Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi - Môn thi: Toán khối lớp 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 8 Năm học: 2010-2011 Bài 1. (3 điểm) Tìm x biết: a)x2 4x 4 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c)4x 12.2x 32 0 Bài 2. (1,5 điểm) 1 1 1 Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA',BB',CC ',H là trực tâm. HA' HB' HC ' a) Tính tổng AA' BB' CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC;IM ,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB.Chứng minh rằng: AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 c) Chứng minh rằng: 4 AA'2 BB'2 CC '2
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Tính đúng x 7; x 3 b) Tính đúng x 2007 c) 4x 12.2x 32 0 2x.2x 4.2x 8.2x 4.8 0 2x. 2x 4 8. 2x 4 0 2x 8 2x 4 0 2x 8 x 3 x 2 4 x 2 Bài 2. 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz xy xz x y z xyz x2 2yz x2 yz xy xz x x y z x y x y x z Tương tự: y2 2xz y x y z ; z2 2xy z x z y yz xz xy Do đó: A x y x z y x y z z x z y Tính đúng A 1 Bài 3. Gọi abcd là số phải tìm , a,b,c,d ¥ ,0 a,b,c,d 9;a 0 2 abcd k Ta có: k,m ¥ ;31 k m 100 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m abcd k 2 2 abcd 1353 m Do đó: m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200
3. m k 123 m k 41 hoặc m k 11 m k 33 m 67 k 56 m 37 k 4 Kết luận đúng: abcd 3136 Bài 4. x A B' C' M N C D I B A' 1 S HA'.BC HA' a) HAB 2 S 1 AA' ABC .AA'.BC 2 S HC ' S HB' Tương tự: HAB ; HAC SABC CC ' SABC BB' HA' HB' HC ' S S S HBC HAB HAC 1 AA' BB' CC ' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC :
4. BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI.AN.CM BN.IC.AM c) Vẽ Cx  CC '.Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx Chứng minh được góc BAD vuông, CD AC, AD 2.CC ' Xét 3 điểm B,C,D ta có : BD BC CD BAD vuông tại A nên : AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 AB2 4CC '2 BC AC 2 4CC '2 BC AC 2 AB2 Tương tự: 4AA'2 AB AC 2 BC 2 4BB'2 AB BC 2 AC 2 Chứng minh được: 4 AA'2 BB'2 CC '2 AB BC AC 2 AB BC AC 2 4 AA'2 BB'2 CC '2 Đẳng thức xảy ra BC AC, AC AB, AB BC AB AC BC ABC đều