Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học lớp 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học lớp 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN LỚP 8 Bài 1. (6 điểm) 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 2. (3 điểm) 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 3. (2 điểm) Một người đi xe gắn máy từ Ađến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Bài 4. (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng min EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng : 20092008 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 4x2 12x 5 2x 1 2x 5 13x 2x2 20 x 4 5 2x Phân tích: 21 2x 8x2 3 2x 7 4x 4x2 4x 3 2x 1 2x 3 1 5 3 7  Điều kiện: x ; ; ; ;4 2 2 2 4  2x 3 a) Rút gọn: P 2x 5 1 1 x P 1 2 2 b) x 2 1 2 x P 2 3 2x 3 2 c) P 1 2x 5 x 5 2 Vậy P ¢ ¢ x 5 U (2) 1; 2 x 5 x 5 2 x 3(tm) x 5 1 x 4(tm) x 5 1 x 6(tm) x 5 2 x 7(tm) 2x 3 2 d) P= 1 2x 5 x 5 2 Ta có: 1 0 P 0 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5 thì P 0
3. Bài 2. 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12 (DK : x 4; x 1) x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 x 0(tm) 3x x 4 0 x 4(ktm) S 0 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 x 123 c) Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết lại: x 2 3 5 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 Bài 3. Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km / h)(x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe máy là (km / h) 3h20' 3 h 1 3 10 3 3
4. 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h : 5(km / h) 10 Theo đề bài ta có phương trình : 3x 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là : 150km 3.150 Vận tốc dự định: 45km / h 10 Bài 4. D C P M O I F E A B a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang. b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên F· EA O· AB EF / / AC(1)
5. Mặt khác IP là đường trung bình MAC nên IP / / AC (2) Từ (1) và(2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 CP PB Nếu CP  BD CBD : DCP g.g PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 2 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8cm; PB 16k 3,2cm; BD 5cm 2 BC 4cm Chứng minh BC BP.BD 16 CD 3cm Bài 5. a) Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 2010 (1) 20112010 1 2011 1 20112009 2010 (2) Từ (1) và (2) ta có dpcm. 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy b) x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " "xảy ra x y