Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 6

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán lớp 6

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN VIỆT YÊN Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Tính: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 2.4.10 4.6.8 14.16.20 b) B 3.6.15 6.9.12 21.24.30 Câu 2: (6 điểm) 102014 2016 102015 2016 a) So sánh A và B 102015 2016 102016 2016 1 1 1 1 119 b) Tìm x biết: ( ).x 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 c) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố. Câu 3: (4 điểm) 2n 1 a) Tìm số tự nhiên n để phân số là phân số rút gọn được. n 2 b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 2 1 6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của 5 3 1 lớp 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp. 2 Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có A·CB 600 , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) sao cho AD=2cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng BD. b) Tính số đo của D·CB biết A·CD 200 . c) Dựng tia Cx sao cho D· Cx 900 . Tính A·Cx . d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. 1 1 1 4 Câu 5: (2 điểm) Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho: a b c 5 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP VIỆT YÊN HUYỆN MÔN THI: TOÁN 6 Có 4 trang Câu Đáp án Điểm 1.1 (2.0 Tính A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 điểm) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 Tính được số các số hạng của A là (2016 - 1) : 1 + 1 = 2016 số hạng 0,75 Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào một nhóm: A (1 2 3 4) (5 6 7 8) (2013 2014 2015 2016) 0.75 A 1444 44(4 4444)2 4.4 4 44(4 4443) 4.504 2016 có 504 sô' 0.5 Vậy A=-2016 1.2 2.4.10 4.6.8 14.16.20 B (2.0 3.6.15 6.9.12 21.24.30 điểm) 2.4.10 4.6.8 14.16.20 8.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 8 B 1.75 3.6.15 6.9.12 21.24.30 27.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 27 8 Vậy B= 0.25 27 2.1 102014 2016 102015 2016 (2.0 So sánh A 2015 và B 2016 điểm) 10 2016 10 2016 102014 2016 (102014 2016)(102016 2016) Ta có A 102015 2016 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.(102014 102016 ) 20162 0.75 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.102014.101 20162 (1) (102015 2016)(102016 2016) 102015 2016 (102015 2016)(102015 2016) Ta có B 102016 2016 (102016 2016)(102015 2016) 104030 2.2016.102015 20162 (102016 2016)(102015 2016) 0.75 104030 20.2016.102014 20162 (2) (102016 2016)(102015 2016) Từ (1) và (2) suy ra A>B 0.25 Vậy A>B 0.25 2.2 1 1 1 1 119 Tìm x biết: ( ).x (1) (2.0 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 điểm) 1 1 1 1 Ta có: 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10
3. 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1,25 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 1 1 119 ( ) . 3 6 720 3 720 1 119 119 0.5 Nên từ (1) suy ra: . .x =>x=3 3 720 720 Vậy x=3 0.25 2.3 Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố. (2.0 điểm) Ta nhận xét rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia cho 3 đều có dạng 0.5 p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k N * ) Với p=3k+1 thì p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3. 0.5 Với p=3k+2 thì p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3 Vì p là nguyên tố nên p 2 khi đó trong cả 2 trường hợp trên thì p2+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức là p2+2 là hợp số 0.75 => p2+2 chỉ là nguyên tố khi p=3 (khi đó p2+2=11 là số nguyên tố) => p3+2=27+2=29 là số nguyên tố Vậy nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố. 0.25 3.1 2n 1 Tìm số tự nhiên n để phân số là phân số rút gọn được. (2.0 n 2 điểm) Gọi d là ƯCLN(2n+1,n+2) (d N * ) Ta có 2n+1M d, n+2M d => [(2n+4)-(2n+1)]M d 0.75 => 3M d Vì d N * nên d {1;3} 2n 1 0.75 Để phân số rút gọn được thì d=3 n 2 => n+2=3k ()k N * * => n=3k-2 ()k N 0.5 2n 1 Vậy với n=3k-2 ( k N * ) thì phân số là phân số rút gọn được. n 2 Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 2 1 3.2 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của lớp (2.0 5 3 điểm) 1 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp. 2 Số học sinh giỏi của lớp 6B bằng 2 1 6 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 3 5 0.5đ Số học sinh giỏi lớp 6C bằng 0.5đ
4. 2 1 4 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 2 5 Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng 0.5đ 6 4 1 3 ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 5 0.5đ Vậy số học sinh giỏi lớp 6A là 90: 3 = 30 học sinh, của lớp 6B là 36 học sinh và của lớp 6C là 24 học sinh Cho tam giác ABC có A·CB 600 , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=2cm. 4 a) Tính độ dài đoạn thẳng BD. (4.0 b) Tính số đo của góc DCB biết ·ACD 200 . điểm) c) Dựng tia Cx sao cho D· Cx 900 . Tính A·Cx . d) Trên cạnh AC lấy điểm E. Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. E E Trường hợp 1 Trường hợp 2 a) D nằm giữa A và B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm 0.75 KL 0.25 b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB => ·ACD D·CB A·CB 0.75 =>D·CB =400 KL 0.25 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900- ·ACD = 700 0.5 K.L - Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900 + ·ACD = 1100 0.5 K.L - Xét đường thẳng CD. Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E và B ở 2 nửa MP bờ CD 0.5 => đường thẳng CD cắt đoạn EB
5. - Xét đường thẳng BE. Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD. Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau. 0.5 5 1 1 1 4 Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho: (1.0 a b c 5 điểm) Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: a b c khi đó ta có: 3 4 15 , a 0.5 a 5 4 Nếu a=1 thì không thể được, do đó a= 2 hoặc a=3 1 1 3 Nếu a=2 thì b c 10 2 3 20 Suy ra , b b 10 3 0.5 3 1 Suy ra b=4 hoặc b= 5 hoặc b=6 vì < 10 3 Suy ra các số a, b, c thỏa mãn là (a=2,b=4,c=20) và (a=2,b=5,c=10) 1 1 7 Nếu a=3 thì b c 15 0.5 2 7 30 từ đó , b suy ra b=3 hoặc b=4. Không có trường hợp nào thỏa mãn b 15 7 K.L có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ ba số (2,4,20) và (2,5,10) 0.5