Ôn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội

Nội dung text: Ôn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội

1. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội Chủ đề nâng cao: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b 0 ). a b.q ab a là bội của b b là ước của a. 2) Tính chất: 1. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó. 2. Nếu ab và bc ac 3. Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0. 4. Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1. 5. Nếu a  m và b  m thì a bm và a bm 6. Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. 7. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m. 8. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. 9. Nếu am, bn ab  mn Hệ Quả: Nếu ab an  bn Nếu am, an ,(m,n) 1 a  mn B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng: a) ab ba chia hết cho 11. b) ab ba Chia hết cho 9 với a > b. Giải: a) Ta có ab ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11 Vậy ab ba  11. b) Ta có : ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b)  9 Chú ý : Nếu ab cd  11 abcd  11 Ví dụ 2: Tìm n N để: a) n + 4  n b) 3n + 7  n Giải: a) n + 4  n , vì n  n => 4  n
2. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội => n Ư(4) = 1;2;4 b) 3n + 7  n; vì 3n  n => 7  n => n Ư(7) = 1;7 C. BÀI TẬP: 1) Cho abc deg  7. Cmr abc deg  7 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11. 3) Cho số abc 27 Chứng minh rằng số bca  27 4. CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. 5. CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10. 6. Tìm n N để: a) 27 – 5n  n b) n + 6  n + 2 c) 2n + 3  n – 2 d) 3n + 1  11 – 2n 7. Cmr nếu ab cd eg 11 thì abc deg 11 8. Cho abc deg  37. Cmr abc deg  37 9. Cho 10 k – 1  19 với k > 1 CMR: 102k – 1  19 10. Cho n là số tự nhiên. CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2. b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3. 11. Chứng minh rằng nếu ab 2cd abcd  67 Giải: 1)Tacó: abc deg 1000abc deg 1001abc (abc deg ) 7.143abc (abc deg ) Mà : 7.143abc7 và abc deg7. Vậy abc deg  7 2. Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba abba 1000a 100b 10b a 1001a 110b 7.11.13a 11.10b11 Vậy :abba 11 3. abc 27 abc027 1000a bc027 999a a bc027 27.37a bca27 bca27 (Do 27.37a27)
3. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội 4. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 . Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3 Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3  3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3. Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4. Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. 5. Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên. Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên. Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5  10. 6. a) 27 – 5n  n ; 5n  n => 27  n => n Ư(27) = 1;3;9;27 nhưng 5n n + 2 + 4  n + 2, mà n +2  n + 2 => 4  n + 2 => n + 2 1;2;4=> n 0;2 c) 2n + 3  n – 2 => 2(n – 2) + 7  n -2 => 7  n - 2 => n – 2 1;7 => n 3; 9 d*) 3n + 1  11 – 2n (n 2(3n + 1) + 3(11 – 2n)  11 – 2n => 35  11 – 2n => 11 – 2n 1;5;7;35 nhưng vì n < 6 nên n 5;3;2 4)Tacó:abcdeg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg) Do 999911; 9911;(ab cd eg)11 Vậy : abc deg 11 5)Tacó:abcdeg 1000abc deg 999abc (abc deg) 27.37abc (abc deg) Do 27.37abc 37; (abc deg) 37; Vậy:abcdeg 37 9. Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1)  19 Vây 102k – 1  19
4. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội 10. a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chẵn => n = 2k (k N). Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2. Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k N). Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2. Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2. b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2. + Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1) Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (2) Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho cả 2 và 3. 11. Ta có abcd 100ab cd Mà: ab 2cd Suy ra: abcd 2cdcd 200cd cd 201cd 3.67cd 67 Vậy: abcd 67 CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT A/ LÝ THUYẾT: Gọi A = anan 1 a2a1a0 Tacó: A2 a0 2, A5 a0 5 A4 a1a0 4, A25 a1a0 25 A8 a2a1a0 8, A125 a2a1a0 125 A3 an an 1 a2 a1 a0 3 A9 an an 1 a2 a1 a0 9 B/ Ví du: Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng hai chữ số ở giữa của nó là 97. Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n = *975 Hoặc số n *970 .
5. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội Khi: n = *975  9 => (* + 9 + 7 + 5)  9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết cho 27. Khi: n = *970  9 => (* + 9 + 7 + 0)  9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27. Vây số 2970 là số phải tìm. Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó. a. CMR: b chia hết cho a. b. Giả sử b = ka (k N) CM: k là ước của 10. Giải: a) Theo đề bài ta có: ab = 3ab => 10a + b = 3ab (1) => 10a + b  a => b a b) Do b = ka nên k a(10 + k) = 3ak. a => 10 + k = 3ak => 10 + k  k => 10  k Vậy k là ước của 10. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5. Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = .1 - 1 = 0 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5. C/ BÀI TẬP: 1. Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho: a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125. b/ Số 9xy4 chia hết cho 2, cho4, cho 8. 2 . Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4. c/ 10n - 1  9 d/ 10n + 8  9 3. Chứng minh rằng: a/ 1028 + 8  72 b/ 88 + 220  17 4. CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5. 5. CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5. b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5. Giải: 1. a/ 275x  5 x 0;5 ; 275x  25 x 0 ; 275x  125 x 0 b/ 9xy42 x, y 0;1;2; ;9 ; 9xy44 x 0;1;2; ;9, y 0,2,4,6,8 9xy48 x 0;2;4;6;8; y 2;6 hoặc x 1;3;5;7;9; y 0;4;8 2. a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4  4. + Với n > 1, ta có: 5n = 5 nên 5n – 1 = 5 – 1 = 4 4 Vậy với n N, 5n – 1 4 . b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.
6. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội c/ Ta có 10n - 1 = 100 0 – 1 = 99 9  9 n chữ số 0 n chữ số 9 d/ Ta có: 10n + 8 = 100 0 + 8 = 100 08 9 n chữ số 0 n-1 chữ số 0 3. a/ Ta có: 1028 + 8 = 100 0 + 8 = 100 08  9 (1) 28 chữ số 0 27 chữ số 0 Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2) Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72. b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17  17 vây 88 + 220 chia hết cho 17. 4. Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5. 5. a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= .615 - 1 = 6 - 1 = 5  5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = 9 - 6 + .3 - 6 = .0 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5. SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó. + Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. + Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. Chú ý: 10n = 10 .0 = 2n.5n n chữ số 0 + Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by .cz thì các ước của M là (x + 1)(y + 1) (z + 1). + Nếu ab P với P là số nguyên tố thì hoặc a P hoặc b P . Đặc biệt: Nếu an P thì a P B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = 5 + 52 + 53 + +5100 a) Số A là số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải là số chính phương không? Giải: a) Có A > 5; A  5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số. b) Có 52  25, 53  25; ;5100 25, nhưng 5 25 nên A  25 Số A  5 nhưng A  25 nên A không là số chính phương. Ví dụ 2: Số 54 có bao nhiêu ước. Giải: Có: 54 = 2 .33. Số ước của 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = 8 ước. Tập hợp các ước của 54 là: Ư(54) = 1;2;3;6;9;18;27;54
7. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố. Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. C/ BÀI TẬP: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó? 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố. a) p + 2 và p + 10. b) P + 10 và p + 20. 4) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6. 5) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số. 6) Cho a, n N*, biết an 5. Chứng minh: a2 + 150  25. Giải: 1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn. Đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho. 2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số. Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003. 3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên. Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. b/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.
8. Ơn HSG phần Tính chất chia hết - Ước và bội Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố. Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài. Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. 4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1 2 (1) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N) Dạng p = 3k + 1 không xãy ra. Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra p + 1  6 5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k N) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài. Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số. 6) Có an 5 mà 5 là số nguyên tố nên a  5 => a2  25. Mặt khác 150 25 nên a2 + 150  25.