Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Hạ Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Hạ Hòa (Có đáp án)

1. phòng GD - ĐT Hạ Hoà Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Năm học 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian : 120 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 14.04.2014 Cõu 1: (3 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương. n2 + n - 1 b) Chứng minh rằng phõn số là tối giản. n2 + n + 1 Câu 2 : (5 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x3 +4x2 - 29x +24. b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014 Biết : a +b+c = 0 và ab+bc +ac = 0. Cõu 3: (3 điểm) 1 6y 2 Giải phương trỡnh: 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y Cõu 4: (7 điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trờn đoạn thẳng AB (M khỏc A; M khỏc B). Vẽ về một phớa của AB cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đú suy ra AE  BC . b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trờn đoạn thẳng AB cố định. Cõu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng: 2 2 2 a + b +c < 2(ab + bc + ca) Hết (Cỏn bộ coi thi khụng phải giải thớch gỡ thờm) 1
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2013- 2014 Nội dung Điểm Cõu 1: (3 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương. Đặt n2 + 2014 = k2 với k là số tự nhiờn khỏc 0  (k – n)(k + n) = 2014 0,25 Nếu k và n cựng chẵn hoặc cựng lẻ thỡ : (k – n)(k + n) chia hết cho 4 mà 2014 khụng chia hết cho 4 ( 1) 0,50 Nếu k và n khỏc tớnh chẵn, lẻ thỡ : (k – n)(k + n) là số lẻ mà 2014 là số chẵn ( 2) 0,50 Từ (1) và ( 2) => khụng tỡm được số tự nhiờn n để n2 + 2014 là số chớnh phương. 0,25 n2 + n - 1 b) Chứng minh rằng phõn số là tối giản. n2 + n + 1 2 2 Đặt d là ước chung của n + n – 1và n + n + 1 với d là số tự nhiờn khỏc 0 0,25 2  (n + n – 1) chia hết cho d 0,25 (n2 + n + 1) chia hết cho d =>( n2 + n + 1) – ( n2 + n – 1) = 2 chia hết cho d 0,50 => d chỉ cú thể là 1 hoặc 2. 0,25 Nhưng n2 + n + 1= n( n+1) + 1 là số lẻ nờn d = 1 0,25 Vậy phõn số đó cho là tối giản. Câu 2 : (5 điểm) a) Phân tích thành nhân tử : x3 + 4x2 - 29x +24. = x3 - x2 +5x2 -5x -24x +24 = x2(x -1) + 5x(x - 1) - 24(x - 1) = 1,0 = (x - 1)(x2 +5x -24) = (x - 1)(x2 - 3x +8x - 24) = (x - 1)x(x 3) 8(x 3) = (x -1)(x -3)(x + 8). 1,0 b) Tính : M = ( a -1)14 + b4 + (c+1)2014 Biết : a +b+c =0 và ab+bc +ac =0. Ta có : (a +b + c)2 = a2 +b2 + c2 +2(ab +ac +bc) = 0 1,0 a2 +b2 +c2 = 0 a =b = c = 0 1,0 Thay vào biểu thức ta được : M = (-1)14 + 043 +12014 = 2. 1,0 Cõu 3 ( 3điểm) 1 6y 2 Giải phương trỡnh: (1) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y Phõn tớch: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y - 3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1) 0,5 2
3. 1 0,5 ĐKXĐ: y 3; y 3 1 6y 2 1,0 (1) 3y – 1 y 3 3y – 1 3y 1 3y 1 3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1) y = 1 (TMĐK) 1,0 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 1 Cõu 4: ( 7 điểm) Xột tam giỏc ABC cú: D C . CM AB (Do AMCD là hv) (1) ã ã o F . AMD MBE 45 (t/c đ.chộo hv) E BE//MD 1,0 BE  AC (Do MD AC) (2) A M B Từ (1), (2) E là trực tõm ABC AE BC 1,0 D C .Gọi O là giao điểm của AC và DM H o AC F Do à HC 90 (cm a) nờn OH O E 2 DM O' OH A M B 2 MHD cú trung tuyến OH bằng nửa cạnh DM nờn 1,0 Dã HM 90o (3) MF .Gọi O’ là giao điểm của BE và MF, C/m tương tự cú O'H 2 Fã HM 90o (4) 0,5 Từ (3) và (4) suy ra D,H,F thẳng hàng 0,5 D C Gọi I là giao điểm của DF và AC. I H .Kẻ IK AB thỡ IK//AD//BF (5) F O E . DMF cú: OI//MF (do Cã AM Fã MB ) O' OD = OM (t/c đường chộo hv) A K M B Nờn I là trung điểm DF (6) Từ (5), (6) suy ra K là trung điểm của AB 1,0 AD BF AM MB AB 1,0 Và IK 2 2 2 Do đú I là điểm cố định (I nằm trờn đường trung trực AB, cỏch AB một khoảng bằng 1,0 AB ) 2 Cõu 5 ( 2 điểm) a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc a < b+c, b < a+c, c < a+b 0,5 Suy ra: a2 < ab + ac b2 < ab + bc c2 < ac + bc 0,5 3
4. Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta cú : a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca) 1,0 Cỏc cỏch giải khỏc mà đỳng vẫn cho điểm như thang điểm 4