Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học khối lớp 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - Môn thi: Toán học khối lớp 7

1. UBND HUYỆN HOÀI NHƠNKỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,5 điểm) a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0, ngoài ra còn biết: a b2 b c . Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 ? b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y 0). c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a2 a p 0 . Bài 2: (4,5 điểm) a) Cho đa thức f (x) ax5 bx3 2014x 1 , biết f (2015) 2 . Hãy tính f ( 2015) . b) Tìm x, biết: x 5 x 1 x 5 x 13 0 3 3 0, 6 0, 75 c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức: S 13 7 11 11 2, 2 2, 75 7 13 Bài 3: (4.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 2x 3 3x 4 . 1 200 b) Tìm hai số khác 0 biết tổng, hiệu, tích của hai số đó tỉ lệ với 3; ; 3 3 Bài 4: (4.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm và đường cao AH. Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = BC. a) Chứng minh KB // AD. b) Chứng minh KD  BC. c) Tính độ dài KB. Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD  AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẽ AE  AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM  DE. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi số:
2. KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Bài Đáp án Điểm a) Số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 1,5đ 2 2 Ta có a 0, b 0 , nên từ a b b c b c 0 c b 0,5đ +) Nếu b 0 a 0 a 0 có hai số a và b bằng 0, vô lý 5,5đ +) Nếu b 0 c b 0 có hai số âm b và c, vô lý +) Nếu b> 0, ta xét a 0 b c 0 b c 0 có hai số dương b và c, vô lý a 0 và c = 0 b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y 0) 1,5đ 1 Từ x + y = xy x = xy – y = y(x – 1) x : y = x – 1 0,5đ 4,5 điểm Ta lại có x : y = x + y x + y = x – 1 y = – 1 0,5đ 1 1 x = xy – y = – x + 1 x . Vậy hai số cần tìm là x , y = – 1 0,5đ 2 2 c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a2 a p 0. 1,5đ Từ a2 a p 0 p a2 a a a 1 0,5đ Với a Z p a(a 1) 2 ; p là số nguyên tố p = 2 0,5đ a(a + 1) = 2 = 1.2 = (– 1).(– 2) a = 1; hoặc a = – 2 0,5đ (thiếu 1 trong 2 giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này) a) Cho đa thức f (x) ax5 bx3 2014x 2015 , biết f (2015) 2 . Hãy tính f ( 2015) . 1,5đ Ta có: f (x) ax5 bx3 2014x 2015 0,5đ f ( x) a( x)5 b( x)3 2014( x) 2015 ax5 bx3 2014x 2015 f (x) f ( x) 2 f (2015) f ( 2015) 2 0,5đ f ( 2015) 2 f (2015) 2 2 0 . Vậy: f ( 2015) 0 0,5đ x 1 x 13 b) Tìm x, biết: x 5 x 5 0 1,5đ x 1 12 x 1 x 13 x 1 12 x 5 x 5 0 x 5 1 x 5 0 hoặc x 5 , hoặc0 1 x 5 0 0,5đ 2 x 1 x 5 0 4 điểm x 5 0 x 5 (Thiếu x + 1 0, trừ 0,25đ) 0,5đ x 1 0 12 12 x 5 1 x 6 1 x 5 0 x 5 1 . Vậy: x = 4, x = 5, x = 6 x 5 1 x 4 0,5đ (Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ) c) Tính giá trị của S 1,5đ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 0 , 6 0 , 7 5 3 1 3 5 7 4 3 S 1 3 7 1 3 5 7 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,5đ 2 , 2 2 , 7 5 1 1 7 1 3 7 5 1 3 4 7 5 1 3 4 (Mỗi bước thực hiện tính ghi 0,5đ; nếu dùng máy tính chỉ đúng kết quả không ghi điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 2x 3 3x 4 . 2,0đ Ta có: x 2 3x 4 2 x 3x 4 2 x 3x 4 2x 2 4 0,5đ 3 Dấu “=” xảy ra 2 x 3x 4 0 x 2 4 điểm 3 2x 3 2x 2 3 2x 2x 2 3 2x 2x 2 1 1 3 0,5đ Dấu “=” xảy ra 2x 3 2x 2 0 1 x 2
3. 4 x 2 3 4 3 Do đó A x 2 2x 3 3x 4 1 ; Dấu “=” xảy ra x 0,5đ 3 3 2 1 x 2 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là minA = 1 x 0,5đ 3 2 b) Tìm hai số: 2,0đ x y x y xy x y x y 2x 3x Gọi 2 số khác 0 cần tìm là x và y. Ta có: k 0 3 1 200 1 10 5 0,5đ 3 3 3 3 3 5k 200k x (1); x y 3k (2); xy (3) 0,5đ 3 3 2 5k 4k 5k 4k 20k Từ (1) và (2) y 3k xy . (4) 0,5đ 3 3 3 3 9 200k 20k 2 5.30 4.30 Từ (3) và (4) k 30 (vì k 0) x 50; y 40 3 9 3 3 0,5đ Vậy hai số cần tìm là 50; 40 a) Chứng minh KB//AD 1,5đ 0 0 0 B· AC 90 B· AD C· AD 90 ; AH  BC AHD vuông ở H H· AD A· DH 90 · · · mà BAD HAD (vì AD là phân giác BAH ) 0,75đ 1800 Cµ nên C· AD A· DH ACD cân ở C C· AD 2 1800 Cµ CK BC (gt) CBK cân ở C C· KB 2 0,75đ Do đó C· AD C· KB KB P AD 4 b) Chứng minh KD BC 1,5đ 4 điểm KC = BC (gt), AC = CD ( ACD cân ở C) BD = KA (1) 0,5đ CBK cân ở C D· BK ·AKB (2) Từ (1) và (2) BKD KBA (c.g.c) 0,5đ B· DK K· AB 900 KD  BC 0,5đ c) Tính độ dài KB: 1,0đ Lập luận tính đúng: BC 2 AB2 AC 2 62 82 102 BC 10 ACD cân ở C CD AC 8 BD BC CD 10 8 2 0,5đ BKD KBA (cmt) KD AB 6 KD  BC KDB vuông ở D KB2 KD2 BD2 62 22 40 KB 40 0,5đ Chứng minh: AM  DE 3,0đ Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA AMB FMC (c.g.c) 0,5đ AB AD CF (1); ·ABM F· CM (2) 0 Từ (2) CF P AB F· CA B· AC 180 (3) 0,5đ 5 0 0 AD  AB B· AE E· AD B· AD 90 ; AE  AC C· AD E· AD C· AE 90 3 điểm 0,5đ B· AE E· AD C· AD E· AD 1800 B· AC E· AD 1800 (4) Từ (3) và (4) F· CA E· AD ADE CFA (c.g.c) A· ED C· AF 0,5đ mà C· AF F· AE C· AE 900 nên A· ED F· AE 900 hay ·AEK K· AE 900 0,5đ AKE vuông tại K AM  DE 0,5đ * Mọi cách giải khác đúng, hợp logich đều đạt điểm tối đa