Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 6 - Trường THCS Quế Phú

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán lớp 6 - Trường THCS Quế Phú

1. PHÒNG GD&ĐT QUẾ SƠN ĐỀ KHẢO SÁT HSG LỚP 6 TRƯỜNG THCS QUẾ PHÚ MÔN : TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.5 điểm) a. Cho S=41 + 42 + 43 + 44 + + 496. Chứng tỏ S chia hết cho các số 2, 3, 4, 5, 6, 7 b. Viết liên tiếp các số 1, 2, 3, 99 ta được một số rất lớn: A = 123456789101112 979899. Hãy chứng tỏ số A chia hết cho 9. Câu 2: (1.5 điểm) Ma phương là một hình vuông chứa các số sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng nhau. Hình vẽ bên dưới cho một ma phương có 3x3 ô. Trong đó mỗi ô được điền một số từ 1 đến 9. Các ô A1, C2, A3 có giá trị lần lượt là 2, 1, 4. Hãy tìm giá trị sáu ô còn lại. A B C 1 2 2 1 3 4 Câu 3: (2.0 điểm) a. Chia một số tự nhiên a cho 60 được số dư là 27. Nếu chia a cho 12 thì được thương là 12. Hãy tìm số a. b. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, khác 0 thoả mãn cả hai tính chất sau: - Khi chia a cho 44 thì được thương và số dư bằng nhau. - Khi chia a cho 53 thì được thương và số dư bằng nhau. Câu 4: (2.0 điểm) a. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyên tố. b. Tìm tất cả các số nguyên tố p để p + 8, p + 10 cũng là các số nguyên tố. Câu 5: (2.0 điểm) Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN. a. Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1cm. b. Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (2.5 điểm) a) (1,5đ) - S  4 do mỗi số hạng của tổng chia hết cho 4. S  4 nên  2. - S = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + + 495(1+4) = 5(4 + 43+ + 495) S chia hết cho 5. - S = 4(1 + 4 + 42) + 44(1+ 4 + 42) + + 494(1 + 4 + 42) = 21(4 + 44 + +494) S  21 S  3 và S  7. - S  2, S  3, (2,3) = 1 nên S  6. (Mỗi y cho 0,25 điểm) b) (1đ) - Tổng các chữ số của A bằng: 9+9 + (9+8 + 1) + (9+7+2) + + (9+ 0 + 9) + (8+9 + 1+0) + (8+8+1+1) + +(5+0+4+9) = 18 + 18 + +18 - Tổng trên chia hết cho 9 do mỗi số hạng của nó chia hết cho 9. - A có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên nó chia hết cho 9. (Mỗi y cho 0,25 điểm - Riêng y 1 cho 0,50 điểm) Câu 2: (1.5 điểm) - Tổng các số trong hình vuông là: 1 + 2 + + 9 = 45. - Tổng của mỗi hàng (cột) đều bằng nhau nên tổng mỗi hàng (cột) là 45 : 3 = 15. - Suy ra được giá trị các ô do đã biết giá trị của hai ô trên cùng hàng hoặc cột: A2 = 15 - (2 + 4) = 9. B2 = 15 - (9 + 1) = 5. A B C C3 = 15 - (2+5) = 8. B3 = 15 - (4 + 8) = 3. 1 2 7 6 C1 = 15 - (8 + 1) = 6. 2 9 5 1 B1 = 15 - (2 + 6) = 7. 3 4 3 8 (Mỗi y cho 0,5 điểm) Câu 3: (2.0 điểm) Mỗi phần đúng 1đ a) Ta có: a=60q+27=12.5q+12.2+3 chia 12 dư 3. - Do 60 là bội của 12 nên a chia 60 được số dư là 27 thì chia 12 dư 3 (Số dư của 27 chia 12). - a chia 12 thì được thương là 12 dư 3 nên a = 12.12 + 3 = 147. - Thử lại và kết luận. b) - Khi chia a cho 44 thì được thương và số dư bằng nhau: a = 44q + q a = 45q - Khi chia a cho 53 thì được thương và số dư bằng nhau: a = 53p + p a = 54p - a nhỏ nhất, khác 0 thoả mãn hai tính chất trên nên a = BCNN(45, 54). - Tính được a = 33.2.5 = 270. (Mỗi y cho 0,25 điểm - Riêng y 1 cho 0,50 điểm) Câu 4: (2.0 điểm) Mỗi phần đúng 1đ
3. a) - Nếu p lẻ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố. - Suy ra p chẵn p = 2. (Mỗi y cho 0,50 điểm) b) - Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố. - Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố. - Suy ra p chia hết cho 3, p nguyên tố nên p = 3. (Mỗi y cho 0,25 điểm riêng y 3 cho 0,50 điểm) Câu 5: (2.0 điểm) a) - Hình vẽ: N A M B - M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm) - AN = AM = 2 (cm). - A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm). b) - BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất. - AN lớn nhất khi AM lớn nhất. - AM lớn nhất khi AM = AB. - Lúc đó M trùng với B và BN bằng 6(cm). (Mỗi y cho 0,25 điểm)