Đề thi olympic lớp 8 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi olympic lớp 8 - Môn thi: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 THANH OAI Năm học : 2014-2015 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (6,0 điểm) 1 x3 1 x2 1) Cho biểu thức A x : 2 3 x 1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 2) Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy 6x 5y 8 2) Chứng minh rằng nếu m 5 thì m a4 4 không là số nguyên tố Câu 3. (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,biết: A x 1 4 x 3 4 6 x 1 2 . x 3 2 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H HD HE HF a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh : BH.BE CH.CF BC 2 c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF d) Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M , N tùy ý sao cho HM CN.Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định Câu 5. (1,0 điểm) Tìm số nguyên n sao cho: 2n3 n2 7n 1 2n 1
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1) a) Với x 1;1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 . 1 x 1 x b) Với x 1 thì A 0 1 x2 1 x 0 (1) Vì 1 x2 0 với mọi x nên 1 xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 2) x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 * 2 2 1 3 Vì x x 1 x 0x 2 4 x 5 * x 5 x 6 0 x 6 Câu 2. 1. x2 xy 6x 5y 8 x2 6x 8 y x 5 (2) x2 6x 8 y (vì x 5 không là nghiệm của 2 ) x 5 3 y x 1 x 5 Vì x, y nguyên nên x 5 là ước của 3 x 5 1;1;3; 3 hay x 4;6;8;2
3. x 2 6 4 8 y 0 8 0 8 Vậy nghiệm của phương trình x; y 2;0 ; 4;0 ; 6;8 ; 8;8  2) m a4 4 a4 4a2 4 2a 2 a2 2 2a a2 2 2a a2 2a 1 1 a2 2a 1 1 a 1 2 1 a 1 2 1 Vì a 1 2 1a, a 1 2 0a nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a 1 Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1nếu a 1 Còn các trường hợp khác là tích 1 a 1 Vậy ngoài khi đó m 5 thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn a 1 hơn 1 nên m không thể là số nguyên tố. Câu 3. Đặt a x 1,b 3 x ta có: a b 2 2 A a4 b4 6 ab 2 a2 b2 4a2b2 2 a b 2 2ab 4a2b2 4 2ab 2 4a2b2 8a2b2 16ab 16 8 ab 1 2 8 8 Dấu " "xảy ra a b 2 và ab 1 a b 1 x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 tại x 2 Câu 4.
4. A E F H N M B D C O HD S a) Trước hết chứng minh HBC AD SABC HE S HF S Tương tự ta có: HCA ; HAB BE SABC CF SABC HD HE HF S S S HD HE HF Nên HBC HCA HAB 1 1 AD BE CF SABC AD BE CF b) Trước hết chứng minh BDH : BEC BH.BE BD.BC Và CDH : CFB CH.CF CD.CB BH.BE CH.CF BC. BD CD BC 2 (dfcm) c) Chứng minh AEF : ABC ·AEF ·ABC Và CDE : CAB C· ED C· BA ·AEF C· ED Mà EB  AC nên EB là phân giác của góc DEF Tương tự : DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
5. Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF Nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC , ta có OMH ONC c.c.c O· HM O· CN (1) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên O· HC O· CH (2) Từ 1 và 2 ta có: O· HC O· CH HO là phân giác của góc B· HC Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của B· HC nên O là điểm cố định Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O Câu 5. 2n3 n2 7n 1 n2 n 4 2n 1 5 Để 2n3 n2 7n 12n 1 thì 52n 1 hay 2n 1 là Ư 5 2n 1 5 n 2 2n 1 1 n 0 2n 1 1 n 1 2n 1 5 n 3 Vậy n 2;0;1;3 thì 2n3 n2 7n 12n 1