Đề thi học sinh giỏi Toán 8 cấp huyện (đề 6)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Toán 8 cấp huyện (đề 6)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Cõu 1. (2 điểm) a3 4a2 a 4 Cho P a3 7a2 14a 8 a) Rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trị nguyờn của a để P nhận giỏ trị nguyờn. Cõu 2. (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyờn chia hết cho 3 thỡ tổng cỏc lập phương của chỳng chia hết cho 9 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 cú giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. Cõu 3. (2 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trỡnh: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Cõu 4. (3 điểm) Cho tam giỏc đều ABC,gọi M là trung điểm của BC. Một gúc xã My bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: BC 2 a) BD.CE 4 b) DM ,EM lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BDE và CED c) Chu vi tam giỏc ADE khụng đổi Cõu 5. (1 điểm) Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng cú số đo cỏc cạnh là cỏc số nguyờn dương và số đo diện tớch bằng số đo chu vi
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. a) a3 4a2 a 4 a 1 a 1 a 4 a3 7a2 14a 8 a 2 a 1 a 4 Nờu ĐKXĐ: a 1;a 2;a 4 a 1 Rỳt gọn P a 2 b) a 2 3 3 P 1 ;ta thấy P nguyờn khi a 2 là ước của 3, mà a 2 a 2 U (3) 1;1; 3;3, từ đú tỡm được a 1;3;5 Cõu 2. a) Gọi 2 số phải tỡm là a và b, ta cú a b chia hết cho 3. Ta cú: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a2 2ab b2 3ab a b a b 2 3ab Vỡ a b chia hết cho 3 nờn a b 2 3ab chia hết cho 3 Do vậy a b a b 2 3ab chia hết cho 9 2 b) P x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 36 2 2 Ta thấy x2 5x 0 nờn P x2 5x 36 36 2 x 0 Do dú MinP 36 x 5x 0 x 5
3. Cõu 3. a) x2 9x 20 x 4 x 5 x2 11x 30 x 6 x 5 x2 13x 42 x 6 x 7 ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trỡnh trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 b) Đặt b c a x 0;c a b y 0;a b c z 0 y z x z x y từ đú suy ra a ;b ;c ; 2 2 2 Thay vào ta được y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đú suy ra A 2 2 2 hay A 3 2
4. Cõu 4. y A x E 2 D 1 2 1 3 C B M à 0 ả a) Trong tam giỏc BDM ta cú: D1 120 M1 ả 0 ả 0 ả Vỡ M 2 60 nờn ta cú: M 3 120 M1 à ả Suy ra D1 M 3 . Chứng minh BMD : CEM (1) BD CM Suy ra , Từ đú BD.CE BM.CM BM CE BC BC 2 Vỡ BM CM , nờn ta cú: BD.CE 2 4 BD MD b) Từ (1) suy ra CM EM à ả ã Chứng minh BMD : MED D1 D2 , do đú DM là tia phõn giỏc BDE Chứng minh tương tự ta cú : EM là tia phõn giỏc Cã ED c) Gọi H,I,K là hỡnh chiếu của M trờn AB,DE, AC . Chứng minh DH DI,EI EK
5. Tớnh chu vi tam giỏc bằng 2AH - khụng đổi Cõu 5. Gọi cỏc cạnh của tam giỏc vuụng là x, y, z trong đú cạnh huyền là z (x, y, z là cỏc số nguyờn dương) Ta cú: xy 2 x y z 1 và x2 y2 z2 (2) Từ (2) suy ra z2 x y 2 2xy, thay (1) vào ta cú: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 Suy ra z 2 x y 2 z x y 4; thay vào 1 ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 x 4 y 4 8 1.8 2.4 Từ đú ta tỡm được cỏc giỏ trị của x, y, z là: x; y; z 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 