Đề thi học sinh giỏi 03 môn văn hoá cấp huyện - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi 03 môn văn hoá cấp huyện - Môn: Toán 8

1. UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC: 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 8 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4,0 điểm). x4 2 x2 1 x2 3 Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 1. Rút gọn biểu thức M 2. Tìm x để M 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . Bài 2. (4,0 điểm). 1. Cho số nguyên tố p 3 và 2 số nguyên dương a,b sao cho: p2 a2 b2 . Chứng minh a chia hết cho 12 . 1 2x 1 2y 2. Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 . 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ. Bài 3. (4 điểm). 1. Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn : x y 4 40x 1 2. Giải phương trình : 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Bài 4. (6 điểm). Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Trên cạnh AB lấy M 0 MB MA và trên cạnh BC lấy N sao cho M· ON 90 . Gọi E là giao điểm của AN với DC , gọi K là giao điểm của ON với BE . 1. Chứng minh MON vuông cân 2. Chứng minh: MN //BE và CK  BE KC KN CN 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H . Chứng minh: 1 . KB KH BH Bài 5. (2 điểm) Cho 2 số không âm a;b thỏa mãn a 2 b2 a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2020 a b S 2019 . a 1 b 1 HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 (2019 – 2020) x4 2 x2 1 x2 3 Bài 1. (4,0 điểm). Cho biểu thức M x6 1 x4 x2 1 x4 4x2 3 1. Rút gọn biểu thức M 2. Tìm x để M 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . Lời giải 1. Đặt x2 t t 0 , ta được: t 2 2 t 1 t 3 M t3 1 t 2 t 1 t 2 4t 3 t 2 2 t 1 t 3 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 1 t 3 t 2 2 t 1 1 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 1 t 2 2 t 2 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t 1 t 2 t t 1 t 2 t 1 t t 1 t 1 t 2 t 1 t t 2 t 1 x2 x4 x2 1 x2 Vậy M . x4 x2 1 2. 2 2 x2 x4 x2 1 x2 x 1 Ta có: M 1 1 0 0 x4 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 2 4 2 2 1 3 2 2 2 Mà x x 1 x 0 nên x 1 0 x 1 x 1. 2 4 Vậy x 1 thì M 1. 2 2 x2 x4 x2 1 x2 x 1 3. Ta có: 1 M 1 x4 x2 1 x4 x2 1 x4 x2 1 2 2 x2 1 4 2 2 1 3 Mà x x 1 x 0 4 2 0 2 4 x x 1 1 M 0 M 1 Dấu '' '' xảy ra khi x2 1 x 1
3. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 1 khi x 1 . Bài 2. (4,0 điểm). 1. Cho số nguyên tố p 3 và 2 số nguyên dương a,b sao cho: p2 a2 b2 . Chứng minh a chia hết cho 12 . 1 2x 1 2y 2. Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 . 1 x 1 y Chứng minh M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ. Lời giải 1. Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 1 mod3 . Nếu b3 b2  0 mod3 a2 b2 p2  2 mod3 (vô lí) b không chia hết cho 3 b2 1 mod3 a2 b2 p2  0 mod3 a2 3 a3 1 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 1 mod 4 . Nếu b2 b2  0 mod 4 a2 b2 p2  3 mod 4 (vô lí) b không chia hết cho 2 b2 1 mod 4 a2 b2 p2  0 mod 4 a2 4 a2 a 2k k ¥ * * Thay vào ta được: 4k 2 b2 p2 Ta chứng minh k2 . Thật vậy: Nếu k lