Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán học lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn: Toán học lớp 8

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NGHĨA BÌNH Môn: TOÁN 8 Năm học : 2015-2016 Bài 1. (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1.x2 7x 6 2.x4 2008x2 2007x 2008 Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: 1)x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2)8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bài 3. (2 điểm) 1 1 1 1. CMR với a,b,c là các số dương, ta có: a b c 9 a b c 2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2 10x 21 Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của ·AHM GB HD 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 1) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 x 6 x 1 2) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 x4 x2 1 207 x2 x 1 x2 1 x2 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2007 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2008 Bài 2. 2.1 x2 3x 2 x 1 0 1 Nếu x 1: 1 x 1 2 0 x 1(thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 Nếu x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 (ktm) Vậy phương trình 1 có một nghiệm duy nhất x 1 2.2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8
3. Bài 3. 3.1 Ta có: 1 1 1 a a b b c c A a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c c b 3 b a c a b c x y Mà 2 (BĐT Cô si) y x Do đó: A 3 2 2 2 9 . Vậy A 9 3.2 Ta có: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 Đặt t x2 10x 21 t 3;t 7 , Biểu thức P(x) được viết lại P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do đó khi chia t 2 2t 1993 cho t ta có số dư là 1993 Bài 4. A E M C D B H G 1) Hai tam giác ADC và BEC có: Cµ chung; CD CA (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) CE CB Do đó ADC : BEC Suy ra B· EC ·ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
4. Nên ·AEB 450 , do đó ABE vuông cân tại A Suy ra : BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 2) Ta có . . do BEC : ADC BC 2 BC 2 AC Mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Nên . . (do ABH : CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE Do đó: BHM : BEC(c.g.c) B· HM B· EC 1350 ·AHM 450 3) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác B· AC GB AB AB ED Suy ra : , mà GC AC AC DC AH HD ABC : DEC ED / / AH HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC