Đề thi thông tin phát hiện học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thông tin phát hiện học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Trường THCS Phan Chu Trinh (Có đáp án)

1. PHÒNG GD TP BUÔN MA THUỘT KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC TRƯỜNG THCS PHAN CHU SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRINH NĂM HỌC: 2008 – 2009 Môn: Toán - Thời gian: 90 phút. PHÒNG GD TP BUÔN MA KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC THUỘT SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS PHAN CHU NĂM HỌC: 2008 – 2009 TRINH Môn: Toán - Thời gian: 90 phút. 1 3 x2 1 Bài 1: (5 điểm) Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1 Bài 2: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 1) 81x4 + 4 2) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009 Bài 3: (4 điểm) x 2 x 3 x 4 x 2010 x 2009 x 2008 1) Giải phương trình 2010 2009 2008 2 3 4 1 1 1 2) Cho ba số x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn 0 . Chứng minh: x y z 1 1 1 0 x2 2yz y2 2zx z2 2xy Bài 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E tùy ý ( E B, E C). Kẻ tia Ax vuông góc với AE, tia Ax cắt đường thẳng CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD tại K, đường thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI ở G 1) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. 2) Chứng minh AF2 = FK. FC 3) Khi E thay đổi trên BC. Chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA, CB, AC lần lượt lấy S các điểm D, E, F sao cho BD = 2BA, CE = 2CB, AF = 2AC. Tính tỉ số DEF ? S ABC Hết. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
2. Bài 1 1) Rút gọn A (2,5 điểm) 5 điểm Điều kiện: x 0, x ± 3 0,5 x 3 2,0 Rút gọn được A x 2) Tìm x để A < –1 (2,5 điểm) x 3 A 1 1 x x 3 1 0 1,0 x 3 0 x 0 1,0 x Kết hợp ĐK: x 0; x 3 thì A < –1. 0,5 Bài 2 1) 81x4 + 4 = 81x4 + 36x2 + 4 – 36x2 1,0 4 điểm = (9x2 + 2)2 – (6x)2 0,5 = (9x2 + 6x + 2) (9x2 – 6x + 2) 0,5 2) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009 = (x4 – x) + 2009(x2 + x + 1) 0,75 = x(x – 1)(x2 + x + 1) + 2009(x2 + x + 1) 0,75 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2009) 0,5 x 2 x 3 x 4 x 2010 x 2009 x 2008 Bài 3 1) 4 điểm 2010 2009 2008 2 3 4 x 2 x 4 x 2010 x 2008 0,5 1  1 1  1 2010 2008 2 4 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012 0,5 2010 2009 2008 2 3 4 1 1 1 1 1 1 0,5 x 2012 0 2010 2009 2008 2 3 4 1 1 1 1 1 1 0,5 x 2012 (Vì 0 ) 2010 2009 2008 2 3 4 1 1 1 xy yz zx 2) 0 xy yz zx 0 x y z xyz 0,25 Do đó: x2 + 2yz = x2 + 2yz – xy – yz – zx = (x – y)(x – z) 0,75 tương tự có y2 + 2zx = (y – z)(y – x); z2 + 2xy = (z – x)(z – y) 1 1 1 0,5 Nên x2 2yz y2 2zx z2 2xy 1 1 1 x y x z x y y z x z y z y z x z x y 0 x y x z y z 0,5 Bài 4 1) EGFK hình thoi. (1,5) 4 điểm B· AE D· AF (cùng phụ với góc EAD) ABE ADF g.c.g
3. AE AF AEF vuông cân tại A mà AI là trung tuyến (gt) AI  EF (1) EIG FIK g.c.g EG FK 0,75 lại có EG // FK (EG // AB // CD) nên EGFK là hình bình 0,75 hành (2) Từ (1) và (2) suy ra EGFK là hình thoi. 2) AF2 = FK.FC (1,5) 0,75 AEF cân tại A (cmt), nên trung tuyến AI cũng là phân giác 1 F· AI F· AE 450 0,75 2 AF FK Do đó FAK ~ FCA (g.g) AF 2 FK.FC CF AF 3) Khi E thay đổi trên BC. Chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. (1,0) 0,5 Ta có KE = KF (EGFK hình thoi) BE = DF ( ABE = ADF) 0,5 KE + CE + CK = KF + CE + CK = KD + DF + CE + CK = (KD + CK) + (BE + CE) = CD + BC = 2a. Không đổi (a cạnh hình vuông ABCD) Bài 5 AD = 3AB S 3S 0,25 FAD FAB 3 điểm 0,25 AF = 2AC S 2S FAB ABC nên S 6S FAD ABC 0,5 tương tự có S 6S ECF ABC 0,75 S 6S DBE ABC Do đó S 19S 0,75 DEF ABC S DEF 19 0,5 S ABC HS có thể làm cách khác, nhưng sử dụng phù hợp kiến thức chương trình vẫn chấm điểm tối đa.