Đề thi HSG cấp thị xã - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi HSG cấp thị xã - Môn: Toán 8

1. UBND THỊ XÃ TỪ SƠN- PGD VÀ ĐT ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. (4 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 9x2 23x 15 b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 2. Cho x, y, z thỏa mãn: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Tính giá trị của biểu thức: P x 1 2020 y 3 2021 z2019 Câu 2. (4 điểm) 3 3 1 3 3 1. Tìm x biết: x 3 x 4 x 1 4 4 2. Tìm tất cả các số nguyên n để n4 2n3 2n2 n 7 là số chính phương. 3. Cho các số a,b,c,d nguyên thỏa mãn a3 b3 2 c3 8d 3 Chứng minh rằng: a b c d 3 Câu 3. (4 điểm) 1. Tìm cặp số x, y nguyên thỏa mãn x2 x 3 y2 . 2. Tìm đa thức f x biết f x chia cho x 2 dư 5 , f x chia cho x 3 dư 7 , f x chia cho x 2 x 3 được thương là x2 1 và còn dư. Câu 4. (6 điểm) Cho ABC vuông tại A AB AC ,đường cao AH . Lấy điểm K trên HC sao cho AH AK . Từ K vẽ đường thẳng vuông góc với BC , từ A vẽ đường thẳng vuông góc với AH , chúng cắt nhau tại E . 1. Chứng minh rằng tứ giác AHKE là hình vuông. 2. Gọi P là giao điểm của KE và AC . Chứng minh rằng AB AP . 3. Qua P vẽ đường thẳng song song với AB , qua B vẽ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại Q . Gọi I là giao điểm của PB và AQ . Chứng minh I, H, E thẳng hàng. 4. Tính góc AKQ ? Câu 5. (2 điểm) 1. Cho x,y thỏa mãn x y x2 y2 xy 3 3 x2 y2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 2xy 2x 6y 2020 .
2. 2. Có tồn tại hay không số có dạng 202020202020 chia hết cho 2021? HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI UBND THỊ XÃ TỪ SƠN- PGD VÀ ĐT ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1. (4 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 9x2 23x 15 b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 2. Cho x, y, z thỏa mãn: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 Tính giá trị của biểu thức: P x 1 2020 y 3 2021 z2019 Lời giải 1.a) x3 9x2 23x 15 x3 x2 8x2 8x 15x 15 x 1 (x2 8x 15) (x 1)(x 3)(x 5) b) B (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 2 2 x 2 x 5 x 3 x 4 24 x 7x 10 x 7x 12 24 Đặt a x2 7x 11 thì B a 1 (a 1) 24 a2 25 a 5 a 5 Thay trở lại biến cũ: B x2 7x 6 (x2 7x 16) x 1 x 6 x2 7x 16 2. 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 9(x 1)2 (y 3)2 2(z 1)2 0 Do đó: x 1; y 3; z 1 Thay vào P được P 1 Câu 2. (4 điểm) 3 3 1 3 3 1. Tìm x biết: x 3 x 4 x 1 4 4 2. Tìm tất cả các số nguyên n để n4 2n3 2n2 n 7 là số chính phương.
3. 3. Cho các số a,b,c,d nguyên thỏa mãn a3 b3 2 c3 8d 3 Chứng minh rằng: a b c d 3 Lời giải 3 3 1 3 3 1. x 3 x 4 x 1 4 4 1 3 Đặt a x 3;b x 4 a b x 1 4 4 a 0 3 3 3 Phương trình thành: a b a b 3ab(a b) 0 b 0 a b 16 Tìm được x 12; ;1 3 2. Đặt : A n4 2n3 2n2 n 7 2 2 2 2 2 2 1 27 A n n n n 7 n n n 2 4 2 Do đó: A n2 n n 2 2 n 2 Xét hiệu: n n 1 A n 3 n 2 0 n 3 2 Như vậy với n 2 hoặc n 3 thì n2 n A n2 n 1 nên A không là số chính phương. Để A là số chính phương thì 3 n 2 hay n 3; 2; 1;0;1;2 Thử lần lượt với từng giá trị trên thì được n 3;2 thỏa mãn Vậy n 3;2 là giá trị cần tìm. 3. a3 b3 2 c3 8d 3 a3 b3 2c3 16d 3 a3 b3 c3 d 3 3 c3 5d 3 a3 b3 c3 d 3 3 (1) Có : a3 b3 c3 d 3 a b c d a a 1 a 1 b b 1 (b 1) c c 1 c 1 Tích của ba số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho 3 nên : a(a 1)(a 1);b b 1 b 1 ;c c 1 c 1 đều chia hết cho 3
