Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Kim Ngọc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Kim Ngọc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS KIM NGỌC NĂM HỌC: 2016- 2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi: 18 tháng 4 năm 2017 Câu 1: (2.0 điểm). ab bc ca a) Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn điều kiện . a b b c c a 18ab 4bc 2017ca Tính giá trị của biểu thức P a2 b2 c2 b) Giả sử A 1.3.5. .2017 . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2A 1;2A;2A 1 không có số nào là số chính phương. Câu 2: (2.0 điểm). a) Biết 2x 8y và 9y 3x 1 . Tính x y 2 2 x 3 x2 9 x 3 b) Giải phương trình: 13 2 14 0 x 1 x 1 x 1 Câu 3: (2.0 điểm). Cho đa thức B x4 y4 z4 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 a) Phân tích B thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu x,y,z là số đo các cạnh của một tam giác thì B < 0 Câu 4: (2.5 điểm). Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Câu 5: (1.5 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 2y2 2xy y 2 b) Chứng minh rằng, với a,b,c 0 ta có bất đẳng thức: 2 1 1 1 a b c a b b c c a 6abc Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
2. PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS KIM NGỌC NĂM HỌC: 2016- 2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày thi: 08 tháng 4 năm 2013 Thang Câu Nội dung trình bày điểm ab bc ca a b b c c a 0,25đ a) Do a,b,c là ba số khác 0 nên từ a b b c c a ab bc ca 1 1 1 1 1 1 0,25đ a b b c c a 1 1 1 1 1 1 Từ a c (1) a b b c a c Tương tự có a b (2) 0,25đ Từ (1) và (2) suy ra a=b=c 18ab 4bc 2017ca 18a2 4a2 2017a2 2039a2 2039 0,25đ Khi đó P (do 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 3a2 3 a 0 ) b) + Ta có 2A2 nhưng 2A 4 2A không là số SCP 0,25đ + Lại có A3 2A3 2A 1 2A 3 2 chia 3 dư 2 2A 1 không là SCP (do SCP chia 3 dư 0 hoặc 1) 0,25đ + Giả sử 2A 1 k 2 (k lẻ do 2A+1 lẻ) 2A k 2 1 (k 1)(k 1)4 A2 (mâu thuẫn với đề bài) Vậy trong ba số nguyên liên tiếp 2A 1;2A;2A 1 không có số nào là số chính 0,5đ phương (đpcm). a) Ta có 2x 8y 2x 23y x 3y (1) 9y 3x 1 32 y 3x 1 2y x 1 (2) 0,25đ Từ (1) và (2) suy ra x 3; y 1 0,25đ Vậy (x;y)=(3;1) x 3 x 3 b) Đặt u ;v x 1 x 1 ta có phương trình: u2 13uv 14v2 0 u v 0,5đ (u v)(u 14v) 0 u 14v x 3 x 3 x 1 8x 0 0,5đ + Nếu u=v ta có x 0 2 2 x 1 x 1 x 4x 3 x 4x 3 x 1 + Nếu u=-14v ta có x 3 x 3 x 1 15x2 52x 45 0 14. 2 2 x 1 x 1 x 4x 3 14(x 4x 3) x 1 0,5đ
3. x 1 5 x 1 x 3 (3x 5)(5x 9) 0 9 x 5 5 9 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 0; ;  3 5 a) Ta có B x4 y4 z4 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 x4 y4 z4 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 4z2 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x y z ) 4z x (x y z 2zx) x y z 2xz 1.0đ 2 2 2 2 (x z) y (x z) y (x z y)(x z y)(x z y)(x z y) b) Do x;y;z là số đo các cạnh của một tam giác nên ta có 1.0đ x y z 0; x z y 0; x y z 0; x z y 0 B 0 (đpcm) A B O M N D C OM OD ON OC 3 a) Lập luận để có , AB BD AB AC 1.0đ OD OC OM ON Lập luận để có OM = ON DB AC AB AB OM DM OM AM 1.0đ b) Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON).( ) 2 AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0.5đ c) , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009
4. 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị DT) a) Ta có x2 2y2 2xy y 2 y2 y 2 (x y)2 (y 1)(y 2) (x y)2 0 2 y 1 Do y Z y 2; 1;0;1 0,75đ + Nếu y=-2 ta có x=2 + Nếu y= -1 thì x Z + Nếu y=0 ta có x Z + Nếu y=1 ta có x=-1 Vậy (x; y) (2; 2);(1;1) b) Ta biết a b 2 4ab a b 2 0 hay 0 0) Khi đó 1 1 1 4abc 4abc 4abc (a b)2 c (b c)2 a (c a)2 b 5 4abc a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c b c a c a b 0,75đ 2 ab bc ca (1) Lại có ab bc ca a2 b2 c2 3 ab bc ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b c 2 (2) 1 1 1 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: 4abc a b c a b b c a c 3 2 1 1 1 a b c (đpcm) a b b c c a 6abc Dấu “=” xảy ra khi a=b=c>0 Lưu ý: HDC chỉ nêu tóm tắt 1 cách giải của mỗi bài toán. Nếu học sinh làm cách khác mà vẫn đúng, giám khảo hội ý thống nhất và cho điểm tuyệt đối