Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 8

1. PHềNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2019 – 2020 (Đề thi gồm 01 trang) Mụn: Toỏn 8 Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề) 12n 1 Bài 1. (4 điểm) Cho P . Tỡm giỏ trị của n để 2n 3 a) P là một phõn số. b) P là một số nguyờn. x2 6 1 10 x2 Bài 2. (4 điểm) Cho biểu thức A 3 : x 2 . x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tỡm điều kiện của x để A xỏc định. b) Rỳt gọn biểu thức A . c) Tỡm giỏ trị của x để A 0 . Bài 3. (4 điểm) a) Cho 3 số x, y, z thỏa món xyz 1 1 1 1 Tớnh biểu thức M 1 x xy 1 y yz 1 z zx b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 20, vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của ãABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phõn giỏc của Bã AC; b)AM BC Bài 5. (4 điểm) Tỡm dư của phộp chia đa thức x99 x55 x11 x 7 cho x2 1  HẾT 
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 (2019 – 2020) 12n 1 Bài 1. Cho P . Tỡm giỏ trị của n để 2n 3 a) P là một phõn số. b) P là một số nguyờn. Lời giải 3 2n 3 0 n a) Để P là một phõn số thỡ 2 . n Q 3 12n 1 17 b) Với n ta cú: P 6 2 2n 3 2n 3 17 Để P  thỡ  2n 3 17 Đặt a(a Z;a 0) 2n 3 2an 3a 17 17 3a n . 2a 17 3a Vậy với n (a Z;a 0 ) thỡ P  . 2a x2 6 1 10 x2 Bài 2. Cho biểu thức A 3 : x 2 . x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tỡm điều kiện của x để A xỏc định. b) Rỳt gọn biểu thức A . c) Tỡm giỏ trị của x để A 0 . Lời giải x 0 a) Điều kiện: . x 2 x 0 b) Với ta cú: x 2
3. x2 6 1 10 x2 A 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x2 6 1 x 2 x 2 10 x2 : 2 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 4 x 2 1 x2 4 10 x2 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 4 x 2 x 2 . x 2 x 2 6 1 . 2 x 1 Vậy với x 0; x 2 thỡ A . 2 x 1 c) Với x 0; x 2 ta cú: A . 2 x 1 Để A 0 thỡ 0 2 x 0 x 2. 2 x Kết hợp điều kiện xỏc định x 0; x 2 ta cú x 2; x 0; x 2. Vậy với x 2; x 0; x 2 thỡ A 0 . Bài 3. (4 điểm) a) Cho 3 số x, y, z thỏa món xyz 1 1 1 1 Tớnh biểu thức M 1 x xy 1 y yz 1 z zx b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c Lời giải 1 1 1 a) Cho 3 số x, y, z thỏa món xyz 1 . Tớnh biểu thức M 1 x xy 1 y yz 1 z zx 1 1 1 M 1 x xy 1 y yz 1 z zx 1.z 1.xz 1 M 1.z x.z xy.z 1.xz y.xz yz.xz 1 z zx z xz 1 z xz 1 M 1 z xz 1 xz 1 z 1 z zx 1 z zx b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc. 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a b c
4. 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức x y x y Ta cú: 1 1 4 4 2 a b c b c a a b c b c a 2b b 1 1 2 b c a c a b c 1 1 2 a b c c a b a 1 1 1 2 2 2 2 a b c b c a a b c a b c 1 1 1 1 1 1 (đpcm) a b c b c a c a b a b c Dấu = xảy ra khi a = b = c Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 20, vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của ãABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phõn giỏc của Bã AC; b)AM BC Lời giải a) Xột ABD và ACD cú: A AB AC (do ABC cõn tại A) AD chung, DB DC (hai canh của DBC đều) M ABD ACD c.c.c Bã AD Cã AD (hai gúc tương ứng) ã AD là tia phõn giỏc của BAC. D 180 20 b) Do ABC cõn tại A cú àA 20 ãABC 80 2 Do D nằm trong tam giỏc ABC nờn ãABD Dã BC ãABC B C Mà DBC đều nờn ãABD 60 80 ãABD 20 Do AD là tia phõn giỏc của Bã AC Bã AD 10 Do BM là tia phõn giỏc của ãABD ãABM 10 Xột ABD và BAM cú: Bã AD ãABM 10 (cmt), AB chung, ãABD Bã AM 20
5. ABD BAM g.c.g BD AM (hai cạnh tương ứng) Mà BD BC (hai canh của DBC đều) AM BC Bài 5. (4 điểm) Tỡm dư của phộp chia đa thức x99 x55 x11 x 7 cho x2 1 Lời giải Dư trong phộp chia x99 x55 x11 x 7 cho x2 1 cú bậc cao nhất là bậc nhất. Gọi đa thức thương của phộp chia là P(x) và đa thức dư là ax b , với mọi x ta cú: x99 x55 x11 x 7 x2 1 .P x ax b Với x 1 thỡ 11 a b 1 Với x 1 thỡ 3 a b 2 Từ (1) và (2) suy ra b 7;a 4 Vậy đa thức dư cần tỡm là 4x 7  HẾT 