Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán học

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn: Toán học

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2018-2019 x2 6 1 10 x2 Bài 1. Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn M 1 b) Tính giá trị của M khi x 2 2 Bài 2. Cho biểu thức A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0 Bài 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A x2 2xy 2y2 4y 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3 x 1 B x3 x2 x 1 Bài 4. Cho hình bình hành ABCD.Với AB a, AD b.Từ đỉnh A, kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh : AE 2 EF.EG b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi x2 yz y2 xz Bài 5. Chứng minh rằng nếu với x y; xyz 0; yz 1; xz 1 x 1 yz y 1 xz Thì xy xz yz xyz x y z
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Rút gọn M x2 6 1 10 x2 x2 6 1 6 M 3 : x 2 : x 4x 6 3x x 2 x 2 x x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 M . x 2 x 2 6 2 x 1 x 1 2 b) x 2 1 x 2 1 1 2 Với x M 1 2 2 3 2 1 1 2 Với x M 1 2 2 5 2 Bài 2. a) Ta có: 2 A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc 2 b2 c2 2bc a2 b2 c2 2bc a2 b c a b c a b c a b c a b) Ta có: b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) b c a 0(BĐT tam giác) b c a 0 (BĐT tam giác) Vậy A 0 Bài 3. a) Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1 Do x y 2 0; y 2 2 0
3. Nên A x y 2 y 2 2 1 1 Dấu “=” xảy ra x y 2 Vậy MinA 1 x y 2 3(x 1) 3 x 1 3 b) B x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 B Do x2 1 1 3 . Đẳng thức xảy ra x 0 x2 1 Vậy MaxB 3 x 0 Bài 4. A B E F G D C EA EB AB a) Do AB / /CD nên ta có: (1) EG ED DG EF EB AD Do BF / / AD nên ta có: (2) EA ED FB EA EF Từ (1) và (2) hay AE 2 EF.EG EG EA AB FB b) Từ (1) và (2) BF.DG AB.AD a.b (không đổi) DG AD Bài 5. Từ gt x2 yz y 1 xz x 1 yz y2 xz
4. x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3z x2 yz2 x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3z x2 yz2 0 xy x y xyz yz y2 xz x2 z x2 y2 0 y x y xyz x y x y z z x y x y 0 x y xy xyz x y z xz yz 0 Do x y 0 nên xy xz yz xyz x y z 0 Hay xy xz yz xyz x y z (dfcm)