Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo thành Hoằng Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo thành Hoằng Hóa (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HểA NĂM HỌC: 2014 -2015 Mụn thi: Toỏn Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian làm bài: 150 phỳt ( khụng kể thời gian giao đề) ( Đề thi này cú 06 bài, gồm 01 trang ) 1 6x 3 2 Bài 1: (4,5 điểm). Cho biểu thức: Q : (x 2) . x 1 x 3 1 x 2 x 1 a) Tỡm điều kiện xỏc định của Q, rỳt gọn Q. 1 b) Tỡm x khi Q = . 3 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q. Bài 2: (4,5 điểm). 2x 3 2x 5 6x 2 9x 9 a) Giải phương trỡnh: 1 . 2x 1 2x 7 (2x 1)(2x 7) b) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x3 – 2x2 – x +2 c) Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn dương sao cho: x2 = y2 + 2y + 13. Bài 3: (4,0 điểm). ab 1 bc 1 ca 1 a) Cho abc ≠ 1 và . Chứng minh rằng a = b = c. b c a b) Cho số tự nhiên n 3. Chứng minh rằng nếu 2n 10a b (a, b N , 0 b 10) thì tích ab chia hết cho 6. Bài 4: (5,0 điểm). Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA. HD HE HF b) Chứng minh rằng: 1 . AD BE CF c) Chứng minh rằng: H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF. d) Gọi M, N, P, Q, I, K lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE. Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm. Bài 5: (1.0 điểm). Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC =b ; BC = a. Đường phõn giỏc BD của tam giỏc ABC cú độ dài bằng cạnh bờn của tam giỏc ABC. Chứng minh 1 1 b rằng: . b a (a b)2 Bài 6: (1,0 điểm). a b c 3 Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: . 1 b2 1 c2 1 a 2 2 Hết Họ tờn thớ sinh : Giỏm thị số 1 : Số bỏo danh : Giỏm thị số 2: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
2. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014-2015 MễN: Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang Bài Nội dung cần đạt Thang điểm Bài 1 a) Đk: x 1; x 2. 0,5 (4,5đ) x2 x 1 6x 3 2x 2 1 (x 2)(x 1) 1 Q 3 . 2 2 1,5 x 1 x 2 (x 1)(x 2)(x x 1) x x 1 1 1 0,5 b) x2 x 1 3 (x 1)(x 2) 0 x2 x 1 3 Suy ra x = -1 hoặc x = 2. 0,5 1 So sỏnh với điều kiện suy ra x = 2 thỡ Q = 0,5 3 2 1 2 1 3 3 c) Q 2 ; Vỡ 1 > 0; x – x + 1 = x 0. 0,25 x x 1 2 4 4 3 Q đạt GTLN x2 x 1 đạt GTNN x2 x 1 0,25 4 1 4 x= (t/m). Lỳc đú Q = 0,25 2 3 4 1 0,25 Vậy GTLN của Q là Q = khi x= . 3 2 1 7 Bài 2 a) ĐK: x ; x 0,25 (4,5đ) 2 2 2x 3 (2x 7) 2x 5 2x 1 2x 7 2x 1 6x2 9x 9 2x 1 (2x 7) 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 4x2 20x 21 4x2 12x 5 4x2 16x 7 6x2 9x 9 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 8x 16 2x2 7x 16 0,5 2x 7 2x 1 2x 7 2x 1 x 0 2 2 8x 16 2x 7x 16 2x x 0 x(2x 1) 0 1 0,5 x (Loại) 2 Vậy phương trỡnh cú một nghiệm x = 0 0,25 b) Ta cú x3 – 2x2 – x + 2 = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2) 0,5 =(x-2)(x2-1) 0,5 = (x-2)(x-1)(x+1). 0,5 c)Ta cú x2 = y2 + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 0,5 Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y N* nờn x + y + 1 > x – y – 1 . Do đú x + y + 1 và x – y – 1 là hai số nguyờn dương chẵn. 0,5 Từ đú suy ra chỉ cú một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2 0,5
