Đề thi olympic huyện Kinh Môn năm học 2017 - 2018 môn Toán lớp 8

Nội dung text: Đề thi olympic huyện Kinh Môn năm học 2017 - 2018 môn Toán lớp 8

1. UBND HUYỆN KINH MễN ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MễN: TOÁN- LỚP 8 Thời gian làm bài:150 phỳt ( Đề gồm cú: 5 cõu, 01 trang) Cõu 1: (2,0 điểm) 1) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1. ab 2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > 0. Tớnh giỏ trị biểu thức: C 4a2 b2 Cõu 2: (2,0 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau: 1) x2 3x 2 x 1 0 ; 9x x 2) 8 . 2x2 x 3 2x2 x 3 Cõu 3: (2,0 điểm) 1) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thoả món: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0. 2) Cho đa thức f(x) = x3 -3x2 + 3x - 4 . Với giỏ trị nguyờn nào của x thỡ giỏ trị của đa thức f(x) chia hết cho giỏ trị của đa thức x2 + 2 . Cõu 4: (3,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cựng vuụng gúc với AB. Trờn tia Ax lấy điểm C (khỏc A), qua O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC cắt tia By tại D. 1) Chứng minh AB2 = 4 AC.BD; 2) Kẻ OM vuụng gúc CD tại M. Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vuụng gúc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH. Cõu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món x y z 1 . 1 1 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 16x 4y z Hết
2. UBND HUYỆN KINH MễN HƯỚNG DẪN CHẤM PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 TẠO MễN: TOÁN- LỚP 8 ( Hướng dẫn chấm gồm: 5 cõu, 3 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm 1. (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + 1 = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + 1 0,25 = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 1 0,25 = (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1 0,25 1 = (x4 + x2 – 1)2 0,25 (2 2. (1điểm) điểm) 4a2 + b2 = 5ab (a – b)(4a – b) = 0 a b 0 a b 0,5 4a b 0 4a b Do 2a > b > 0 nờn 4a = b loại 0,25 ab a2 1 Với a = b thỡ C 4a2 b2 4a2 a2 3 0,25 1. (1điểm) * Với x 1 (*) ta có phương trình: x2 -3x + 2 + x-1 = 0 0,25 x2 2x 1 0 x 1 2 0 x 1( Thoả mãn điều kiện *) 0,25 * Với x < 1 ( ) ta có phương trình: x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 0,25 + x - 1 = 0 x 1 ( Không thỏa mãn điều kiện ) + x - 3 = 0 x 3 ( Không thoả mãn điều kiện ) 0,25 Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 1 2. (1điểm) 2 - Xột x = 0 khụng phải là nghiệm (2 - Xột x khỏc 0 điểm) 9x x 8 2x2 x 3 2x2 x 3 9 1 0,25 8 3 3 2x 1 2x 1 x x Đặt : 3 2x t , ta cú phương trỡnh: x 9 1 8 t 1 t 1 0,25 ĐKXĐ x khỏc 1;-1
3. 2 1 0,25 PT 8t 2 8t 2 0 2 2t 1 0 t 2 3 1 2x x 2 0,25 4x2 x 6 0 1 95 (2x )2 0 4 16 => PT vụ nghiệm 1. (1điểm) Ta cú: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0  4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = 0 (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (*) 0,25 9 Ta thấy (2x + 2y + 7)2 0 nờn 4y2 9 y2 do y nguyờn nờn 4 y2 0;1 y 0;1; 1 0,25 Với y = 0 thay vào (*) ta được: 2x 7 2 9 tỡm được x 2; 5 Với y = 1 thay vào (*) ta cú : (2x + 9)2 = 5 - khụng tỡm được x nguyờn 0,25 Với y = -1 thay vào (*) ta cú (2x + 5)2 = 5 - khụng tỡm được x nguyờn Vậy (x;y) nguyờn tỡm được là (-2 ; 0) ; (-5 ; 0). 0,25 3 2. (1điểm) (2 2 Chia f (x) cho x 2 được thương là x - 3 dư x + 2. 0,25 điểm) để f (x) chia hết cho x2 2 thỡ x + 2 chia hết cho x2 2 => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x2 + 2 => x2 - 4 chia hết cho x2 + 2 => x2 + 2 - 6 chia hết cho x2 + 2 => 6 chia hết cho x2 + 2 => x2 + 2 là ước của 6 0,25 mà x2 2 2 => x2 2 3;6 0,25 => x 1; 2 Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa món Vậy với x = 1 ; x = -2 thỡ f (x) chia hết cho x2 2 0,25 Vẽ hỡnh và ghi GT, KL y x D I 0,25 4 (3 M điểm) C K A H O B
4. 1. (1điểm) Chứng minh: ΔOAC: ΔDBO (g-g ) 0,25 OA AC 0,25 OA.OB AC.BD DB OB AB AB 2 0,25 . AC.BD AB 4AC.BD (đpcm) 2 2 2. (1điểm) OC AC Theo cõu a ta cú: ΔOAC: ΔDBO (g-g) OD OB OC AC OC OD 0,25 Mà OA OB OD OA AC OA +) Chứng minh: ΔOCD: ΔACO (c-g-c) Oã CD Ã CO 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC MC (đpcm) 0,5 3. (1điểm) Ta cú ΔOAC=ΔOMC OA OM; CA CM OC là trung trực của AM OC  AM. Mặt khỏc OA = OM = OB ∆AMB vuụng tại M 0,25 OC // BM (vỡ cựng vuụng gúc AM) hay OC // BI Chứng minh được C là trung điểm của AI 0,25 MK BK KH 0,25 Do MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lột ta cú: IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 P= x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 0,25 y x 1 Theo BĐT Cụ Si ta cú: dấu “=” khi y = 2x; 0,25 16x 4y 4 5 z x 1 z y Tương tự: dấu “=” khi z = 4x; 1 dấu “=” khi z = 2y; 0,25 (1điểm) 16x z 2 4y z 49 1 2 4 P . Dấu “=” xảy ra khi x = ; y = ; z = 16 7 7 7 0,25 49 1 2 4 Vậy Min P = khi với x = ; y = ; z = 16 7 7 7 *Chỳ ý: Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.