Đề thi olympic - Môn: Toán khối lớp 7

Nội dung text: Đề thi olympic - Môn: Toán khối lớp 7

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 HUYỆN THANH OAI Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1: (5 điểm) a c Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Cõu 2 : (6điểm) a) Cỏc số a,b và c làm cho giỏ trị cỏc biểu thức a b b c c a , và bằng nhau . Tớnh giỏ trị đú? c a b 2 3 1 b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương 5 4 6 của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A. Cõu 3 : (2 điểm) Cho biểu thức A = 2014 x . Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị lớn nhất 14 x .Tỡm Giỏ trị lớn nhất đú Cõu 4 (7điểm) Cho gúc xAy = 600 vẽ tia phõn giỏc Az của gúc đú . Từ một điểm B trờn Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH  Ay, CM Ay, BK  AC. Chứng minh rằng: a) K là trung điển của AC. b) BH = AC 2 c)ΔKMC đều HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 7 Cõu 1 (5 điểm): a c a) Từ suy ra c2 a.b 0.5đ c b a2 c2 a2 a.b khi đú 0.5đ b2 c2 b2 a.b a(a b) a = 1đ b(a b) b a2 c2 a b2 c2 b b) Theo cõu a) ta cú: 1đ b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 1đ a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay 0.5đ a2 c2 a b2 a2 b a vậy 0.5đ a2 c2 a Cõu 2 a)(3 điểm) a b b c c a Giả sử = x , 0,5 c a b Khi đú a+b = cx, b+c= ax, c+a = bx 0,5 Cộng cỏc đẳng thức ta cú 2(a+b+c) =(a+b+c )x 0,5 Đẳng thức này chia làm 2 trường hợp: a b c 1) Nếu a+b+c ≠ 0 , khi đú x = -1 0,5 c c 2) Nếu a+b+c = 0, khi đú x = 2 0,5 Vậy giỏ trị của biểu thức là 2 hay -1 0,5 b)(3 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta cú: a : b : c = : : (1) 0,5 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đú (2) k 2 ( ) 24309 0,5 25 16 36 k = 180 và k = 180 0,5 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237. 0,5 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30
3. Khi đú ta cú sú A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . 0,5 Cõu 3 : (2điểm) A = 1 + 2000 0,5 14 x AMax 14 – x > 0 và nhỏ nhất 0,5 14 – x = 1 x = 13. 0,5 Vậy x = 13 thoả món điều kiện bài toỏn khi đú A Max= 2001 0,5 Cõu4 (7điểm) Vẽ được hỡnh, ghi GT, KL được 0,5đ a, ABC cể Â1 =Â2 (Az là tia phõn giỏc của  ) ˆ ˆ A1 C1 (Ay // BC, so le trong) ˆ ˆ A2 C1 => ABC cõn tại B ( 1đ) mà BK  AC BK là đường cao của tam giỏc cõn cân ABC BK cũng là trung tuyến của cõn ABC (0,5đ) hay K là trung điểm AC b, Xột vuụng ABH và vuụng BAK. Cú AB là cạnh huyền (cạnh chung) Â1 =Â2 ( AZ là phõn giỏc) vuụng ABH = vuụng BAK (cạnh huyền gúc nhọn ) (1đ) AC AC BH = AK mà AK = BH (1đ) 2 2 c, AMC vuông tại M có AK = KC = AC/2 (1) MK là trung tuyến thuộc cạnh huyền KM = AC/2 (2) (1đ) Từ (10 và (2) KM = KC KMC cân. ( 0.5đ) ˆ 0 0 ˆ 0 0 0 Mặt khỏc AMC có M 90 , Â1 =30 => MKC =90 -30 =60 (0,5đ) AMC đều (1đ)