Một số đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 7

Nội dung text: Một số đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 7

1. ĐỀ 1 Bài 1 (4,5 điểm): 1. Tính giá trị của biểu thức: 3 2 2 1 1 0,4 0,25 20 9 15 9 9 11 3 5 51 9.5 .27 3.9 .25 M : N a) 7 7 1 2014 7.3 29 .125 6 3.3 9 .15 19 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 2. Bạn Bình viết năm số hữu tỷ trên một vòng tròn, trong đó tích của hai số cạnh nhau luôn 1 bằng . Tìm các số đó? 4 Bài 2 (4,5 điểm) 2014 2 1. Tìm x; y; z biết: (2x 1) 2014 y x y z 0 5 3a 2b 2c 5a 5b 3c 2. Tìm 3 số a; b; c biết: và a + b + c = - 50 5 3 2 2014 a c a b a 2014 b 2014 3. Chứng minh rằng: Nếu thì b d c d c 2014 d 2014 Bài 3 (4 điểm) 1. Cho hàm số y f (x) kx ( k là hằng số, k 0 ). Chứng minh rằng: f (51x1 2014x2 ) 51f (x1 ) 2014 f (x2 ) 2. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều có dạng6m 1 hoặc 6m 1 . Bài 4 ( 6 điểm) 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Vẽ các điểm F, E, G sao cho B, M, C Theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AF, AE và AG. a) Chứng minh AB song song CE. b) Chứng minh ba điểm F, E, G thẳng hàng. 2. Cho góc xAy 600 ,Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc với Ay( ). Chứng minh rằng: Bài 5 (1 điểm) Tìm các số tự nhiên a: b sao cho (2014.a+3.b+1).(2014a+2014.a+b) = 225 Họ và tên thí sinh: ,Số báo danh: . ĐỀ 2 C©u 1: (5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau 1 c¸ch hîp lý: 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) A 11 12 5 5 5 0,625 0,5 2,5 1,25 11 12 3 8 1 1 1 1 1 1 1 1 b) 9 72 56 42 30 20 12 6 2 C©u 2: ( 4 ®iÓm)
2. a) Chøng minh r»ng 3n+3 +3n+1 + 2n+3 + 2n+2 chia hÕt cho 6 víi n nguyªn d­¬ng. b) T×m 3 sè x,y,z biÕt r»ng 2x = 3y ; 5y = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30. C©u 3 : (5 ®iÓm) 2 4 a) Mét tr­êng cã 3 líp 6. BiÕt r»ng sè häc sinh líp 6A b»ng sè häc sinh líp 6B vµ b»ng sè häc 3 5 sinh líp 6C. Líp 6C cã sè häc sinh Ýt h¬n tæng sè häc sinh cña hai líp kia lµ 57 b¹n. TÝnh sè häc sinh mçi líp. a 5 b 6 a 5 b) Cho (a 5;b 6) . Chøng minh r»ng : a 5 b 6 b 6 C©u 4( 6 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 600 . Dùng ra ngoµi tam gi¸c ®ã c¸c tam gi¸c ®Òu ABM vµ ACN. a) Chøng minh r»ng: 3 ®iÓm A, M, N th¼ng hµng. b) Chøng minh r»ng: BN = CM. c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM. TÝnh gãc BOC. HÕt ĐỀ 