Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán khối lớp 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán khối lớp 7

1. UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Đề chính thức Môn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N Bài 2 (4 điểm): 2012 2013 a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 2x y 7 x 3 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 . . . n aaa 1 Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh 3 1 1 của lớp 7A1, số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A 3 đi thi học sinh 4 5 giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có Aˆ 3Bˆ 6Cˆ . a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC. Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. Bài Đáp án Điểm a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 2,0đ Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513 0,75đ (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813 0,75đ Ta thấy: 12513 – 12813 (– 5)39 > (– 2)91 0,5đ b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N 2,0đ Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n 1 n n n n n 4 điểm = (133 – 12).11 + 12.144 = 133.11 – 12.11 + 12.144 1,0đ = 133.11n + 12.(144n – 11n) Ta thấy: 133.11n  133 0,5đ (144n – 11n)  (144 – 11) = 133 12.(144n – 11n)  133 Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133 0,5đ Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn (2x – y + 7)2012 0 2013 0,5đ và x 3 0 x 3 0 2012 2013 Do đó, từ 2x y 7 x 3 0 0,5đ suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và x 3 2013 0 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2) 0,5đ Từ (2) x = 3 Từ (1) y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13 0,5đ Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13) b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a 2,0đ n n 1 2 Ta có: 1 2 3 . . . n và aaa a.111 a.3.37 0,5đ 4 điểm 2 Do đó, từ 1 2 3 . . . n aaa n n 1 2.3.37.a n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 0,5đ n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1) n n 1 Mặt khác: aaa 999 n(n + 1) 1998 n < 45 (2) 2 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37 37.38 - Với n = 37 thì aaa 703 (không thỏa) 2 36.37 0,5đ - Với n + 1 = 37 thì aaa 666 (thỏa mãn) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,c N*) 1 1 1 1,0đ Theo bài ra ta có : a a b b c c (*) và a + b + c =147 3 4 5 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c Từ (*) 1,0đ 3 3 4 5 18 16 15 18 16 15 4 điểm Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : a b c a b c 147 1,0đ = 3 . 18 16 15 18 16 15 49 Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45 1,0đ Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45.
3. a) Tính số đo các góc của ABC: 2,0đ Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 1800 Từ Aˆ 3Bˆ 6Cˆ 200 1,0đ 6 2 1 6 2 1 9 Aˆ 6.200 1200 Bˆ 2.200 400 Cˆ 1.200 200 1,0đ Vậy: Aˆ 1200; Bˆ 400; Cˆ 200 4 b) Chứng minh AD < BD < CD. 2,0đ 4 điểm - Trong ACD có ADˆC 900 ; Cˆ 200 Aˆ 700 2 ˆ 0 1,0đ A1 50 ˆ 0 ˆ 0 - Xét ADB có B 40 A1 50 AD BD (1) - Xét ABC có Bˆ 400 Cˆ 200 AB AC AB2 AC 2 (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: 2 2 2 2 2 2 AB = AD + BD và AC = AD + CD 1,0đ Do đó, từ (*) AD2 + BD2 < AD2 + CD2 BD2 < CD2 BD < CD (2) Từ (1) và (2) AD < BD < CD a) Chứng minh rằng: BM = CN 1,0đ Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM AM + AN = AM + AC + CN ABC cân ở A AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ 5 Qua M kẽ ME // AC (E BC) 4 điểm 0,75đ ABC cân ở A BME cân ở M EM = BM = CN MEI = NCI (g-c-g) IM = IN 0,75đ Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN. 1,5đ + K thuộc đường trung trực của MN KM = KN (1) + ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (2); ABˆK ACˆK (*) 0,5đ + Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3) + Từ (1), (2) và (3) BMK = CNK (c-c-c) ABˆK NCˆK ( ) 0,5đ 1800 + Từ (*) và ( ) ACˆK NCˆK 900 KC  AN 0,5đ 2 * Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.