Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 môn Toán 7

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI o0o NĂM HỌC 2007-2008 Môn: Toán 7. ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 a) Tính tổng 2009 số hạng đầu của dãy b) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho?. Bài 2 : a c (a b) 2007 a 2007 b 2007 a) Cho . Chứng minh rằng : . b d (c d) 2007 c 2007 d 2007 b) Tìm các số nguyên a và b thoả mãn : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105. Bài 3: a. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn: a 2b b 2c c 2a . 5 7 9 Tìm tỉ lệ các đường cao tương ứng của tam giác. b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1). Tính diện tích tam giác ABC. Bài 4 : Cho tam giác ABC có AB > AC và góc A có số đo bằng á . đường thẳng đi qua A vuông góc với phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC. Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC ? Bài 5: Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và các đường cao tương ứng là ha; hb; hc. h 2 h 2 h 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì? (a b c) 2 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu số Nội dung Điểm 1-a(0,5đ) Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+13 -19+25-31+37 =1+(-7+13)+(-19+25)+(-31+37)=1+(-7+13)- - (0,25đ) (1004 cặp) =1+6*1004 (0,25đ) =6025 1-b(1 đ) Số hạng thứ nhất: a1=1 1 Số hạng thứ hai: a2=-7=-(6+1)=(-1) . (6+1) 0,25đ 2 Số hạng thứ ba: a3=13= 2.6+1=(-1) .( 2.6+1) 3 Số hạng thứ tư: a4=-19=-(3.6+1)= (-1) .( 3.6+1) 0,25đ 4 Số hạng thứ năm: a5=25=4.6+1= (-1) .( 4.6+1) n-1 Số hạng tổng quát là: an=(-1) [(n-1).6+1]. 0,5đ 2-a(0,5 đ) a c a b a 2007 b 2007 a 2007 b 2007 (1) b d c d c 2007 d 2007 c 2007 d 2007 0,25đ Mặt khác: a b a b a 2007 b 2007 (a b) 2007 . (2) c d c d c 2007 d 2007 (c d) 2007 0,25đ Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh. 2-b(1,5 đ) Và 105 là số lẻ nên (2a + 5b + 1) và (2|a| +a2 + a + b) là số lẻ. Do 0,25đ (2a + 5b + 1) lẻ suy ra b chẵn. Mà a2+a=a(a+1) chẵn nên 2|a| lẻ. Suy ra a=0. 0,25đ Với a=0. Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5) 0,25đ Do (5b+1; 5)= 1 nên 0,25đ 5b 1 21 5b 1 21 hoÆc b 4 . b 1 5 b 1 5 0,25đ a 0 Thử lại thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ b 4 3-a(1,5 đ) áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: a 2b b 2c c 2a a b c 0,25đ 5 7 9 7 a c chỉ ra: a 3b c . 0,5đ 3b a Gọi ba đường cao của tam giác lần lượt là ha; hb; hc. Có: a.ha=b.hb=c.hc(=2.SABC). 0,25đ 3bha bhb 3bhc 3ha hb 3hc 0,25đ h hay : h b h 0,25đ a 3 c 2
3. 3-b(1 đ) Vẽ hình chính xác: Dựng hình chữ nhật PQRC. Tính được:S , S , 0,25 đ PQRC PAC 0,25 đ Tính được:SQAB, SRBC. 1 0,25 đ Từ đó tính được: SABC= SPQRC-(SPAC+ SQAB+SRBC)= 8 (đvdt) 2 0,25 đ Câu 4(2đ) vẽ hình tương đối đúng 0,25đ Trên tia BA lấy D sao cho AD=AC. Khi đó BD=BM Suy ra Tam giác BDM cân, AM vuông góc với phân giác trong nên AM là phân giác ngoài hay MA là phân giác góc M. Vẽ thêm hình phụ phù hợp với bài: 0,5đ Từ đó: ^ B ^ BAM ^ AMB 1800 0,25đ 1800 ^ B ^ B 900 1800 2 4 0,25đ 2 ^ B 600 3 0,25đ 2 ^C 1800 (^ B ^ A) 1800 (600 ) 3 0,25đ ^C 1200 3 0,25đ 3
4. Câu 5(2 đ) Vẽ hình; ghi GT-KL 0,25đ Gọi ABC là tam giác với BC=a, CA=b, AB=c. Qua C kẻ Cx song song với AB. Dựng điểm D sao cho Cx là đường trung trực của AD. Theo định lý Pitago ta có: 0,25đ AB 2 AD 2 BD 2 (BC CD) 2 2 2 2 c 4hc (a b) 2 2 2 4hc (a b) c 0,25đ Tương tự ta có: 2 2 2 4ha (b c) a 2 2 2 0,25đ 4hb (c a) b Suy ra: 2 2 2 2 4( ha +hb + hc )≤(a+b+c) 2 2 2 0,25đ ha hb hc 1 Suy ra: 2 . (a b c) 4 0,25đ Dấu “=” sảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. h 2 h 2 h 2 1 Kết luận: a b c đạt GTLN bằng khi tam giác ABC (a b c) 2 4 0,25đ đều. tài nguyên giáo dục 4