Đề thi học sinh giỏi khối ớp 8 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi khối ớp 8 - Môn thi: Toán

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học : 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Ngày thi : 18/4/2011 Thời gian: 120 phút Bài 1. (3 điểm) 2 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: A . x 1 : 3x x 1 3x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2. (4 điểm) 1 a) Chứng minh rằng: a2 b2 với a b 1 2 b) Ký hiệu a(phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. 34x 19 Tìm x biết rằng: 2x 1 11 Bài 3. (3 điểm) Lúc 7 giờ, một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km,rồi ngay lập tức quay trở về A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng, biết vận tốc dòng nước chảy là 6km / h Bài 4. (5 điểm) a) Hãy tính số bị chia, số chia và thương số trong phép chia sau đây: abcd : dcba q biết rằng cả ba số đều là bình phương của những số nguyên (những chữ khác nhau là các chữ số khác nhau) b) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a a c b a b c Bài 5. (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB a.Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP,BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD. a) Tính khoảng cách từ I đến AB b) Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?
2. ĐÁP ÁN Bài 1. a) ĐKXĐ: x 1; x 0 2 2 x 1 x 1 A . x 1 : 3x x 1 3x x 2 2 x 1 3x2 3x x 2 2 1 2x 3x2 x . . . . 3x x 1 3x x 1 3x x 1 3x x 1 2 2 x 1 1 3x x 2 2 6x x 2x . . . 3x x 1 3x x 1 3x x 1 x 1 2x 2 x 1 2 2 b) A 2 x 1 x 1 x 1 2 Để A có giá trị nguyên có giá trị nguyên x U (2) 1; 2 x 1 x 1;0;2;3 vì x 1; x 0 x 2;3 Bài 2. a) Theo bài ra ta có: a b 1 a2 2ab b2 1 (1) Mặt khác : a b 2 0 a2 2ab b2 0 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: 2 a2 b2 1 a2 b2 2 34x 19 34x 19 b) 2x 1 0 2x 1 1vả 2x 1 ¢ 11 11 4 1 1 3 0 12x 8 11 8 12x 3 2x 2x 1 3 2 3 2 1 2x 1 0 x Do 2x 1 ¢ 2 2x 1 1 x 0 Bài 3. Gọi x(km / h) là vận tốc ca nô xuôi dòng x 12 Vận tốc ca nô khi nước lặng: x 6(km / h)
3. Vận tốc ca nô khi ngược dòng: x 12(km / h) Thời gian cả đi và về của ca nô là 4,5 giờ nên ta có phương trình: 36 36 9 x 4(ktm) (x 4)(x 24) 0 x x 12 2 x 24(tm) Vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 24km / h Bài 4. a) abcd : dcba q q 4 Vì q 1 a,d phải là những số thuộc 1;4;5;6;9,a,d 0 q 9 Do abcd dcba q nên d 3 d 1 Giả sử q 4 khi đó 1cba.4 abc1 (vô lý) vì 1cba.4phải là một số chẵn nên q 9 Với q=9 ta có: 1cba 9 abc1 suy ra a 9,c 2 vì tích 1cba 9 là số có 4 chữ số nên ta lại có c d tức là c 1 c 0 Ta thấy abcd 9b01 10b9 9vậy 9b01 là số chia hết cho 9 nên b 8 Tóm lại ta có: 9801:1089 9 b) Đặt x b c a; y a c b ; z a b c x, y, z 0 x y z a b c y z 2a a b c b c a x y z x y z a 2 x z x y Tương tự: b ;c 2 2 y z x z x y BĐT chứng minh tương đương với: 6 x y z y x z x y z a b 6 do 2 x y x z z y b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh
4. Bài 5. P N Q L K C R I S D B A E HM F a) Kẻ CE,IH,DF cùng vuông góc với AB suy ra tứ giác CDFE là hình thang vuông. AM BM AB a a Chứng minh được: CE ,DF CE DF IH 2 2 2 2 4 b) Khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đoạn RS song song với AB và a cách AB một khoảng bằng (R là trung điểm của AQ) 4 S là trung điểm của BQ, Q là giao điểm của BL và AN)