3 Câu 1. (2.0 điểm) 5 7 4 5 17 a) Tính A = : 11 22 33 44 132 b) So sánh 1030 và 2100 Câu 2: (2.0 điểm) x y z a) Tìm các số x, y, z biết: và x +y + z = 18 2 3 4 b) Tìm các số x, y biết: x y 2012 x 1 2013 0 Câu 3. (2.5 điểm) a) Vễ đồ thị hàm số y = 2x. b) Bạn Nam đi bộ từ nhà đến trường hết thời gian là 15 phút, còn đi xe đạp chỉ cần thời gian là 5 phút. Tính quãng đường từ nhà Nam đến trường, biết rằng vận tốc đi xe đạp lớn hơn vận tốc đi bộ là 8 km/h. Câu 4. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 900, cạnh BC = 2AB. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, M là trung điểm của BC. a) Chứng minh ΔABD = ΔMBD ; b) Chứng minh DB = DC; c) Tính các góc B, góc C của tam giác ABC. Câu 5. (0.5 điểm) 1 1 1 1 1 Cho P = 2013 20132 20133 20132013 20132014
3. 1 Chứng minh rằng: P < 2012 Đề 4 Bµi 1: (2,5 ®iÓm) b c 2 b a b a/ Cho a, b, c kh¸c 0 vµ ®«i mét kh¸c nhau tho¶ m·n . Chøng minh bc a c c a x 1 y 2 z 3 b/ T×m x, y, z biÕt vµ x 2y 3z 10 2 3 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) 3x 4 a/ T×m x nguyªn ®Ó M= nhËn gi¸ trÞ nguyªn. x 3 b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x 1000 x 1011 Bµi 3: (2,5 ®iÓm) a/ Cho P(x) = ax2 + bx + c; biÕt 5a + b + c = 0. Chøng minh P(3) . P(-1) 0 1 2 3 4 99 100 b/ So s¸nh S= víi 2 2 22 23 24 299 2100 Bµi 4: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã A· BC 2A· CB , vÏ AH vu«ng gãc víi BC. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy M sao cho BM=BH, tia MH c¾t AC t¹i N. a) Chøng minh NA=NC b) Chøng minh AM=HC c) Tõ A vÏ ®­êng th¼ng song song víi MN c¾t BC t¹i E. Chøng minh E· MA 900 ĐỀ 5 Câu 1(4 điểm): é æ 1ö3 æ 1ö2 æ 1öù æ1 ö a) Tính giá trị của biểu thức sau: ê- 9.ç- ÷ + 3.ç- ÷ + 12.ç- ÷ú:ç - 1÷ . ê èç ø÷ èç ÷ø èç ø÷ú èç ÷ø ëê 3 3 3 ûú 3 b) So sánh: (-514)19 và (-14)41 Câu 2 (4 điểm): a) Tìm x biết: 2015x- x- 1 = 2014 1 2 3 b) Tìm x, y, z biết: -3x=2y=5z và + + = - 32 x y z Câu3 (4 điểm): Một người đi xe đạp từ thành phố Bắc Giang đến Hà Nội với vận tốc 15km/h và dự định đến Hà Nội lúc 11 giờ 30 phút. Sau khi đi được 40% quãng đường thì người đó đi với vận tốc 12km/h nên đến hà nội lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường từ thành phố Bắc Giang đến Hà Nội? Người đó khởi hành lúc mấy giờ? Câu 4(6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM=AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AN=AC.
