Đề thi KS học sinh giỏi cấp trường - Môn Toán 8

Nội dung text: Đề thi KS học sinh giỏi cấp trường - Môn Toán 8

1. ĐỀ THI KS HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán 8 Trường THCS Lương Thế Vinh – Năm học 2018-2019 Bài 1 Phân tích các đa thức thành nhân tử: 8 1) 18x3 - x 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) 3 x 1 x 3 5 Bài 2Cho biểu thức: A = 2 : 2 x 1 2x 2 2x 2 4x 4 a) Tìm ĐK của x để giá trị của biểu thức A được xác định. b) Rút gọn A Bài 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. a b 2 b c 2 c a 2 Tính: M = 1 a2 1 b2 1 c2 1 1 1 1 1 1 Bài 4 a) CMR :Nếu 2 và a + b + c = abc thì ta có 2 a b c a2 b2 c2 b) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0 Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài 6 Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q. 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD. 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC. 3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB. 4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB. (đã làm ngày 3/12/2019)
2. ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2017-2018 Môn: Toán Lớp 8 Biểu Bài Câu Nội dung điểm 8 2 4 18x3 - x = 2x 9x 25 25 0,5 1 2 2 2x 3x 3x 5 5 0,5 a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – 1 2 - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] 0,5 = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)= (a + b)(a - b)3 0,5 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1= (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + 1 3 = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + 1 = (x2 – 7x + 11)2 – 1 + 1= (x2 – 7x + 11)2 1,0 a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện: 2 x 1 0 2 x 1 2 1 2x 2 0 x 1 x 1 2x 2 0 x 1 2 4x 4 0 0,5 Với x 1 , ta có: 3 x 1 x 3 4x2 4 A = . (x 1)(x 1) 2(x 1) 2(x 1) 5 2 6 (x 1)2 (x 3)(x 1) 4(x 1)(x 1) (6 x2 2x 1 x2 2x 3).2 = . = = 4 2(x 1)(x 1) 5 5 1,0 0,5 Ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) 0,5 2 2 1 Tương tự: 1 + b = (b + a)(b + c) và 1 + c = (c + a)(c + b) 0,5 a b 2 (b c)2 (c a)2 Do đó: A = 1 3 (a b)(a c)(b a)(b c)(c a)(c b) 0,5
3. 1 1 1 Theo gt: 2 nên a 0 , b 0, c 0 a b c 1 1 1 Ta có: 2 a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 4 a b c a b c ab bc ca 1 1 1 a b c a b c 2 2 2 2 4 Vì a + b + c = abc (gt) nên 1 a b c abc abc 1 1 1 1 1 1 2 4 2 ( đpcm) a2 b2 c2 a2 b2 c2 4 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0 y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0 y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0 (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0 (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0 0,5 2 y 2x 3 0 (vì (y + 2x – 3)2 0 và 3(x – 2)2 0) x 2 0 0,5 x 2 . Vậy x = 2; y = -1 y 1 0,5 2 2 3 3 9 3 7 Ta có: A = x2 + 3x + 4 = x2 + 2x. 4 = x 2 2 4 2 4 0,25 2 2 3 3 7 7 5 Với mọi x, ta có: x 0 x > 0 2 2 4 4 2 2 7 49 A 12,25 2 4 0,25 3 3 Dấu “=” xảy ra khi x 0 x 2 2 0,5 3 Vậy minA = 12,25 khi x = - 2 0,5
4. 1 Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung 0,5 điểm của mỗi đường. 1 Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD 0,5 Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD . 2 2 1 1 Theo câu 1) P là là trọng tâm của ABD AP AO . AC AC 3 3 2 3 0,5 1 6 Tương tự, ta có: CQ AC 2 3 0,5 1 Do đó: PQ = AC – AP – CQ = AC 3 Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI là hình bình hành 0,5 3 AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) 0,5 Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB. KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK EF là đường trung bình của KMI 1 0,5 EF= KI KI = 2.EF 4 2 Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE và AF = AE Tứ giác ABFE là hình bình hành 0,5 EF = AB (5) Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD. Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa