Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán học lớp 7

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Mụn : Toỏn Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phỳt ĐỀ CHÍNH THỀC (Đề khảo sỏt gồm 01 trang) Cõu 1 (4 điểm) : Thực hiện phộp tớnh 10 5 5 3 3 155 0,9 a/ A 7 11 23 5 13 26 13 13 7 3 403 0,2 7 11 23 91 10 212.35 46.92 510.73 255.492 b/ A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 Cõu 2 (5 điểm) : a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 b/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A 2014 x 2015 x 2016 x c/ Tỡm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 Cõu 3 (4 điểm) : x 16 y 25 z 49 a/ Cho và 4x3 3 29 Tớnh x – 2y + 3z 9 16 25 b/ Cho f (x) ax3 4x x2 1 8 và g(x) x3 4x bx 1 c 3 Trong đú a, b, c là hằng số. Xỏc định a, b, c để f(x) = g(x) Cõu 4 (5 điểm) : Cho tam giỏc ABC cú (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng a/ BE = CF AB AC b/ AE 2 Cõu 5 (2 điểm) : Cho tam giỏc ABC cú gúc B bằng 45o , gúc C bằng 120o. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tớnh gúc ADB
2. LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 10 5 5 3 3 2 1 1 3 3 9 155 0,9 5 31 7 11 23 A 7 11 23 5 13 5 13 10 26 13 13 7 3 2 1 1 1 1 3 403 0,2 13 31 7 11 23 91 10 7 11 23 13 5 10 2.0 2 1 1 1 1 3 5 31 3 7 11 23 5 13 10 5 5 A 3 3 Cõu 2 1 1 1 1 3 13 13 13 31 1 7 11 23 5 13 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2.0 212.34 3 1 510.73 1 7 2 5. 6 1 10 21 7 A 212.35 3 1 59.73 1 23 3.4 9 6 3 6 2 a/ Ta cú : 3n 2 2n 2 3n 2n 3n.9 2n.4 3n 2n 3n.9 3n 2n.4 2n 1.5 = 3n 9 1 2n 4 1 3n.10 2n.5 3n.10 2n 1.10 10 3n 2n 1 chia hết cho 10 với n là số nguyờn dương (ĐPCM) b/ A 2014 x 2015 x 2016 x . 2.0 Cỏch 1 : Ta xột 4 trường hợp xảy ra TH 1 : x 3 (Vỡ x 2 (Vỡ x 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vỡ x > 2016)(4) Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 . Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 Cỏch 2 : Sử dụng BĐT A B A B , Dấu = xảy ra khi AB ≥ 0 Do 2015 x 0 => A 2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016 x Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1) Ta cú : 2014 x 2016 x x 2014 2016 x x 2014 2016 x 2 Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
3. Từ 1,2 => A ≥ 2. Dấu = xảy ra khi x = 2015 Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015 c/ Tỡm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8 x 2015 2 1.5 Ta cú 25 – y2 ≤ 25 => 8≤ x25 2=>015 2 y = 5 ; y = -5 2 x 2015 1 x 2016 TH 2 : x 2015 1 x 2015 1 x 2014 Thay vào => y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5 x 16 y 25 z 49 a/ Cho và 4x3 3 29 Tớnh x – 2y + 3z 2.0 9 16 25 Ta cú : 4x3 3 29 => 4x3 32 x3 8 x 2 . Thay vào tỷ lệ thức 2 16 y 25 z 49 y 25 z 49 => 2 y 7, z 1 9 16 25 16 25 => x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19 b/ Cho f (x) ax3 4x x2 1 8 và g(x) x3 4x bx 1 c 3 2.0 Trong đú a, b, c là hằng số. Xỏc định a, b, c để f(x) = g(x) Cõu Ta cú : f (x) ax3 4x x2 1 8 ax3 4x3 4x 8 a 4 x3 4x 8 3 g(x) x3 4x bx 1 c 3 x3 4bx2 4x c 3 Do f(x) = g(x) => f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 => g(x) x3 4bx2 4x 8 => f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1) => f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2) Từ 1,2 => b = 0, a = -3 Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11
4. A 2 1 F 1 B 2 1 C 1 M N 1 D E a/ BE = CF Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D. Cõu ả à 3.0 D1 F1(1) 4 BD//AC => ả à D1 F1(2) Tam giỏc AEF cú AN vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao => Tam à à giỏc AEF cõn tại A => E F1 (3) à ả Từ (1) và (3) => E D1 BE BD(4) ả ả Xột BDM và CFM cú : MB = MC (5), M1 M 2 (6) Từ 2,5,6 => BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) AB AC b/ AE 2 Tam giỏc AEF cõn tại A => AE = AF 2.0  2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)  2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AB AC  AE (ĐPCM) 2 Cõu Cho tam giỏc ABC cú gúc B bằng 45o , gúc C bằng 120o. Trờn tia đối của 5 tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tớnh gúc ADB
5. B 2.0 2 1 15o 120o C 1 2 1 2 E 2 3 F 15o 1 2 1 A 2 D o Trờn CA lấy điểm E sao cho Bà 1 Eã CA 15 , Gọi F là trung điểm CD à o à o => B2 30 mà C1 120 => Tam giỏc CBE cõn tại C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD à o à o Do C1 120 => C 2 60 => Tam giỏc CEF đều => FE = CF = FD o o => Dà 1 Eà 3 mà Dà 1 Eà 3 Fà 2 60 ( CEF đều) => Dà 1 30 ã o ả ả 0 Xột tam giỏc CDE ta cú CED 180 C2 D1 90 (1) Ta cú : Dà 1 Bà 2 => EB = ED, àA1 Bà 1 => EA = EB => ED = ED (2) o Từ 1, 2 => Tam giỏc EDA vuụng cõn tại E => Dà 2 45 ã ả ả o o o Vậy ADB D1 D2 30 45 75 Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn đạt điểm tối đa