Đề thi ôlympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Mỹ Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi ôlympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Mỹ Hưng (Có đáp án)

1. Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI ễLYMPIC MễN TOÁN LỚP 8 (120 Phỳt) (năm học 2013 – 2014) Câu 1 : (6 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 1 1 x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Câu 2 : (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 Cõu 3. (3 điểm ) a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a b c b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Bài 4 : ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng : a ) OA.OB = OC.OH b ) Góc OHA có số đo không đổi c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi. 1
2. Đỏp ỏn – hướng dẫn chấm Câu 1 : (6 đ) a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,5 Phương trình trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 1,75 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,25đ) b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y Từ đó suy ra a=;b ;c ; 2 2 2 ( 1,5đ ) 2
3. y z x z x y 1 y x x z y z Thay vào ta được A= ( ) ( ) ( ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y ( 0,75 đ) 1 Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 ( 0,25đ ) Câu 2 : (2đ) a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a 2 2ab b 2 ) 3ab = =(a+b)(a b) 2 3ab 0,5 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ; Do vậy (a+b)(a b) 2 3ab chia hết cho 9 b ) ( 3đ ) n5 + 1  n3 + 1 n5 + n2 – n2 + 1  n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)  n3 + 1 (n – 1)(n + 1)  (n+1)(n2 – n + 1) n – 1  n2 – n + 1 n(n – 1)  n2 – n + 1 Hay n2 – n  n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1  n2 – n + 1 1 n2 – n + 1 Xét hai trường hợp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn Cõu 3 3
4. 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 ( 1đ ) b b b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = ( 0,5 đ ) 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoặc b = 1 ( 1 đ ) Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) ( 0,5 đ ) Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 O Cõu 4 ( 6 đ ) OB OH a) BOH ~ COA (g-g) OA.OB = OC.OH ( 2 đ ) H OC OA OB OH OA OH A b) (1) M OC OA OC OB OHA và OBC có Oà chung (2)B K C Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c) Oã HA Oã BC (không đổi) ( 2 đ ) BM BK c) Vẽ MK  BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM.BH = BC BH BK.BC (3) CM CK CKM ~ CAB (g.g) CM.CA = BC.CK (4) CB CA Cộng từng vế của (3) và (4) ta cú: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi). ( 2 đ ) 4