3. x = 4 và y = 1. Vậy (x; y) = (4; 1). Bài 3 ab 1 bc 1 ca 1 1 1 1 0,5 a) Từ a b c . (4,0đ) b c a b c a Do đú: 1 1 b c 1 1 c a 1 1 a b a b ; b c ; c a 0,5 c b bc a c ac b a ab (a b)(b c)(c a) Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = a 2b2c2 (a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = 0 0,5 (a - b)(b – c)(c – a) = 0 (do abc ≠ 1) Suy ra a = b = c 0,5 0,5 b) Ta cú 2n 10a b b  2 ab  2 (1) Ta chứng minh ab  3 (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n 10a b 2n cú chữ số tận cựng là b. 0,5 Đặt n 4k r (k, r N, 0 r 3) ta cú: 2n 16k2r. Nếu r 0 thỡ 2n 16k tận cựng là 6 b 6 ab  6. Nếu 1 r 3 thỡ 2n 2r 2r(16k 1)  10 2n tận cựng là 2r 0,5 suy ra b 2r 10a 2n 2r 2r(16k 1)  3 a  3 ab  3. Từ (1) và (2) suy ra ab  6 0,5 Bài 4 A (5,0đ) E F H B C D a) Chỉ ra được BDH  ADC (g.g) 0,5 BD DH 0,5 AD DC BD.DC = DH.DA 0,5 1 HD.BC S HD 0,5 b) Ta cú: HBC 2 S 1 AD ABC AD.BC 2 HE S HF S 0,5 Tương tự: HAC ; HAB . BE SABC CF SABC 0,5
4. HD HE HF S S S S Do đú HBC HAC HAB ABC 1 AD BE CF SABC SABC c) Chứng minh được AEF  ABC (c.g.c) Ã EF Ã BC 0,25 0,25 Tương tự Dã EC Ã BC . Do đú: Ã EF Dã EC Mà Ã EF Hã EF Dã EC Hã ED = 900 nờn Hã EF Hã ED EH là phõn giỏc của gúc DEF. 0,25 Tương tự FH là phõn giỏc của gúc EFD Do đú H là giao cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF. 0,25 d) A E Q N P F K H I B C D M 1 Do BEC vuụng tại E, M là trung điểm BC nờn EM = BC (trung 2 tuyến ứng với cạnh huyền) 1 Tương tự : FM = BC 2 Do đú: EMF cõn tại M, mà Q là trung điểm EF nờn MQ  EF MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của 0,5 tam giỏc DEF. Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giỏc DEF nờn ba đường thẳng MQ, NI, PK 0,5 đồng quy tại một điểm. Bài 5 (1,0đ) A H D C B Vẽ BH là đường cao của tam giỏc ABC. Tam giỏc BAD cõn tại B (BA=BD) cú BH là đường cao nờn cũng là đường trung tuyến
5. AD AH . 2 Tam giỏc ABC cú BD là đường phõn giỏc , ta cú : DA AB b DA DC DA DC AC b b2 0,25 DA DC BC a b a a b a b a b a b Tam giỏc HAB vuụng tại H , theo đ/lý Pytago ta cú : AD2 AB2 BH 2 AH 2 BH 2 b2 (1) 4 0,25 Tam giỏc HBC vuụng tại H , theo đ/lý Pytago, ta cú AD BC 2 BH 2 HC 2 BH 2 BC 2 (AC AH )2 a2 (b )2 2 AD2 BH 2 a2 b2 b.AD (2) 4 0,25 Từ (1) và (2) ta cú : AD2 AD2 b2 a2 b2 b.AD b2 a2 b.AD b2 4 4 ab2 a b b 1 1 b (b a)(b a) a b ab (a b)2 b a (a b)2 0,25 Vậy bài toỏn được c/m. Bài 6 Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nờn (1,0đ) a ab2 ab2 ab a a a . 1 b2 1 b2 2b 2 0,25 b bc c ca Tương tự ta cú : b ; c 1 c2 2 1 a 2 2 a b c ab bc ca mà a + b + c = 3 nờn 3 (1) 0,25 1 b2 1 c2 1 a 2 2 Cũng từ a + b + c = 3 (a + b + c)2 = 9 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9 mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nờn a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) 9 ab + bc + ca 3 (2). 0,25 a b c 3 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 đpcm. 1 b2 1 c2 1 a 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 0,25 Ghi chỳ: - Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa - Bài hỡnh nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm điểm.