. x . D. Khơng cĩ giá trị nào của x . 3 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  56. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 56 Câu 205. Xác định x để 3 số x – 2; x 1; 3 – x lập thành một cấp số nhân: A. Khơng cĩ giá trị nào của x . B. x 1. C. x 2 . D. x 3. 2 3 Câu 206. Cho dãy số un : 1; x; x ; x ;  (với x ¡ ; x 1; x 0 ). Chọn mệnh đề đúng: n A. un là cấp số nhân cĩ un x . B. un là cấp số nhân cĩ u1 1, q x . C. un khơng phải là cấp số nhân. D. un là một dãy số tăng. 3 5 7 Câu 207. Cho dãy số un : x; x ; x ; x ;  ( với x ¡ , x 1, x 0 ). Chọn mệnh đề sai: A. un là dãy số khơng tăng, khơng giảm. n 1 2n 1 B. un là cấp số nhân cĩ un 1 x . x 1 x2n 1 C. u cĩ tổng S . n n 1 x2 2 D. un là cấp số nhân cĩ u1 x; q x . Câu 208. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0,2; 0,04; 0,0008; . B. 2; 22; 222; 2222; . 2 4 6 C. x; 2x; 3x; 4x;  D. 1; x ; x ; x ; . 2 Câu 209. Cho cấp số nhân cĩ u 3, q . Chọn kết quả đúng: 1 3 n 1 4 8 16 2 A. 4 số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; ; . B. un 3. . 3 3 3 3 n 2 C. Sn 9. 9 . D. un là một dãy số tăng dần. 3 2 Câu 210. Cho cấp số nhân cĩ u 3; q . Tính u ? 1 3 5 27 16 16 27 A. u . B. u . C. u . D. u . 5 16 5 27 5 27 5 16 2 96 Câu 211. Cho cấp số nhân cĩ u 3; q . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 A. Thứ 5 . B. Thứ 6 . C. Thứ 7 . D. Khơng phải là số hạng của cấp số. 1 Câu 212. Cho cấp số nhân cĩ u ; u 16 . Tìm q và u . 2 4 5 1 1 1 1 1 A. q ; u . B. q ; u . 2 1 2 2 1 2 1 1 C. q 4; u . D. q 4; u . 1 16 1 16 n Câu 213. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng un 1 bằng A. 3n 1. B. 3n 3. C. 3n.3. D. 3 n 1 . File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  57. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57 n Câu 214. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng u2n bằng A. 2.3n . B. 9n . C. 3n 3. D. 6n . n Câu 215. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng un 1 bằng 1 A. 3n 1. B. .3n . C. 3n 3 . D. 3n 1. 3 1 Câu 216. Ta cĩ u 3n 1 .3n . Cho dãy số u , biết u 3n . Số hạng u bằng n 1 3 n n n 1 1 A. 3n 1. B. .3n . C. 3n 3 . D. 3n 1. 3 n Câu 217. Cho dãy số un , biết un 3 . Số hạng u2n 1 bằng A. 32.3n 1. B. 3n.3n 1 . C. 32n 1. D. 32 n 1 . Câu 218. Cho cấp số nhân 4, x, 9 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. x 36 . B. x 6,5. C. x 6. D. x 36. Câu 219. Trong các dãy số cho bởi các cơng thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân u1 2 u1 1 A. 2 . B. . un 1 un un 1 3un u1 3 C. . D. 7, 77, 777, , 777. 7 . un 1 un 1 n ch÷ sè 7 Câu 220. Cho cấp số nhân (un ) cĩ: u2 2 và u5 54 . Khi đĩ tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đĩ bằng 1 31000 31000 1 31000 1 1 31000 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 6 Câu 221. Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 3, u2 6 . Hãy chọn kết quả đúng. A. u5 24 . B. u5 48 . C. u5 48. D. u5 24 . Câu 222. Cho cấp số nhân: 2 , x , 18 , y . Hãy chọn kết quả đúng. x 6; y 54 A. x 6, y 54 . B. x 10, y 26 . C. . D. x 6, y 54 . x 6; y 54 n Câu 223. Cho dãy số un , với un 3 . Hãy chọn hệ thức đúng. u u u .u A. 1 9 u . B. 2 4 u . 2 5 2 3 u 1 C. 1 u u u 100 . D. u .u u u . 1 2 100 2 1 2 100 5050 x Câu 224. Cho dãy số (x ) xác định bởi x 12 và x n 1 với mọi n 2, 3, 4 n 1 n 3 Tổng 15 số hạng đầu của dãy (xn ) là 28697812 28697813 28697813 7174453 A. . B. . C. . D. . 1594323 1594323 1594324 398581 Câu 225. Cho cấp số nhân cĩ số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai là 1 . Ba số hạng tiếp theo là 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 3; 9; 27 . B. ; ; . C ; ; . D. ; ; . 3 9 27 4 8 16 2 4 8 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  58. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 58 Câu 226. Cho cấp số nhân đơn điệu cĩ 7 số hạng với số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 192 . Số hạng thứ tư của cấp số nhân này là bao nhiêu A. 24 . B. 24 . C. 48 . D. 96 . Câu 227. Cho cấp số nhân un cĩ u1 3; u4 24 . Chọn khẳng định đúng. A. u2 6; u3 8 . B. u2 4; u3 8 . C. u2 6; u3 12 . D. u2 12; u3 20 . Câu 228. Cho cấp số nhân un cĩ 10 số hạng, biết u2 1 và u3 3. Năm số hạng cuối cùng của cấp số nhân trên là A. 729; 2187; 6561; 19683; 59049 . B. 27; 81; 243; 729; 2187 . C. 81; 243; 2187; 6561. D. 243; 729; 2187; 6561; 19683. Câu 229. Cho cấp số nhân un thỏa mãn: u4 u2 25; u3 u1 50 . Cấp số nhân trên cĩ: 200 200 1 100 A. u . B. u . C. q . D. u . 1 3 1 3 2 2 3 Câu 230. Cho cấp số nhân un tăng, cĩ u1 u4 27, u2.u3 72 .Cấp số nhân này cĩ u7 bằng A. 129. B. 192. C 291. D. 191. Câu 231. Cho cấp số nhân: u1, u2 , u3 biết u1u2u3 8000. Giá trị u2 bằng A. 10. B. 30 . C. 20 . D. 40 . Câu 232. Cho cấp số nhân x, y, z biết tổng x y z 26, x2 y2 z2 364 .Khi đĩ giá trị của y bằng A. .1 0 B. . 11 C. . 12 D. . 6 Câu 233. Cho cấp số nhân tăng un gồm bảy số hạng, biết tổng 3 số hạng đầu tiên bằng 7 , tổng 3số hạng cuối cùng bằng 112 . Chọn khẳng định đúng : A. un cĩ cơng bội bằng 3 . B. un cĩ số hạng đầu bằng 2 . C. un cĩ u3 10 . D. un cĩ tổng các số hạng bằng 127 . Câu 234. Cho cấp số nhân vơ hạn un cĩ u1 5, cơng bội q là số nguyên dương. Số 45 là một số hạng của dãy. Chọn khẳng định đúng: A. 45 là số hạng thứ 4 của dãy. B. .u2 20 C. Cơng bội của cấp số nhân bằng 3 . D. Cơng bội của cấp số nhân bằng 4 . Câu 235. Cho cấp số nhân un cĩ 10 số hạng khác nhau. Biết rằng tổng tất cả các số hạng gấp lần3 tổng các số hạng cĩ thứ tự lẻ. Cơng bội cấp số nhân này bằng. A. .q 4 B. . q 2 C. . q D.3 . q 6 n 1 2 Câu 236. Cho hai dãy số un , vn : un 4.5 ; vn n với mọi số nguyên dươngn . Chọn khẳng định đúng. A. un , vn là hai cấp số nhân. B. un là cấp số nhân, vn khơng phải là cấp số nhân. C. un khơnglà cấp số nhân, vn là cấp số nhân. D. un khơng là cấp số nhân, vn khơng phải là cấp số nhân. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  59. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59 1 Câu 237. Cho hai dãy số s , t : s ; t 4.3n 1 với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng n n n n2 1 n định đúng. A. sn , tn là hai cấp số nhân. B. sn là cấp số nhân, tn khơng phải là cấp số nhân. C. sn khơng là cấp số nhân, tn là cấp số nhân. D. sn khơnglà cấp số nhân, tn khơng phải là cấp số nhân. n Câu 238. Cho dãy số un cĩ tổng n số hạng đầu tiên tính bởi cơng thức Sn 3 1 với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. 6 8 9 12 A. u 6 2.3 B. . u7 C.2.3 . D. . u10 2.3 u11 2.3 n 2 Câu 239. Cho hai dãy số un , vn : un 2.3 1; vn n với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. un , vn là hai cấp số nhân. B. un là cấp số nhân, vn khơng phải là cấp số nhân. C khơnglà cấp số nhân, là cấp số nhân. un vn D. un khơnglà cấp số nhân, vn khơng phải là cấp số nhân. n Câu 240. Cho dãy tn cĩ tổng n số hạng đầu tiên tính bởi cơng thức Sn 2 1với mọi số nguyên n dương n . Dãy hn được xác định bởi cơng thức hn 2 1 Chọn khẳng định đúng. A. tn , hn là hai cấp số nhân. B. tn là cấp số nhân, hn khơng phải là cấp số nhân. C. tn khơng là cấp số nhân, hn là cấp số nhân. D. tn khơnglà cấp số nhân, hn khơng phải là cấp số nhân. n Câu 241. Cho dãy un cĩ tổng n số hạng đầu tiên tính bởi cơng thức Sn 4 m với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng. A. un là cấp số nhân với mọi m . B. un là cấp số nhân khi và chỉ khi m dương. C. un là cấp số nhân khi và chỉ khi m âm. D. Các khẳng định trên đều sai. u1 1 Câu 242. Cho dãy số un : với mọi số nguyên dương n . Chọn khẳng định đúng un 1 4un m A. un là cấp số nhân với mọi m . B. un là cấp số nhân khi và chỉ khi m 0 . C. un là cấp số nhân khi và chỉ khi m 0 . D. Các khẳng định trên đều sai. