Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh - Môn: Toán lớp 8 – Vòng 1

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh - Môn: Toán lớp 8 – Vòng 1

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 - 2021 (Đề thi gồm 01 trang) Môn: Toán lớp 8 – Vòng 1 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1.(4,0 điểm) 2x 9 x 3 2x 4 Cho A . x2 5x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A . b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên. Bài 2.(4,0 điểm) a) Giải phương trình: (x2 5x 1)2 2x2 10x 1 1 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: Nếu 2 và a b c abc thì ta có 2 a b c a2 b2 c2 Bài 3.(4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn + = 1 . Chứng minh: 1- x 1- y M = x2 + y2 - xy là bình phương của một số hữu tỷ. b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1+ x + x2 ) = 4y(y- 1) Câu 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA . Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC tại P . a) Chứng minh rằng K· AC P· BC . b) Gọi Q là trung điểm của BP . Chứng minh rằng BHQ ∽ BPC . AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I . Chứng minh rằng 1 . BH BI Câu 5.(2,0 điểm) Cho a ³ b ³ c > 0 . Tìm GTNN của biểu thức: a b c L = + + a + b b + c c + a  HẾT  TRAN MINH TUAN
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 8 (2020 – 2021) Câu 1.(4,0 điểm) 2x 9 x 3 2x 4 Cho A . x2 5x 6 x 2 3 x a) Rút gọn A . b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên. Lời giải a) Rút gọn A 2x 9 x 3 x 3 2x 4 x 2 A (x 2)(x 3) x2 2x 8 A (x 2)(x 3) x 4 x 2 x 4 A (ĐKXĐ: x 2;3 ) (x 2)(x 3) x 3 b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên. x 4 7 A 1 x 3 x 3 7 Để A nguyên thì là số nguyên x 3 7 Đặt k (1) với k Z,k 0 x 3 7 (1) x 3 k 7 3 2 x 2 k Lại có: k 7 x 3 7 3 3 k 7 Vậy với x 3 với k z,k 0; 7 thì A có giá trị là một số nguyên. k Câu 2.(4,0 điểm) a) Giải phương trình: (x2 5x 1)2 2x2 10x 1 1 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: Nếu 2 và a b c abc thì ta có 2 a b c a2 b2 c2 TRAN MINH TUAN
3. Lời giải a) Giải phương trình: (x2 5x 1)2 2x2 10x 1 2 x2 5x 1 2 x2 5x 1 1 0 2 x2 5x 1 1 0 2 x 0 x 5x 0 x 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 0;5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 b) Ta có: 2 4 a b c a2 b2 c2 ab ac bc 1 1 1 2(a b c) 1 1 1 2abc 4 4 a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 abc 1 1 1 Vậy: 2 a2 b2 c2 Câu 3.(4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn + = 1 . Chứng minh: 1- x 1- y M = x2 + y2 - xy là bình phương của một số hữu tỷ. b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1+ x + x2 ) = 4y(y- 1) Lời giải a) Ta có : 1- 2x 1- 2y + = 1Û (1- 2x)(1- y)+ (1- 2y)(1- x)= (1- x)(1- y) 1- x 1- y 3xy + 1 Û 1- y- 2x + 2xy + 1- x - 2y + 2xy = 1- x - x + xy Û x + y = 2 2 2 2 2 2 æ3xy + 1ö æ3xy- 1ö Ta có: M = x + y - xy = (x + y) - 3xy = ç ÷ - 3xy = ç ÷ èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ 3xy- 1 Vì x, y Î ¤ nên là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ. 2 b) Ta có : x(1+ x + x2 ) = 4y(y- 1) (1) Û x+ x2 + x3 + 1= 4y2 - 4y + 1 Û (x2 + 1)(x + 1)= (2y- 1)2 Gọi d = (x2 + 1, x + 1) . Do (2y- 1)2 là số lẻ Þ d là số lẻ. Ta có: x + 1Md Þ (x + 1)(x - 1)Md Þ (x2 - 1)Md Lại có: x2 + 1Md Þ 2Md mà d là số lẻ nên d = 1 Do đó: x2 + 1 và x + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. TRAN MINH TUAN
4. Với x, y là các số tự nhiên thì (2y- 1)2 là số chính phương nên x2 + 1 là số chính phương. Lại có x2 + 1 va x2 là hai số chính phương liên tiếp Þ x2 = 0 Þ x = 0 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0 hoặc y = 1 Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) là (0;0);(0;1) Câu 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA . Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC tại P . a) Chứng minh rằng K· AC P· BC . b) Gọi Q là trung điểm của BP . Chứng minh rằng BHQ ∽ BPC . AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I . Chứng minh rằng 1 . BH BI Lời giải P A Q I K B H C a) Chứng minh rằng K· AC P· BC . Hai tam giác CKP và CAB có C· KP C· AB 90 và ·ACB chung nên CKP ∽ CAB . CK CA Do đó suy ra . Đến đây ta lại có CAK ∽ CBP nên K· AC P· BC . CP CB b) Gọi Q là trung điểm của BP . Chứng minh rằng BHQ ∽ BPC . Ta có AKH vuông cân tại H nên ·AKH 90 . Do đó từ CAK ∽ CBP ta được ·AKH C· PB 45 . Suy ra BAP vuông cân tại A nên BP AB 2 . BH AB Ta có BHA ∽ BAC nên BA AC BH AB BH AB 2 BH BP BH 2BQ BQ Suy ra AB 2 BC 2 AB 2 2BC BP 2BC BP 2BC BC Do vậy BHQ ∽ BPC AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I . Chứng minh rằng 1 . BH BI TRAN MINH TUAN
5. Ta có BAP vuông cân tại A với AQ là đường trung tuyến nên AQ cũng là phân giác. Do đó AI là phân giác ngoài của ABC . IB AB Suy ra IC AC AB HB Lại có BHA ∽ BAC nên . Kết hợp các kết quả lại ta được AC HA IC HA IB BC HA BC HA AH BC 1 1 IB HB IB HB IB HB BH BI Câu 5.(2 điểm) a b c Cho a ³ b ³ c > 0 . Tìm GTNN của biểu thức: L = + + a + b b + c c + a Lời giải 3 æ a 1ö æ b 1ö æ c 1ö Ta có A- = ç - ÷+ ç - ÷+ ç - ÷ 2 èça + b 2ø÷ èçb + c 2÷ø èçc + a 2ø÷ a- b b- c c- a = + + 2(a + b) 2(b + c) 2(c + a) a- b (b- a)+ (a- c) c- a = + + 2(a + b) 2(b + c) 2(c + a) a- b æ 1 1 ö a- c æ 1 1 ö = ç - ÷+ ç - ÷ 2 èça + b b + cø÷ 2 èçb + c c + aø÷ a- b c- a a- c a- b = . + . 2 (a + b)(b + c) 2 (b + c)(c + a) (a- b)(a- c) æ- 1 1 ö = .ç + ÷ 2(b + c) èça + b c + aø÷ (a- b)(a- c)(b- c) = ³ 0 (Do a ³ b ³ c > 0 ) 2(b + c)(b + c)(c + a) Dấu " = " xảy ra khi a = b = c 3 Vậy GTNN của A = khi a = b = c 2  HẾT  TRAN MINH TUAN