Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm 2017 - 2018

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm 2017 - 2018

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8. Năm học: 2017-2018 Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 32 42 1002 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232. Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC 3 Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) “HẾT” 1
2. C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 32 42 1002 CÂU 1 ĐÁP ÁN ĐIỂM a A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 0,5 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 0,5 = 40 + 34. 40 + 38. 40 0,5 = 40. (1 + 34 + 38)  40 0,5 Vậy A  40 1 1 1 1 b B 22 32 42 1002 1 1 1 1 0,5 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 0,5 100 Vậy B < 1 0,5 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232 CÂU 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a Ta có: a + b + c = 0 suy ra a + b = - c 0,5 Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 0,5 Suy ra (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c) 0,5 a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm) 0,5 b C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 2
3. C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (28-1) (28+1)(216+1) 0,25 C = (216-1)(216+1) 0,25 C = 232-1 0,25 Vì 232 - 1 < 232 nên C < D. 0,5 Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. CÂU 3 ĐÁP ÁN ĐIỂM a x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 = x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3 0,5 = (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1) 0,5 = x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1) 0,25 = (x2 + x + 1)(x2– x + 2019) 0,25 b E = 2x2 – 8x + 1 = 2x2 – 8x + 8 - 7 0,5 = 2(x2 – 4x + 4) – 7 0,5 = 2(x – 2)2 – 7 - 7 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2 0,5 Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. ĐÁP ÁN ĐIỂM 3
4. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD. Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD AC + BD > AB + CD 0,25 AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự: 0,25 AC + BD > AD + BC AC + BD > d + b (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b 0,25 a c d b AC + BD > (*) 0,25 2 Xét ABC, ta có: AC < a + b Xét ADC, ta có: AC < d + c 0,25 Suy ra: 2AC < a +b + c + d a c d b AC < (3) 0,25 2 a c d b Chứng minh tương tự: BD < ( ) (4) 0,25 2 Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d. 0,25 a c d b Từ (*) và ( ) suy ra < AC + BD a + b + c + d 2 (đpcm) 0,25 Câu 5: (4,0 điểm) 4
5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC. 3 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a Xét tứ giác AMIN có: MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông ở A) 0,25 AMI = 900 (vì IM vuông góc với AB) 0,25 ANI = 900 (vì IN vuông góc với AC) 0,25 Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông) 0,25 b 1 0,5 ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI IC BC 2 Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến 0.5 NA NC 0,5 Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1) Mà AC  ID (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi. c Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H 0,25 IH là đường trung bình BKC H là trung điểm của CK hay KH = HC (3) 0,25 5
6. Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK) Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (4) 0,25 1 0,25 Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC DK DC 3 Câu 6:(1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) ĐÁP ÁN ĐIỂM Ta có : 2 1 1 2 2 a b 0 a b ab (1) 2 4 2 1 1 2 2 a c 0 a c ac (2) 0,25 2 4 2 1 1 2 2 a d 0 a d ad (3) 2 4 2 1 1 2 2 a e 0 a e ae (4) 2 4 0,25 Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được : 1 4. a2 b2 c2 d 2 e2 ab ac ad ae 4 0,25 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) 0,25 Lưu ý : - Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa. - Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì cho ½ tổng số điểm của câu đó. (Đề thi gồm có 08 trang) 6