Đề thi học sinh giỏi đợt 2 môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Bạch San (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi đợt 2 môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Bạch San (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS BẠCH SAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - ĐỢT II Mơn: Tốn 8 (Thời gian làm bài: 120 phút) 1 2 5 x 1 2x Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: C = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. Bài 2 (2 điểm): a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức 2 B(x) x 3x 4 b) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm x, y ,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1 . a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4(3 điểm): Cho tam giác ABC vuơng tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH cĩ chứa C, vẽ hình vuơng AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE. a) Chứng minh ABP vuơng cân? b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng? c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Câu 5 (1 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm,  A = 450;  B = 600, chiều cao của hình thang bằng 18m? @ @ @
2. ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM 1 a) Đkxđ: x 1; x (2 điểm) 1 2 5 x 1 2x 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 0,25 đ 1 x 2(1 x) 5 x (x 1)(x 1) C = . (1 x)(1 x) 1 2x 0,5 đ 2 2x 1 0,25 đ b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên? 2 B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì có giá trị nguyên 2x 1 0,25 đ x 1(loai) 2x 1 1 x 0(TM ) 2x 1 1 3 2x – 1 là Ư(2) x (TM ) 2x 1 2 2 2x 1 2 1 x (TM ) 2 Đối chiếu Đkxđ thì có x = 0 hoặc x = hoặc x = thoả mãn. 0,5 đ 0,25 đ 2 a) tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia ( 2điểm) hết cho đa thức B(x) x2 3x 4 Ta có: 0,5 đ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 đ a 3 0 a 3 Để A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 b) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y a b c Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c x + y + z = 0,5 đ 2 a b c a b c a b c x = ; y = ; z = 2 2 2
3. a b c a b c a b c 1 b c a c a b P = = ( 1 1 1 ) 2a 2b 2c 2 a a b b c c 0,25 đ 1 b a c a b c 3 = ( 3 ( ) ( ) ( )) 2 a b a c c b 2 0,25 đ 3 Min P = Khi và chỉ khi a = b = c x = y = z 2 3 a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : ( 2điểm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. BL.a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 đ Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,25 đ Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 đ x y z a b c b)Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : a b c x y z x2 y2 z2 1. a2 b2 c2 a b c ayz+bxz+cxy 0,25 đ Từ : 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z Ta cĩ : 1 ( )2 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 0,5 đ 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc 0,25 đ x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 4 a/ CM được BHA PEA (g.c.g) 0.5 0 ( 3điểm) AB = AP mà BA P = 90 (gt) A E 0.25 Vậy BPA vuơng cân 0.25 b/Ta cĩ : HA = HK P H nằm trên đường trung trực của AK B I C 0.25 Ta cĩ : AE = KE H K 0.25 E nằm trên đường trung trực của KA Q PBK vuơng cĩ IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP) IK IP IB (*) Ta cĩ ABQP là hbh(gt), cĩ BA= AP ( BPA vuơng cân tại A) APQB là hình thoi, mà BA P = 900 (gt) 0.5 APQB là hình vuơng nên PI = IA( ). 0.25 Từ (*) và( ) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của
4. AK 0.25 Vậy H, I, E thẳng hàng. c/ Ta cĩ APQB là hình vuơng (cmt) nên AP = BQ 0.25 PB AQ mà IK = IK 2 2 AKQ cĩ AI = IQ(t/c đ/c hv) 0.5 AQ Mà IK (cmt) AKQ vuơng ở K 2 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hv) QK // HE Vậy HEKQ là hình thang 5 Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuơng gĩc với CD. ( 1điểm) Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m;  A’AB = 900  DAB = 450 =>  A’AD = 450 D C Do đĩ A’AD vuơng cân A' B' A’D = A’A = 18m A B 0.25  B’BA = 900;  CBA = 600 =>  B’BC = 300 vì thế trong tam giác vuơng B’BC 0.25 ta cĩ B’C = BC . Theo định lí Pi ta go, ta cĩ: 2 B’C2 = BC2 – B’B2 B’C2 = 4B’C2 – B’B2 3B’C2 = B’B2 0.25 B ' B 18 B’C = (cm) 3 3 Suy ra : 18 18 CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 24 (cm) 3 3 1 1 18 2 Vậy SABCD = AB CD .A' A 42 24 18 498,6 (cm ) 2 2 3