4. a) Chứng minh rằng BN=CM. b) Gọi E là trung điểm của BN, F là trung điểm của CM. Chứng minh A là trung điểm của EF. c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH+CK có giá trị lớn nhất. Câu 5( 2 điểm): 1 1 1 1 Chứng minh rằng : A = + + + + > 3 3 4 5 130 Đề 6 Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 1 3 2 1 1) Rút gọn: A : . 2 5 10 2 3 12 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2x 2.3x 1.5x 10800 . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 2012 là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE . 2) Phân giác của các góc ·ABC, B· DC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của góc B· DA cắt 1 BC tại N. Chứng minh rằng: BD MN. 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và P . Tính 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 S P 2013 . Đề 7 Câu 1(5 điểm): a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y. Tính giá trị của P với x 1,5; y = -0,75 212.35 46.81 b) Rút gọn biểu thức: A 6 22.3 84.35
5. Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 4x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5) b) Chứng minh: f(-a) = -f(a). Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y Câu 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 a b 1 c 2 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c ĐỀ 8 Bµi 1: Cho d·y sè: 1, -9, 17, -25, 33, -41, 1) TÝnh tæng cña 2011 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y 2) T×m sè h¹ng thø 2011 cña d·y ®· cho 2b c a 2c b a 2a b c Bµi 2: Cho a, b, c > 0 vµ d·y tØ sè: a b c 3a 2b 3b 2c 3c 2a TÝnh: P = 3a c 3b a 3c b Bµi 3: §é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c tû lÖ víi 3, 4, 5. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh tû lÖ víi ba sè nµo ? Bµi 4: T×m x tháa m·n: a) 2010 x 2010 x b) 3x 4 3x 5 9 2 Bµi 5: T×m cÆp sè tù nhiªn N, (x; y) sao cho: 49 y2 12 x 2001 Bµi 6: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i A (AC > AB). Trªn AC lÊy ®iÓm D sao cho CD = AB. M lµ trung ®iÓm cña AD, N lµ trung ®iÓm cña BC. TÝnh N· MC Đề 9 5 13 25 41 181 Bµi 1. TÝnh tæng: S = 1.2 2.3 3.4 4.5 9.10 1 1 1 1 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ x, y nguyªn d­¬ng trong biÓu thøc sau: 2x 2y xy 2 1 1 Bµi 3. T×m x biÕt: a) 3 x 1 3x ; b) x x 5 5 Bµi 4. Trong ®ît ph¸t ®éng trång c©y ®Çu Xu©n n¨m míi, ba líp häc sinh khèi 7 cña mét tr­êng THCS ®· trång ®­îc mét sè c©y. BiÕt tæng sè c©y trång ®­îc cña líp 7A vµ 7B; 7B vµ 7 C; 7C vµ 7A tû lÖ víi c¸c sè 4, 5, 7 . T×m tû lÖ sè c©y trång ®­îc cña c¸c líp.
