Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tư Nghĩa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tư Nghĩa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 THCS TƯ NGHĨA KHOÁ NGÀY 19 – 4 – 2018 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 19/4/2018 Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 01208127776.Nguồn gốc : sưu tầm đề và tự tay gõ đáp án Nhận xét :Đề năm nay tương đối nhẹ .Học sinh làm trọn phần đại số khá nhiều. Người giải đề: Chuyên gia huấn luyện học sinh giỏi lớp 8-9-10-11-12 ,luyện thi chuyên toán , thi học sinh giỏi Huyện,Tỉnh ,Quốc Gia .Chuyên gia dạy kèm tại nhà và trên mạng Internet. *Thành tích học tập khi học sinh và sinh viên thì vào Wed: CUONGPHONG.com xem nhé. Bài 1: ( 4 điểm ) x22 2 x 2 x 1 2 1/Cho biểu thức: A1 2 2 3 2 . 2x 8 8 4 x 2 x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 2/ Chứng minh rằng (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0 với mọi a. Bài 2: (6 điểm ) 1/Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100 2x 51 1 cho x12 2/Giải phương trình 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x 2 7x12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 8 27 12x 3/Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của B x92 Bài 3: (4 điểm ) 1/Tìm các số nguyên tố x và y sao cho x22 2y 1 2/ Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. Bài 4: (6 điểm ) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a)Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b)Chứng minh: ME // BN. c)Từ C, kẻ CH  BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng
2. Bài 5: (2 điểm ) Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC (M khác B,C), kẻ ME song song AB(E thuộc AC), kẻ MD song song AC(D thuộc AB).Tìm ví trí của M để tứ giác MDAE có diện tích lớn nhất Bài giải Bài 1: ( 4 điểm ) x22 2 x 2 x 1 2 1/Cho biểu thức: A1 2 2 3 2 . 2x 8 8 4 x 2 x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 2/ Chứng minh rằng (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0 với mọi a. GIẢI x 0 1/a ĐK: .Ta có x 2 x22 2 x 2 x 1 2 x2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A1 2 2 3 2 2 2 2 2x 8 8 4 x 2 x x x x 2(x 4) 4(2 x ) x (2 x ) x 2 2 2 2 x 2 x 2 x ( x 1)( x 2) x ( x 2) 4 x ( x 1)( x 2) 2 2 2 2 2 2(x 4) ( x 4)(2 x ) x 2( x 2)( x 4) x x3 4 x 2 44 x x 2 x 1( x x 2 4)(1) x x 1 x 1 . . Vậy A với . 2(x2 4) x 2 2 x 2 ( x 2 4) 2 x 2x b/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. * x 1 Z x +1 2x 2x + 2 2x .Mà 2x 2x 2x 2 2x 1 x x = 1 hoặc x = -1 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) .Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1. 2/(a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 (a22 7a 6)(a 7a 12) 10. Đặt t a2 7a 6.Khi đó ta có (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 (a2 7a 6)(a 2 7a 12) 10 (t 3) 2 1 0. Bài 2: (6 điểm ) 1/Tìm đa thức dư khi chia đa thức x100 2x 51 1 cho x12 2/Giải phương trình 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x 2 7x12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 8 27 12x 3/Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của B x92 GIẢI
3. 1/ Gọi đa thức dư trong phép chia là ax+b .Khi đó ta có x100 2x 51 1 (x 2 1).H(x) ax b (1). Thay x1 vào (1) ta có 0 a b (2). Thay x1 vào (1) ta có 4 a b (3). Tư đó suy ra a=2,b=-2.Vậy số dư là 2x-2. 2/Ta có điều kiện x 2,3,4,5,6.Khi đó ta có 1 1 1 1 1 x2 5x 6 x 2 7x12 x 2 9x 20 x 2 11x 30 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x3x2x4x3x5x4x6x58 1 1 1 4 1 x2 8x 20 0 x 6 x 2 8 (x 2)(x 6) 8 x 10 .Vậy nghiệm phương trình là S 2;10. x2 2712x x2 9 x 2 12x 36 (x 6) 2 3/Ta có B 1 1. x2 9 x 2 9 x 2 9 Min B là -1 khi x=6. 27 12x 4x2 36 4x 2 12x 9 (2x 3) 2 Ta có B 4 4. x2 9 x 2 9 x 2 9 3 Max B là 4 khi x . 2 Bài 3: (4 điểm ) 1/Tìm các số nguyên tố x và y sao cho x22 2y 1 2/ Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. GIẢI 1/ Ta có x2 2y 2 1 2y 2 x 2 12 (x 1)(x 1)2. Xét trường hợp x12 x12k(k ) x 2k1 . Khi đó ta có 2y22 4 y 2 y 2(do y nguyên tố).Từ đó suy ra x3 . Xét trường hợp x12 x12t(t ) x 2t1 . Khi đó ta có (do y nguyên tố).Từ đó suy ra . 2/ Ta có 3 số nguyên liên tiếp là n,n 1,n 2(n ). Khi đó ta có n3 (n 1) 3 (n 2) 3 3(n 1)n(n 1) 9n9 Bài 4: (6 điểm )
4. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a)Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b)Chứng minh: ME // BN. c)Từ C, kẻ CH  BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng A E B 1 1 2 O 3 M H' H 1 D C N a)Xét ∆OEB và ∆OMC.Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC .Và 0 BC11 45 .Mà BE = CM ( gt ).Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) .Suy ra OE = OM và OO13 0 0 Lại có OO23 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông.Suy ra OO21 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O b)Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD. AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*) . MN MC Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*). AM AE Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét). MN EB c)Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN OME OH' B ( cặp góc đồng vị) Mà OME 450 vì ∆OEM vuông cân tại O 0 MH' B 45 C1 OM MC ∆OMC ∆BMH’ (g.g) ,kết hợp OMB CMH ' ( hai góc đối đỉnh) BM MH ' ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c). Vậy BH' C BH ' M MH ' C 900 CH' BN Mà CH BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm) Bài 5: (2 điểm ) Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC (M khác B,C), kẻ ME song song AB(E thuộc AC), kẻ MD song song AC(D thuộc AB).Tìm vị trí của M để tứ giác MDAE có diện tích lớn nhất.
5. GIẢI Do ΔABC cố định nên SMDAE lớn nhất khi SSMDB CME nhỏ nhất. 2 2 2 SMDB S MCE S MDB S MCE MB MC (MB MC) 1 22 . SABC S ABC S ABC BC 2BC 2 SS Từ đó suy ra SSSSSS ABC ABC MDB CME22 MDAE ABC MDB CME Theo điều kiện dấu bằng của AM−GM thì dấu bằng xảy ra khi MB=MC tức M là trung điểm BC.