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  60. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 60 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B B B B B C A C B C C A C D C D C D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A D D C A B C 9 A A A C A C B B B D D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D A C D C A C B B C B B B A B C B D B B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A A C A A A A D A A A A A D A D C B B 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B D D A A D C A A A C C B A A B D B D A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 B C B B D A B C B A A C B B C B B A D B 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D C C A C B B C C C D D B A A D A D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 D B A C C A C C A B B B B C C B B D A B 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B C A 4 C A C D A D D A D D C B B B C B 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 C A B C C B C C C B A A C C B B A B C A 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D C D C A 6 7 D B B B C C B B B B C B D 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 B C D A D B C C B B C D D C B 6 C C D B 241 242 243 2244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D A Tài liệu tham khảo: [1] Trần Văn Hạo - Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3] Trần Văn Hạo - Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5] Nguyễn Phú Khánh - Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề Đại Số Và Giải Tích 11. [6] Một số tài liệu trên internet. File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  61. GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3
  62. TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 62 MỤC LỤC PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC 1 Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp 1 Dạng 2. Chứng minh các bài tốn chia hết bằng phương pháp quy nạp 2 Dạng 3. [NC] Chứng minh các bài tốn bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp 2 Vấn đề 2. DÃY SỐ 2 Dạng 1. Mở đầu về dãy số 2 Dạng 2. Xác định cơng thức của dãy số un 2 Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K 2 Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2 2 Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG 2 Dạng 1. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số cộng 2 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số cộng 2 Dạng 3. Tìm các phần tử của một cấp số cộng 2 Dạng 4. Ứng dụng các tính chất của một cấp số cộng 2 Dạng 5. Tính tổng 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 3 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 3 2 Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN 2 Dạng 1. Tìm các phần tử của một cấp số nhân 2 Dạng 2. Xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân 2 Dạng 3. Ứng dụng các tính chất của một cấp số nhân 2 Dạng 4. Chứng minh ba số (dãy số) lập thành một cấp số nhân 2 Dạng 5. Tính tổng 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 4 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 4 2 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 2 MỤC LỤC 2 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3