Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lớp 8 - Môn thi: Toán

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HểA NĂM HỌC 2016-2017 MễN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Cõu 1. (4 điểm) 2 2 x 1 x 1 Cho biểu thức P . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rỳt gọn P b) Tỡm x  để P cú giỏ trị nguyờn c) Tỡm x để P 1 Cõu 2. (4,5 điểm) a) Giải phương trỡnh: x3 6x x 30 0 x 1 2x 3 x b) Giải bất phương trỡnh sau: x 1 1 3 2 3 x 2 x2 c) Cho biết . Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: Q x2 x 1 3 x4 x2 1 Cõu 3. (5,0 điểm) a) Tỡm x, y thỏa món đẳng thức: 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 b) Cho a,b,c  , thỏa món a b c 0.Chứng minh a5 b5 c5 30 1 1 1 1 1 1 c) Chứng minh rằng: a b c a b c , trong đú b c a a b c a,b,clà cỏc số thực khụng nhỏ hơn 1. Cõu 4. (4,5 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC . Cỏc đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Tam giỏc AEF đồng dạng với tam giỏc ABC b) BH.BE CH.CF BC 2 BC 2 c) AD.HD 4 d) Gọi I,K,Q,R lần lượt là chõn cỏc đường vuụng gúc hạ từ E xuống AB, AD , CF,BC . Chứng minh bốn điểm I,K,Q,R cựng nằm trờn một đường thẳng. Cõu 5. (2,0 điểm)Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đối của cỏc tia BA,CAlấy theo thứ tự cỏc điểm D,E sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phõn giỏc của gúc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh AB CK
2. ĐÁP ÁN Cõu 1. a) ĐKXĐ: x 0; x 1 Ta cú: 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2x P . . x 1 . 2 . 3x x 1 3x x 1 x 1 3x 3x x 1 x 1 2x Vậy P x 1 2 b) Ta cú: ƯP 2 Â x 1 2 1; 2 x 1 Từ đú suy ra x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ được x 2;3 2x 2x x 1 c) P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x 1 nờn x 1 0 và x 1 0 x 1 và x 1 Kết hợp với ĐKXĐ được 1 x 1 và x 0 Cõu 2. a) Ta cú: x3 6x2 x 30 0 x 3 x 2 x 5 0 x 3 0 x 3 x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 x 1 2x 3 x x 1 1 6x 6 2x 2 6x 9 2x 6 b) 3 2 3 7 4x 7 x 4 7 Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là S x / x  4  x 2 x2 x 1 3 c) Từ x 0, do đú : x2 x 1 3 x 2 2 1 3 1 5 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 2 x 2 x 4 4 4 2 x x 1 2 1 2 1 21 Lại cú: 2 x 2 1 x 2 1 x x x 4
3. x2 4 Suy ra Q x4 x2 1 21 Cõu 3. a) 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 25x2 25y2 40xy 10y 10x 10 0 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Do 5x 4y 1 2 0 và 9 y 1 2 0 với mọi x, y Nờn 5x 4y 1 2 9 y 1 2 0 Suy ra x 1; y 1 b) Ta cú: a5 a a a2 1 a2 1 a a2 1 a2 4 5 a 2 a 1 a. a 1 a 2 5 a 1 .a. a 1 Do a 2 a 1 a a 1 a 2 là tớch 5 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho cả 2;3;5 , do đú chia hết cho 30 Lại cú a 1 a a 1 chia hết cho 6 nờn 5 a 1 a a 1 chia hết cho 30 Từ đú suy ra a5 a chia hết cho 30 Tương tự b5 b chia hết cho 30 và c5 c chia hết cho 30. Từ đú suy ra a5 b5 c5 a b c a5 a b5 b c5 c chia hết cho 30 Mà a b c 0 nờn a5 b5 c5 chớa hết cho 30. 1 1 1 1 1 1 c) a b c a b c b c a a b c ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2b2c2 abc a b c ab bc ca a2b2c2 a2 b2 c2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc 2 bc ca 2 ca ab 2 a b 2 b c 2 c a 2 a c 2 b2 1 b a 2 c2 1 c b 2 a2 1 0 (đỳng với mọi a,b,c 1)
4. Cõu 4. A I K E F Q B D R C AE AB a) Ta cú: AEB : AFC(g.g) AF AC Từ đú suy ra AEF : ABC c.g.c BD BH b) BDH : BEC(g.g) BH.BE BC.BD (1) BE BC CD CH CDH : CFB(g.g) CH.CF BC.CD (2) CF BC Từ (1) và (2) suy ra BH.BE CH.CF BC.BD BC.CD BC 2 DH DB c) Chứng minh được DBH : DAC(g.g) DH.DA DC.DB DC DA 2 DC DB BC 2 Lại cú: DC.DB 4 4
5. BC 2 Do đú: AD.HD 4 d) Từ giả thiết suy ra EI / /CF,EK / /BC,EQ / / AB,ER / / AD Áp dụng định lý Talet ta cú: AI AE AK * IK / /DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / /DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / /DF (5) CD CA CF Từ 3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm I,K,Q,R thẳng hàng Cõu 5. A K 1 B 1 C 1 O 1 M E D Vẽ hỡnh bỡnh hành ABMC AB CM 1 1 1 Ta cú: Bà Cà Cã MB nờn BO là tia phõn giỏc của Cã BM 1 2 1 2 Tương tự CO là tia phõn giỏc của Bã CM Do đú MO là tia phõn giỏc của Bã MC Suy ra OM song song với tia phõn giỏc của àA , suy ra K,O,M thẳng hàng
6. 1 1 Ta cú: Mả Bã MC Bã AC Kả 1 2 2 1 Nờn tam giỏc KMC cõn tại C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy ra CK AB