Đề thi học sinh giỏi khối 7 - Môn Toán

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi khối 7 - Môn Toán

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN YấN Mễ MễN TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (ĐỀ CHÍNH THỨC) (Đề này gồm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1: (6,0 điểm) 1. Thực hiện phộp tớnh 5 14 12 2 11 212.35 46.92 510.73 255.492 a) A= + - + + b) B = 15 25 9 7 25 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 2. Tỡm x, y, z biết 9 19 2 4 x y y z a) 3 x 2 : 1 1 b) , và 2x 3y z 6 10 10 5 5 3 4 3 5 Cõu 2: (3,0 điểm) a) Tỡm x, y nguyờn thoả món 3xy – 5 = x2 + 2y b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ: 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Cõu 3: (3,0 điểm) 1. Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100 . a) Chứng minh rằng x= -1 là nghiệm của A(x) b) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1 2 Cõu 4: (6,0 điểm) Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc Bã AC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm của đường thẳng đú với tia phõn giỏc goch BAC là H). Chứng minh rằng: a) EH = HF b)2Bã ME ãACB Bà . FE 2 c) AH 2 AE 2 . 4 d) BE = CF Cõu 5: (2,0 điểm) Giải bằng mỏy tớnh cầm tay a) Tớnh giỏ trị của đa thức P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x10 tại x = 2,13 (kết quả ghi dưới dạng số thập phõn lấy trờn màn hỡnh). b)Tỡm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
2. PHềNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI MễN: TOÁN 7 Cõu ý Túm tắt lời giải Điểm A= 5 + 14 - 12 + 2 + 11 15 25 9 7 25 0,5 1a. 3 25 2 2 = = 1 1 + 1,0 đ 3 25 7 7 0,5 = 0 + 2 = 2 7 7 10 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 12 5 9 3 3 1b. 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 1,5đ 212.34.2 510.73. 6 0,5 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 6 3 2 Ta cú 9 19 2 4 3 x 2 : 1 1 Cõu 1 10 10 5 5 0,25 (6đ) 30 9 19 10 4 4 x 2 : 1 10 10 10 10 10 5 0,25 21 5 1 x 2 : 2.a 10 10 5 0,25 1,5 đ 21 1 5 1 x 2 . 10 5 10 10 21 1 0,25 x 2 2 10 10 x 2 2; 2 0,25 x 4; 0 Vậy x = 0; -4 0,25 x y x y Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z (2) 0,5 2.b 3 5 12 20 x y z 2,0 đ Từ (1) và (2) suy ra: (*) 0,5 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta cú: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 0,5
3. x Do đú: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 0,5 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 Theo đề ta cú 3xy – 2y = x2 + 5 y(3x – 2) = x2 + 5 (1) 0,25 Do x, y nguyờn nờn suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2 a. 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2 0,25 (1,0đ) 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2 49 chia hết cho 3x – 2 3x – 2 49; 7; 1;1; 7; 49 0,25 3x 47; 5;1; 3; 9; 51 x 1; 3;17 Cõu 2 Thay x lần lượt vào (1) ta được y 6; 2; 6 0,25 (3,0đ) Vậy cỏc cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n 0,5 =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 b. n n n n 1 0,5 (2,0đ) =3 10 2 5 3 10 2 10 = 10( 3n -2n-1) 0,5 Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyờn dương. A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 0,5 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 1.a (1,0đ) ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) 0,5 Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) 1.b 0,5 (2,0đ) 1 1 1 1 1 1 1 + Với x= thì giá trị của đa thức A = Cõu 3 2 2 22 23 298 299 2100 (3đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 2.A 2 ( 2 3 98 99 100 ) =1 2 3 98 99 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A =( ) +1 - 2A A 1 2 22 23 298 299 2100 2100 2100 0,5 1 A 1 2100 Vẽ hỡnh viết gt+ Kl đỳng A cho 0,5đ Cõu 4 (0,5đ) E (6đ) 1 B M C H D F
4. 0,5 a C/m được AEH AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 1,0 (1,0) à à 1,5 Từ AEH AFH Suy ra E1 F Xét CMF có ãACB là góc ngoài suy ra Cã MF ãACB Fà b BME có Eà là góc ngoài suy ra Bã ME Eà Bà (1,5đ) 1 1 ã ã ã à à à vậy CMF BME (ACB F) (E1 B) hay 2Bã ME ãACB Bà (đpcm). áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 1,5 c FE 2 (1,5đ) ta có HF2 + HA2 = AF2 hay AH 2 AE 2 (đpcm) 4 à à 0,25 C/m AHE AHF(g c g) Suy ra AE = AF và E1 F Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 0,5 C/m được BME CMD(g c g) BE CD (1) d và có Eà Cã DF (cặp góc đồng vị) 0,25 (1,5đ) 1 do do đó Cã DF Fà CDF cân CF = CD ( 2) 0, 5 Từ (1) và (2) suy ra BE = CF x11- 1 Cỏch 1: Ta cú thức P(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x10 = x - 1 2,1311- 1 Thay x = 2,13 ta được kết quả P(2,13) = 3622,355813. a. 2,13 - 1 (1,0đ) 10 Cỏch 2: Nhập vào mỏy:  2,13X ta được kết quả P(2,13) x=0 3622,355813. Cõu 5 (2đ) HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216) = (220)100 x 130048 0,5 mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576 b. Ta nhận thấy bất kỳ một số cú đuụi là 76 thỡ lũy thừa luụn luụn cú (1,0đ) đuụi là 76 (dựng mỏy để kiểm tra) Do đú: A = 130048 x ( 76) = 48. Vậy 2 số cuối của A cú 0,5 giỏ trị là 48 Ghi chỳ: - Bài hỡnh học nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc hỡnh sai cơ bản thỡ khụng chấm. - Mọi cỏch giải khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết