Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn: Toán 7

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn: Toán 7

1. PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG THÁI THỤY MÔN : TOÁN 7 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bài 1. (2 điểm) Không dùng máy tính, hãy tính : 2 3 2 2 2 a)A 6. 12. 18. ; 3 3 3 b) B = (18.124 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 + 7 + + 5896). Bài 2. (2 điểm) Cho a, b, c là các hằng số. Hãy thu gọn các đơn thức sau và xác định bậc của chúng : 5 1 3 4 2 a)M (a 1)x y z ; 2 b)N (ab2xy2zn 1)( b3cx4z7 n ) . Bài 3. (2 điểm) 9 Tìm các số nguyên x để Q nhận các giá trị là số tự nhiên. x 5 Bài 4. (2 điểm) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn điều kiện : 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d . a b 2c d a b b c c d d a Hãy tính : P c d d a a b b c Bài 5. (2 điểm) Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c là các số nguyên) chia hết cho 2007 với mọi x nguyên thì các hệ số a, b, c đều chia hết cho 2007. Bài 6 (8 điểm) Cho góc vuông xOy. Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy. Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và OF = OA. 1. Chứng minh AB = EF và AF // BE. 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF. a) Chứng minh : OM = ON ; b) So sánh EON và BOM ; c) MON là tam giác gì ? Vì sao ? Học sinh : Số báo danh : Trường THCS :
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (2 điểm) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 a) A 6 12 18 6 1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 1 4.1 4 ; 3 3 b) B (18.124 9.436.2 3.5310.6) :(1 4 7  . 5869) M N M = 18(124 + 436 + 5310) = 18.5870 ; (1 5869).1957 5870.1957 Tổng N có (5869 – 1) : 3 + 1 = 1957 số hạng nên N 2 2 2.18.5870 36 B M : N 1957.5870 1957 Bài 2. (2 điểm) 5 1 3 4 2 1 5 5 20 10 a) M (a 1)x y z (a 1) .x y z 2 32 - Nếu a = 1 thì M = 0 M không có bậc. - Nếu a ≠ 1 thì bậc của M là 45. b) N (ab2xy2zn 1)( b3cx4z7 n ) ab5c.x5y2z6 - Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 N = 0 N không có bậc. - Nếu a, b, c ≠ 0 Bậc của N bằng 13. Bài 3. (2 điểm) 9 Q nhận các giá trị nguyên x 5 9 ( x 5) x 5 { 1 ; 3 ; 9} Q là số tự nhiên khi x 5 > 0 x 5 { 1 ; 3 ; 9}. Từ đó : x 5 1 x 6 x 36 ; x 5 3 x 8 x 64 ; x 5 9 x 14 x 196.
3. Thử lại, các giá trị trên đều thoả mãn. Vậy Q nhận giá trị nguyên với x {36 ; 64 ; 196} Bài 4. (2 điểm) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Ta có: a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d (1) a b c d Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì từ (1) suy ra a = b = c = d. Do đó : P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; Nếu a + b + c + d = 0 (a + b) = (c + d) và (b + c) = (a + d) Do đó : P = 1 1 1 1 = 4. Bài 5. (2 điểm) Vì f(x)  2007 x nên ta có: f(0) = c  2007, và : f (1) a b c  2007 f (1) f (- 1) 2(a c)  2007 f (- 1) a - b c  2007 f (1) f (- 1) 2b  2007 a c  2007 a  2007 (do c  2007) (do 2  2007) b  2007 b  2007 Vậy a ⋮ 2007 , b ⋮ 2007, c ⋮ 2007.) y B Bài 6 (8 điểm) 1 1. * Chứng minh AB = EF. M Xét OAB và OFE có: OA = OF (giả thiết) A· OB F· OE 900 E 1 O A x OB = OE (giả thiết) OAB = OFE (c.g.c). N Suy ra AB = EF. F * Chứng minh AF // BE. OAF và OBE cùng vuông cân tại O nên O· BE O· FA 450 . Hai góc này ở vị trí so le trong nên AF // BE. 2. a, b) Vì AB = EF (chứng minh trên) nên AB : 2 = EF : 2 hay BM = EN.
4. Xét OMB và ONE có: OA = OF (giả thiết) Bµ 1 Eµ 1 (vì OAB = OFE) BM = EN (chứng minh trên) OMB = ONE (c.g.c). Do đó OM = ON. c) Vì OM = ON (chứng minh trên) nên OMN cân tại O. Chú ý: Điều kiện đề bài nêu ra chưa chặt chẽ. Nếu OA = OB thì M, O, N thẳng hàng, khi đó không tồn tại OMN.