6. Bµi 5. Cho tam gi¸c nhän ABC, trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa B vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ACD ( A· DC 900 ), trªn nöa mÆt ph¼ng bê BD kh«ng chøa C vÏ tam gi¸c vu«ng c©n BDE (B· DE 900 ). §­êng th¼ng ED c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i F, ®­êng th¼ng EA c¾t ®­êng th¼ng BD t¹i M. Chøng minh: DF = DM ®Ò 10 1 1 1 1 Bµi 1. TÝnh 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: x y 5 Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. H­íng dÉn chÊm đề 4 Bµi 1: ( 2,5 ®iÓm) C©u a: 1 ®iÓm ; c©u b: 1,5 ®iÓm b c 2 1 1 2 1 1 1 1 a b c a ab a b b a b a/ -Tõ ta cã (1 bc a b c a b a a c ab ac ac c a c c a ®iÓm) x 1 y 2 z 3 x 1 2y 4 3z 9 x 1 2y 4 3y 9 x 2y 3z 6 b/V× = 2 3 4 2 6 12 2 6 12 8 10 6 1 7 (0,75 ®). Tõ ®ã tÝnh ®­îc x=2 ; y= ; z=5 (0,75 ®). 8 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) Mçi c©u cho 1 ®iÓm a/ -V× M nguyªn 3x 4x 3 3(x 3) 5x 3 (0,25 ®). mµ 2 x 3 x 3 5x 3 x 3 1; 5 (0,25 ®). -XÐt 4 kh¶ n¨ng t×m ®­îc x=-2, 2, 4, 8 (0,5 ®). b/ -Ta cã x 1000 x 1000 (0,25 ®). ; x 1011 1011 x 1011 x (0,25 ®). Nªn M=x 1000 x 1011 x 1000 1011 x 2011 (0,25 ®). ; V©y gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M lµ M=2011 khi 1000 x 1010 (0,25 ®). Bµi 3: (2,5 ®iÓm) C©u a: 1 ®iÓm ; c©u b: 1,5 ®iÓm a/ TÝnh ®­îc P(3) = 9a + 3b + c (0,25 ®). ; P(-1) = a – b + c (0,25 ®) P(3) + P(-1) = 2(5a + b + c) = 0 (0,25 ®). P(3) = - P(-1) P(3) . P(-1) =  p( 1)2 0 . (0,25 ®). 1 2 3 4 99 100 b/ Ta cã S= 2 22 23 24 299 2100 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 2S=1 ( ) 2 22 23 298 299 2 22 23 24 299 2100 1 1 1 100 +(1 ) 2 22 299 2100 1 1 1 100 1 1 1 100 =S+(1 ) S=1 (0,75 ®). 2 22 299 2100 2 22 299 2100 1 1 1 100 1 1 1 100 100 101 Ta cã 2S=2 1 =(1 ) +(2+ ) 2 22 298 299 2 22 299 2100 2100 299 102 102 =S+(2 ) S 2 2 (0,75 ®). 2100 2100 Bµi 4: (3®iÓm) Mçi c©u cho 1 ®iÓm
7. ¶ ¶ µ ¶ ¶ ¶ a/ V× BM=BH BMH c©n M1 H1 B1 M1 H1 2H1 µ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¶ ¶ µ mµ B1 2C1 2H1 2C1 H1 C1 , H1 H2 H2 C1 HNC c©n NH NC (0,5 ®). · µ 0 ¶ ¶ 0 ¶ µ · ¶ Tacã HAN C1 90 ; H3 H2 90 (v× ) , mµ H2 C1 (cm trªn) HAN H3 ANH c©n NA NH (0,25 ®). VËy NA=NC (0,25 ®). ¶ µ µ b/ Trªn HC lÊy K sao cho HK=HB ta cã AHB= AHK AK AB vµ K1 B1 2C1 , mµ ¶ µ µ µ µ µ µ µ K1 C1 A1 2C1 C1 A1 A1 C1 AKC c©n KC KA AB (0,5 ®). , mµ HK=HB=BM AB BM CK KH AM CH (0,5 ®). c) ChØ ra ®­îc tam gi¸c EAC c©n (0,25 ®). , tõ ®ã chøng minh ®­îc 2 tam gi¸c AME b»ng tam gi¸c AHC b»ng nhau (0,5 ®) , suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh (0,25 ®). ( cã nhiÒu c¸ch gi¶i) Đáp án đề 6 Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 ( 4 điểm) 1 15 4 1 18 8 1 (2điểm) A : 0.5đ 10 10 10 12 12 12 12 11 0.5đ : 10 12 6 12 72 . 5 11 55 0.5đ 72 0.5 Vậy A . 55 P x 2012 x 2013 2 0.5 đ + Nếu x 2012 hoặc x 2013 thì P 1 (2điểm) + Nếu x 2013 thì P x 2012 x 2013 1 x 2013 1 0.5đ + Nếu x 2012 thì P x 2012 x 2013 x 2012 1 1 0.5 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x 2012 hoặc x 2013 . 0.5 đ Câu 2 (4điểm) Ta có 2x 2.3x 1.5x 10800 2x.22.3x.3.5x 10800 1.0 đ 1 (2.5điểm) 2.3.5 x 900 0.5 đ 30x 302 x 2 0.5 Vậy x 2 là kết quả cần tìm. 0.5 đ + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a,b,c . Vì tổng số viên bi 0.5 đ 2 của ba bạn là 74 nên a b c 74 (2.5điểm) a b a b + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12 0.5 đ
8. b c b c 0.5 + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 4 5 12 15 a b c a b c 74 + Từ đó ta có 2 10 12 15 10 12 15 37 0.5đ 0.5đ + Suy ra a 20;b 24;c 30 Câu 3 (4điểm) 1 + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p 3k 1 k ¥ ,k 1 0.5 (2điểm) +Với p 3k 1 0.5 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 0.5 +Với p 3k 1 suy ra p2 2012 3k 1 2 2012 9k 2 6k 2013 p2 2012 3 Vậy p2 2012 là hợp số. 0.5 2 (2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n 200 0.5đ + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 0.5đ 36; 64; 100; 144; 196. + Với 2n 36 n 18 n 4 22 không là số chính phương 2n 64 n 32 n 4 36 là số chính phương 2n 100 n 50 n 4 54 không là số chính phương 0.5 đ 2n 144 n 72 n 4 76 không là số chính phương 2n 196 n 98 n 4 102 không là số chính phương + Vậy số cần tìm là .n 32 0.5đ Câu 4 (6 điểm) 1 (3điểm) + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) 0.5
9. + Góc I¼AB là góc ngoài của tam giác ABH nên ¼ ¼ ¼ ¼ 0 IAB ABH AHB ABH 90 0.5 + Ta có E· BC E· BA ·ABC ·ABC 900 . Do đó I·AB E· BC . + Do đó VABI VBEC(c g c) 0.5 đ + Do ABI BEC(c g c) nên ·AIB B· CE . V V 0.5 đ + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có ·AIB I·BH 900 . 0.5đ Do đó B· CE I·BH 900 . KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ 2 (3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM  DN . 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM FD FN . 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên F· MD M· DF . F· MD M· BD B· DM (góc ngoài tam giác) 0.5 đ M· BD C· DM Suy ra M· BD C· DF (1) 0.5 đ Ta cóM· CD C· DF C· FD (2) Do tam giác ABC cân tại A nên M· CD 2M· BD (3) 0.5 đ Từ (1), (2), (3) suy ra M· BD D· FC hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 1 BD DF MN 0.5 đ 2 Câu 5 1 1 1 1 1 1 ChoS 1 và (1 điểm) 2 3 4 2011 2012 2013 (1 điểm) 1 1 1 1 2013 P . Tính S P . 1007 1008 2012 2013 + Ta có: 1 1 1 1 P 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 3 1006 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 1 1 1 1 2 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 0.5 đ 1 =S. 2 3 4 2012 2013 Do đó S P 2013 =0 Điểm toàn bài (20điểm)
10. Lời giải toám tắt đề 7 Câu Nội dung B.Điểm a) Ta có: x 1,5 x 1,5 hoặc x = -1,5 +) Với x = 1,5 và y = -0,75 thì 1,5 P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 -0,75 = 5,25 Câu 1 +) Với x = -1,5 và y = - 0,75 thì 1,5 (5điểm) P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75 212.35 46.81 212.35 212.34 212.34 (3 1) 1 b) A = 2 6 4 5 12 6 12 5 12 5 2 2 .3 8 .3 2 .3 2 .3 2 .3 (3 1) 3 x y y z x y y z 1 a) 2x = 3y; 4y = 5z ; ; 3 2 5 4 15 10 10 8 x y z x y z 11 1 15 10 8 15 10 8 33 3 10 8 1 x = 5; y = ; z = Câu 2 3 3 (4 điểm) b) x 1 x 2 x 3 4x (1) Vì VT 0 4x 0 hay x 0, do đó: 1 x 1 x 1; x 2 x 2; x 3 x 3 1 (1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6 a) f(0) = 0 1 1 1 1 1 1 f(-0,5) = -4.(- )3 - = 0 2 2 2 2 Câu 3 (3điểm) b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a 0,5 3 3 - f(a) = - 4a a = 4a - a 0,5 f(-a) = -f(a) Câu 4 y x + y = x.y xy x y x(y 1) y x (1 điểm) y 1 vì x z y y 1 y 1 1 y 1 1 y 1 , 0,5 do đó y - 1 = 1 y 2 hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) 0,5
11. Câu 5 a) Xét AMC và F N (6 điểm) ABN, có: D AM = AB ( AMB M 1,0 vuông cân) E AC = AN ( ACN 1,0 vuông cân) A   MAC = NAC ( I = 900 +  BAC) 0,5 Suy ra AMC = K ABN (c - g - c) B H C b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN, có:  ANI =  KCI ( AMC = ABN) 1  AIN =  KIC (đối đỉnh) 1  IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 0,5 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH 0,25 - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH 0,25 Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà 0,25  MDE = FDN) MED = NFD BD = ND. 0,25 Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 Vì: 0 a b 1 c 2 nên 0 (1 điểm) a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2 0 4 3c 6 (vì a + b + c = 1) 0,5 2 Hay 3c 2 c . 3 2 5 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 3 3 Lời giải toám tắt đề 8 Bµi 1: (4 ®iÓm) a) (2 ®iÓm) Ta cã 1 + (-9) + 17 + (-25) + 33 + (-41) 1 + (-9 + 17) + (-25 + 33) + 1 + 8 + 8 +
12. Tæng trªn b»ng 1 + 8. 1005 = 8041 b) (2 ®iÓm) Ta cã: Sè h¹ng thø nhÊt lµ 1 Sè h¹ng thø hai lµ -(1 + 8. 1) Sè h¹ng thø ba lµ (1 + 8. 2) Sè h¹ng thø t­ lµ -(1 + 8. 3) Sè h¹ng thø 2011 lµ (1 + 8. 2010) = 16081 Bµi 2: (3 ®iÓm) 2b c a 2c b a 2a b c 2a 2b 2c b 3c a 3b c 3a Ta cã 2 a b c a b c a b a c b c b + 3c = 2a + 2b 2a bc b 1 a + 3b = 2a + 2c 2c 3b a P = 8 c + 3a = 2b + 2c 2b 3a c Bµi 3: (2 ®iÓm). §Æt c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c t­¬ng øng víi ba c¹nh lµ ha; hb; hc. Ta cã 3ha = 4hb = 5hc h h h 1 1 1 a b c . C¸c ®­êng cao t­¬ng øng tØ lÖ víi k ;k ;k (k N*) 20 15 12 3 4 5 Bµi 4: (4 ®iÓm). a) (2 ®iÓm). Ta cã 2010 x 2010 x 2010 x 2010 x mµ 2010 x 2010 x . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2010 – x 0 x 2010. VËy x 2010 tháa m·n bµi to¸n b) (2 ®iÓm). Ta cã 3x 4 3x 5 0 víi mäi x cßn vÕ ph¶i -9 < 0 nªn kh«ng tån t¹i x tháa m·n bµi to¸n Bµi 5: (3 ®iÓm). 2 49 y2 12 x 2001 . VÕ ph¶i lµ mét sè kh«ng ©m ch½n nªn y lµ sè lÎ vµ kh«ng lín h¬n 7 Khi y = 1 x = 2003 vµ x = 1999 Khi y = 3 kh«ng cã gi¸ trÞ x N Khi y = 5 kh«ng cã gi¸ trÞ x N Khi y = 7 x = 2011 VËy c¸c cÆp sè (x; y) cÇn t×m lµ (2003; 1); (1999; 1); (2001; 7) Bµi 6: (4 ®iÓm). VÏ h×nh Nèi AN, trªn tia ®èi tia NA lÊy ®iÓm H sao cho NH = NA, nèi HC ta cã ABN = HCN v× AN = NH, BN = CN (gt), A· NB H· NC (®èi ®Ønh) AB = HC = CD, A· BN H· CN AB // CH HC  AC HCD vu«ng c©n t¹i C H· DC 450 (1) Trªn tia ®èi tia NM lÊy NK = NM, nèi HK ta cã: ANM = HNK v× NK = NM, AN = NH, A· NM H· NK AM = HK = MD, A· MN H· KN AC // HK. Nèi KD ta cã MDK = HKD v× KD chung, HK = MD = AM, M· DK H· KD (so le) M· KD H· DK MN // DH H· DC N· MC 450