Đề thi HSG cấp trường – Môn Toán 6

Nội dung text: Đề thi HSG cấp trường – Môn Toán 6

1. ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG – MÔN TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 : (3 điểm) Tìm số nguyên x biết : a. x + (x+1) + (x+3) + (x+5) + + (x+2015) = 2016 b. 2 + 4 + 6 + 8 + + 2x = 110 c. 19x 2.52 :14 13 8 2 42 Bài 2 : (4 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý : a/ 1.2.3.4 2015 - 1.2.3.4 2014 - 1.2.3.4 2013. 20142 2 3.4.216 b/ 11.213.411 169 c/ 2015 - (374 + 2015) + (-2014 + 374) d/ 1-2 + 3-4 + 5-6 +7-8 + + 2013- 2014 +2015 Bài 3 (4 điểm) : a/ Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 1 1 1 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 (2n)2 4 n 10 Câu 4: (3 điểm) Cho biểu thức: A (Với n N*) 2n a/ Tìm điều kiện của n để để biểu thức A là một phân số. b/ Viết biểu thức A thành tổng của hai phân số không cùng mẫu . c/ Tìm n để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a/ Chứng tỏ rằng OA < OB. b/ Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c/ Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). - Hết –
2. ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Bài-câu Nội dung Điểm Bài 1 a/ 2016x +(1+3+5+ +2015) = 2016 (*) Tổng : 1+3+5+ +2015 có: (2015-1):2+1= 1008 số hạng = > Tổng : 1+3+5+ +2015 có: 504 cặp số 1 Từ (*) = > 1009x + (2015+1).504 = 2016 = > 1009x = 2016.(1-504) = > x = ? b/ 2 + 4 + 6 + 8 + + 2x = 110 2(1+2+3+4+ +x) = 110 x 1 .x 1 2. = 110 = > (x+1).x = 110 = 11.10 2 = > nếu x+1= 11 thì x= 10 với x >0 c/ 19x 2.52 :14 13 8 2 42 1 (19x + 50):14 = 25-16 =9 x = 4 Bài 2 a/ =1.2.3.4 2014.(2015-1-2014)= 1.2.3.4 2014.0 = 0 1 b/ 2 16 2 18 2 1 3.2 .2 9.2 9.236 = = =2 11.213.222 236 11.235 236 235.9 c/ 2015 - 374 – 2015-2014 + 374 = -2014 1 d/ 1-2 + 3-4 + 5-6 +7-8 + + 2013- 2014 +2015 1 =(-1)+ (-1)+ (-1)+ (-1)+ + (-1) +2015 = (-1).1007 + 2015 = 1008 Bài 3 a/ 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 (3y-2)(2x+1) = (-5).11 =5.(-11) 3y-2=-5 và 2x+1=11 => y=-1 và x= 5 hoặc 3y-2=11 và 2x+1=-5 => y=13/3 và x= -3 (loại) hoặc 3y-2=5 và 2x+1=-11 => y=7/3 và x= -6 (loại) hoăc 3y-2=-11 và 2x+1=5 => y=-13/3 và x= 2 (loại) Vậy ta có các cặp số nguyên (x,y) là: (5,-1) 1 1 1 1 b/ Ta có: 1 (2.2)2 (2.3)2 (2.4)2 (2n)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .( ) < .( ) 4 22 32 42 n2 4 1.2 2.3 3.4 (n 1).n 1 1 1 = .(1 ) 4 n 4 Bài 4 a/ n Z , n 0 1
3. 1 5 b/ = 1 2 n 5 c/ A lớn nhất khi lớn nhất => Với n N* , n nhỏ nhất 1 n = > n =1 Bài 4 Vẻ hình 1 a/ Vì O thuộc tia đối của tia AB => A nằm giửa O và B 1 => OA+AB= OB = > OA<OB (Vì độ dài các đoạn thẳng là các số dương) b/ Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên : 1 OA OB OM ; ON 2 2 Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. c/ Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có : 1 OM MN ON suy ra : MN ON OM OB OA AB hay : MN 2 2 Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).
4. 1 1 1 1 1 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 2n2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có A ; A 42 62 82 (2n)2 (2.2)2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 2 2 2 4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ; A 1 (ĐPCM) 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n 4 n 4