Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

1. Phòng giáo dục - đào tạo Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Tiền hải Môn: Toán 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 3n 3n 2 270 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho biểu thức: A 22 32 42 52 62 72 82 92 102 Chứng tỏ rằng A < 1. Bài 2 (4 điểm) a) Tỡm x biết: x 6 2x 10 b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời hai điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1 Bài 3 (4 điểm) 1 a) Chứng minh rằng ba đơn thức x3y4 ; x4y3; 2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 2 b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5. Bài 4 (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của à BC cắt AC tại D, tia phõn giỏc của à CB cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K. a) Chứng minh rằng BA = BH và BD  AH b) AB + AC = BC + HK c) Tớnh số đo gúc HAK Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho Dã AE à BD . Chứng minh Eã BC Eã CA –––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––
2. Phòng giáo dục - đào tạo kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Tiền hải đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 3n 3n 2 270 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho biểu thức: A . Chứng tỏ rằng A < 1. 22 32 42 52 62 72 82 92 102 Cõu Nội dung Điểm Ta cú: 3n 3n 2 270 3n 1 32 270 0.5 3n.10 270 0.5 n a) 3 27 0.25 3n 33 0.25 n 3 0.25 Vậy n = 3 0.25 Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 22 32 42 52 62 72 82 92 102 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 b) A 0.5 1 2 2 3 3 4 9 10 1 A 1 0.5 10 9 A 1 0.25 10 Vậy A < 1 0.25 Bài 2 (4 điểm) a) Tỡm x biết: x 6 2x 10 b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời 2 điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1 Cõu Nội dung Điểm *) Nếu x 6 thỡ |x – 6| = x – 6 nờn từ x 6 2x 10 x 6 2x 10 0.5 16 3x 16 x < 6 (loại) 0.25 a) 3 *) Nếu x < 6 thỡ |x – 6| = 6 – x nờn từ x 6 2x 10 6 x 2x 10 0.5 6 x 10 x 4 (thỏa món điều kiện x < 6) 0.25 Vậy x = 4 0.25 2 2 x y x y x2 y2 b) Từ 4x = 5y ị 0.5 5 4 5 4 25 16
3. x2 y2 x2 y2 1 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 0.5 25 16 25 16 9 x2 1 25 5 5 ị x2 x hoặc x = 0.5 25 9 9 3 3 5 5 4 *) Với x = 4. 5y y 0.25 3 3 3 5 5 4 *) Với x 4. 5y y 0.25 3 3 3 5 4 5 4 Vậy cỏc cặp số (x, y) cần tỡm là: ; ; ; 0.25 3 3 3 3 Bài 3 (4 điểm) 1 a) Chứng minh rằng ba đơn thức x3y4 ; x4 y3;2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 2 b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5. Cõu Nội dung Điểm Giả sử cả 3 đơn thức cựng cú giỏ trị õm 0,5 ị tớch của 3 đơn thức cú giỏ trị õm (1) 1 3 4 4 3 1 3 4 4 3 8 8 Mặt khỏc: x y x y 2xy . 1 .2. x .x .x y .y .y x y 0,5 2 2 a) 8 8 1 3 4 4 3 Vỡ x y 0  x; y nờn x y x y . 2xy 0  x; y (2) 0,5 2 Ta thấy (1) mõu thuẫn với (2) ị điều giả sử sai. 1 Vậy ba đơn thức x3y4 ; x4y3;2xy khụng thể cựng cú giỏ trị õm. 0,5 2 Khi 2 xe gặp nhau lần thứ 2 ở C thỡ: Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: AB+BC (1) 0,5 Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: BA+AC (2) Quóng đường 2 xe đó đi đến khi gặp nhau ở C là: (AB+BC)+(BA+AC)= 3AB 0.25 Trong cựng một thời gian, quóng đường và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ thuận. Vỡ vận tốc xe đi từ A và B tỉ lệ thuận với 4 và 5 nờn quóng đường 0.25 b) xe đi từ A và B đó đi tỉ lệ thuận với 4 và 5. ị Khi gặp nhau tại C thỡ: 4 4 0.25 Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: .3AB AB 4 5 3 5 5 Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: .3AB AB 0.25 4 5 3 ị Quóng đường xe đi từ B hơn quóng đường xe đi từ A là: 0.25
4. 5 4 1 .AB .AB .AB (3) 3 3 3 1 1 Từ (1), (2), (3)ị (BA+AC)–(AB+BC)= .AB ị AC–BC = .AB 3 3 Theo bài ra: quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km nờn ta 1 0.25 cú: .AB = 50 ị AB = 150 (km) 3 Bài 4 (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của à BC cắt AC tại D, tia phõn giỏc của à CB cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K. a) Chứng minh rằng BA = BH và BD  AH b) AB + AC = BC + HK c) Tớnh số đo gúc HAK Cõu Nội dung Điểm GT, KL và hỡnh vẽ đỳng A D E I 0.5 B K H C Chứng minh BDA = BDH (ch, gn) 0.5 ị BA = BH (Tương ứng) (đpcm) 0.5 Gọi I là giao điểm của BD và AH, chứng minh BIA = BIH (cgc) 0.5 a) Bã IA Bã IH (Tương ứng) 0.5 Mà Bã IA Bã IH 1800 (Kề bự) Bã IA Bã IH 900 BI  AH hay BD  AH (đpcm) 0,25 Theo chứng minh trờn ta cú: AB = BH 0.5 Chứng minh tương tự ta cú: AC = CK b) ị AB+AC = BH + CK = BK + KH + CK 0.5 Vậy AB+AC = BC+HK (đpcm) 0.5 1800 à BC BAH cõn tại B ị Bã AH 0.25 2 1800 à CB CAK cõn tại C ị Cã AK 0.25 2 ã ã ã ã c) Mà BAH CAK BAC HAK 0.25 1800 à BC 1800 à CB 900 Hã AK 2 2 0.25 1800 à BC 1800 à CB 1800 2Hã AK 0 à BC à CB 1800 2Hã AK 0.25
5. 0 900 1800 2Hã AK 2Hã AK 900 0.25 Vậy Hã AK 450 0.25 Bài 5 (2 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho Dã AE Ã BD . Chứng minh Eã BC Eã CA Cõu Nội dung Điểm Vẽ hỡnh, ghi GT-KL đỳng A F 0.25 D G E H B C Kẻ AF và CG cựng vuụng gúc với BD, CH  AE 0.25 Ta cú: ABF = CAH (ch-gn) ị AF = CH Ta cú: ADF = CDG (ch-gn) ị AF = CGị CH=CG 0.25 Chứng minh CEH= CEG ị Cã EH Cã EG 0.25 Mà Cã EH Eã CA Eã AC; Cã EG Eã BC Eã CB (gúc ngoài tam giỏc) 0.25 ị Eã CA Eã AC Eã BC Eã CB Hay Eã CA Eã BA Eã BC Eã CB (vỡDã AE Ã BD nờn Eã AC Eã BA (1) 0.25 ABC cõn tại A Ã CB Ã BC Eã CA Eã CB Eã BC Eã BA (2) 0.25 Cộng vế với vế của đẳng thức (1) và (2) ị Eã CA Eã BC (đpcm) 0.25