Đề thi học sinh giỏi Lớp 6,7,8 THCS cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Lớp 6,7,8 THCS cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Nga Sơn (Có đáp án)

1. Phòng giáo dục & đào tạo đề thi học sinh giỏi lớp 6,7,8 thcs cấp huyện Huyện nga sơn NĂM HỌC: 2016 - 2017 Đề chính thức Môn thi: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 04/04/2017 Cõu 1: (4 điểm). 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Cho biểu thức M = : 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 a) Rỳt gọn M. b) Tỡm a để M > 0. c) Tỡm giỏ trị của a để biểu thức M đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 2: ( 5 điểm). 1) Giải cỏc phương trỡnh: x 2 x 4 x 6 x 8 a) . 98 96 94 92 b) x6 - 7x3 - 8 = 0. 2) Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm: 1 x x 2 2(x m) 2 . x m x m m2 x2 3) Tỡm a, b sao cho f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức .g x x2 x 2 Cõu 3: ( 4 điểm). 1) Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tớnh A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc 30km/h, nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phỳt, do đú phải tăng vận tốc thờm 10km/h để đến B đỳng giờ đó định. Tớnh quóng đường AB? Cõu 4: (5 điểm). Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuụng cõn. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Cõu 5: (2 điểm). Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món a b c 2016 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P= . 2015 a 2016 b 2017 c Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TẠO NGA SƠN Năm học 2016 - 2017 Mụn: Toỏn Cõu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a 0;a 1 0,5 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta cú: M = : 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 0,5 = . a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a = . a 1 a2 a 1 a2 4 0,5 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a = . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4a 4a 0,5 = 3 . 2 = 2 1 a 1 a 4 a 4 4a 4.0đ Vậy M = với a 0;a 1 0,5 a2 4 b) (1đ) 0,5 M > 0 khi 4a > 0suy ra a > 0 kết hợp với ĐKXĐ 0,5 Vậy M > 0 khi a > 0 vàa 1 c) (1đ) 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 0,5 Ta cú M = = 1 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 Vỡ 0 với mọi a nờn 1 1với mọi a a2 4 a2 4 a 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 0 a 2 0,5 a2 4 Vậy MaxM = 1 khi a = 2. a) (1đ) x 2 x 4 x 6 x 8 Ta cú 98 96 94 92 2 x 2 x 4 x 6 x 8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 5,0đ 98 96 94 92 1 1 1 1 0,5 ( x + 100 )( + - - ) = 0 98 96 94 92 2
3. 1 1 1 1 Vỡ : + - - 0 98 96 94 92 Do đú: x + 100 = 0 x = -100 0,5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta cú x6 – 7x3 – 8 = 0 (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 0,5 (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) Do x2 – x + 1 = (x – 1 )2 + 3 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với 2 4 0,5 mọi x, nờn (*) (x + 1)(x – 2) = 0 x {- 1; 2} 2) (2đ) Tỡm m để phương trỡnh sau vụ nghiệm. 1 x x 2 2(x m) 2 0,5 (1) x m x m m2 x2 ĐKXĐ: x+ m 0 và x- m 0 x m (1 x)(x m) (x 2)(x m) 2 2(x m) (2m 1)x m 2(*) 0,5 1 3 + Nếu 2m -1= 0 m ta cú (*) 0x = (vụ nghiệm) 2 2 1 m 2 + Nếu m ta cú (*) x 2 2m 1 0,25đ - Xột x = m m 2 m m 2 2m2 m 2m 1 2 2 2 1 3 2m 2m 2 0 m m 1 0 m 0 0,25đ 2 4 (Khụng xảy ra vỡ vế trỏi luụn dương) Xột x= - m m 2 m m 2 2m2 m m2 1 m 1 2m 1 0,5đ 1 Vậy phương trỡnh vụ nghiệm khi m hoặc m = 1 2 3)(1đ) Ta cú : g x x2 x 2= x 1 x 2 0.25đ Vỡ f x ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g x x2 x 2 0.25đ Nờn tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x) ax3 bx2 10x 4= x+2 . x-1 .q x 0.25đ Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1 Với x=-2 2a-b+6=0 2 3
4. Thay (1) vào (2) . Ta cú : a=-4 và b=-2 0.25đ 1)(2đ) 0,25 Từ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1 Mà: x3 + y3 + z3 = 1 0,25 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0 x y z 3 z3 x3 y3 0 x y z z x y z 2 x y z z z 2 x y x 2 xy y2 0 0,25 x y x2 y2 z 2 2xy 2yz 2xz+xz yz z 2 z 2 x2 xy y2 0 0.25đ x y 3z2 3xy 3yz 3xz 0 x y 3 y z x z 0 0,5 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z * Nếu x y z 1 A x2015 y2015 z 2015 1 * Nếu y z x 1 A x2015 y2015 z 2015 1 0,5 * Nếu x z y 1 A x2015 y2015 z 2015 1 3 2) (2điểm). (4,0đ) Gọi x (km) là độ dài quóng đường AB. ĐK x > 0. x Thời gian dự định đi hết quóng đường: (giờ) 30 Quóng đường đi được sau 1 giờ: 30 (km) Quóng đường cũn lại : (x-30) (km) x 30 Thời gian đi quóng đường cũn lại : (giờ) 40 x 1 x 30 Lập được phương trỡnh : 1 30 4 40 4x 30.5 3(x 30) x 60(thỏa mó đk) Vậy quóng đường AB là 60km 4
5. A E B 1 1 2 O 3 M H' H 1 D C N a) (2đ) Xột ∆OEB và ∆OMC Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC 0,5 à à 0 Và B1 C1 45 BE = CM ( gt ) 0,5 Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) à ả OE = OM và O1 O3 0,5 4(5đ) Oả Oả Bã OC 900 Lại cú 2 3 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng 0,5 ả à ã 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O b)(1.5đ) Từ (gt) tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB = CD và AB // CD 0,5 0,5 AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lột) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta cú : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lột) 0.5 MN EB c)(1.5đ) Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN Oã ME Mã H ' B Mà Oã ME 450 vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O 0,25 ã 0 à MH ' B 45 C1 ∆OMC : ∆BMH’ (g.g) OM MC , kết hợp Oã MB Cã MH ' ( hai gúc đối đỉnh) BM MH , 0,5 ∆OMB : ∆CMH’ (c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 5
6. 0,5 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN 0,25 Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Ta cú 2a 3b 3c 1 3a 2b 3c 3a 3b 2c 1 P= 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 1 = 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 + a = x; 5 2016 + b = y; 0,5 (2,0đ) 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b c 4033 c a 4032 a b 4031 P = 2015 a 2016 b 2017 c y z z x x y y x x z y z P 0,5 x y z x y z x z y y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 (Co si) x y x z z y Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671 0,5 Vậy giỏ tị nhỏ nhất của biểu thức p là 6 khi a = 673, b = 672, c = 671 Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh. 6