Đề thi olympic lớp 7 học sinh giỏi - Môn: Toán

Nội dung text: Đề thi olympic lớp 7 học sinh giỏi - Môn: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH OAI Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1 ( 5 điểm ): a c 1. Cho . với a,b,c 0 . Chứng minh rằng: c b a a2 c2 b a b2 a2 a) b) b b2 c2 a a2 c2 25 2. Tổng ba phân số tối giản bằng 5 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 63 20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó. 5 y 1 Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: x 4 8 Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết x 1 A x 0 x 3 Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau A x 2013 x 2014 x 2015 Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ). a) Chứng minh BH AK . b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? Hết Họ và tên thí sinh:: SBD Chữ ký giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Lớp 7 Câu Nội dung Điểm 2 2 Câu 1 a c a c a c 1. a, Từ: . (6 c b c b c b 0,5 đ điểm) a a2 c2 a2 c2 a a2 c2 (đpcm) b c2 b2 c2 b2 b b2 c2 0,5 đ b, Áp dụng chứng minh phần a ta có: a c a a2 c2 b b2 c2 b b2 c2 2 2 2 2 1 2 2 1 1,0 đ c b b b c a a c a a c b a b2 c2 a2 c2 b a b2 c2 a2 c2 a a a2 c2 a2 c2 a a2 c2 b a b2 a2 (đpcm) 1,0 đ a a2 c2 2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c. 25 Theo bài ra ta có: a b c 5 0,5 đ 63 1 1 1 1 1 1 0,5 đ a :b : c 20 4 5 21:35:12 1 3 7 20 12 35 25 5 a b c a b c 5 63 21 35 12 21 35 12 68 63 0,5 đ 5 5 5 25 5 20 a 21. ; b 35. ; c 12. 63 3 63 9 63 21 Vậy: Ba phân số cần tìm là 5 ; 25 và 20 . 0,5 đ 3 9 21 Câu 2 5 y 1 5 1 y 5 1 2y Từ: x 1 2y 40 (3 x 4 8 x 8 4 x 8 1,0 đ điểm) 1 2y ước lẻ của 40 là: 1; 5 0,5 đ Lập bảng: 1-2y -5 -1 1 5 x -8 -40 40 8 y 3 1 0 -2 1,0 đ Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; - 0,5 đ 2)
3. Câu 3 x 1 4 0,5 đ Ta có: A 1 (3 x 3 x 3 điểm) 4 A Z Z x 3 Ư(4) 1; 2; 4 x 3 1,0 đ Lập bảng: x 3 -4 -2 -1 1 2 4 1,0 đ x / 1 4 16 25 49 0,5 đ Vậy: x 1;4;16;25;49 Câu 4 A x 2013 x 2014 x 2015 (2 A x 2013 x 2015 x 2014 điểm) Vì: x 2015 2015 x A x 2013 2015 x x 2014 Mà: x 2013 2015 x x 2013 2015 x 2 A x 2013 2015 x x 2014 2 x 2014   A 2 1,0 đ x 2014 0  x 2013 2015 x 0 Dấu bằng sảy ra x 2014 0 2013 x 2015 1,0 đ x 2014 x 2014 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x 2014 Câu 5 (7 A điểm) H E a) Xét ABH và CAK có: B M C ·AHB C· KA 900 K 0,5 đ AB AC ( ABC cân tại A) 0,5 đ ·ABH C· AE ( Cùng phụ với B· AH ) 1,0 đ ABH CAK ( Cạnh huyền và góc nhọn) 1,0 đ BH AK ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm) b) Ta có MA MB MC 0,5 đ ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác
4. vuông ABC ) 0,5 đ ABC cân tại A vừa là trung tuyến vừa là đường cao AM  BC AMB và AMC vuông cân tại M B· AM ·ACM 450 0,5 đ Ta có: ABH CAK (Theo chứng minh phần a) B· AH ·ACK (Hai góc tương ứng) Mà: 0,5 đ B· AH B· AM M· AH  B· AH 450 M· AH    M· AH M· CK · · · · 0 · ACK ACM MCK  ACK 45 MCK  Xét AMH và CMK có: ·AMH C· MK (cùng phụ với H· MC ) MA MC (Theo chứng minh trên) 1 đ M· AH M· CK (Chứng minh trên) AMH CMK g.c.g MH MK MHK cân tại M · · 0  AMH HMC 90 0  C· MK H· MC H· MK 90 1 đ · · AMH CMK  HMK vuông cân tại M.