4. Do đó a3 b3 c3 d 3 a b c d 3 ( Câu 3.(4 điểm) 1. Tìm cặp số x, y nguyên thỏa mãn x2 x 3 y2 . 2. Tìm đa thức f x biết f x chia cho x 2 dư 5 , f x chia cho x 3 dư 7 , f x chia cho x 2 x 3 được thương là x2 1 và còn dư. Lời giải 1. x2 x 3 y2 4x2 4x 12 y2 2x 1 2 11 y2 2x 1 y 2x 1 y 11 . 2x 1 y 1 x 3 Th1: . 2x 1 y 11 y 6 2x 1 y 1 x 2 Th2: 2x 1 y 11 y 6 2x 1 y 11 x 3 Th3: 2x 1 y 1 y 6 2x 1 y 11 x 2 Th4: 2x 1 y 1 y 6 2. Gọi f x x 2 x 3 x2 1 ax b . f x chia cho x 2 dư 5 f 2 5 2a b 5 . f x chia cho x 3 dư 7 f 3 7 3a b 7 . 2a b 5 a 2 Từ đó ta có . 3a b 7 b 1 Từ đó f x x 2 x 3 x2 1 2x 1 x4 5x3 5x2 7x 7 . Câu 4.(6 điểm) Cho ABC vuông tại A AB AC ,đường cao AH . Lấy điểm K trên HC sao cho AH HK . Từ K vẽ đường thẳng vuông góc với BC , từ A vẽ đường thẳng vuông góc với AH , chúng cắt nhau tại E . 1. Chứng minh rằng tứ giác AHKE là hình vuông. 2. Gọi P là giao điểm của KE và AC . Chứng minh rằng AB AP . 3. Qua P vẽ đường thẳng song song với AB , qua B vẽ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại Q . Gọi I là giao điểm của PB và AQ . Chứng minh I, H, E thẳng hàng. 4. Tính góc AKQ ? Lời giải
5. B Q H I K A P C E 1. Xét tứ giác AHKE có : A 90  H 90 AHKE là hình chữ nhật. K 90 Trong hình chữ nhật AHKE có AH HK (gt) nên AHKE là hình vuông. A H K E 90 2. Có AHKE là hình vuông (c/m câu a) suy ra AH HK KE EA Xét AHB và AEP có : AHB AEP  AH AE  AHB AEP(g.c.g) AB AP. HAB EAP( 90 HAP) 3. Có AHKE là hình vuông (c/m câu a) nên đường thẳng HE là trung trực của AK (1) AB//PQ, AP//BQ Xét tứ giác ABQP có BAP 90  ABQP là hình vuông IA IB IP IQ. AB AP  Trong tam giác vuông BPK cóKI là trung tuyến nên KI PI mà IP IA IA IK hay I thuộc trung trực của AK (2) Từ (1) và (2) ta có H, I, E thẳng hàng.
6. B Q H I K A P C E 4. Trong tam giác AQK có IK IA (cmt) mà IA IQ IA IQ IK nên tam giác AKQ vuông tại K (đpcm). Câu 5.(2 điểm) 1. Cho x,y thỏa mãn x y x2 y2 xy 3 3 x2 y2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 2xy 2x 6y 2020 . 2. Có tồn tại hay không số có dạng 202020202020 chia hết cho 2021? Lời giải 1. 1. x y x2 y2 xy 3 3 x2 y2 2 2. x3 y3 3x 3y 3x2 3y2 2 3. x3 3x2 3x 1 y3 3y2 3y 1 x 1 3 y 1 3 x 1 y 1 y x 2 . Từ đó P x2 x 2 2 2x x 2 2x 6 x 2 2020 4x2 16x 2028 4 x 2 2 2012 . Từ đó P 2012 min P 2012 . Dấu “=” xảy ra khi x 2 . 2. Xét các số có dạng 202020202020 un n so 2020 Giả sử tất cả các số này đều không chia hết cho 2021. Xét n từ 1 đến 202 ,0 rõ ràng phải tồn tại a, bkhác nhau sao cho ua , u cùngb số dư khi chia cho 2021 . (Định lí Dirichle). Giả sử a b . b Khi đó ua ub 202020202020 . 1 0 chia hết cho 2021. a b so 2020 Mà 10b và 2021 nguyên tố cùng nhau.
7. Từ đó 202020202020 chia hết cho 2021 (vô lí). a b so 2020 Vậy điều giả sử là sai. Vậy có tồn tại số có dạng 202020202020 chia hết cho 2021?  HẾT 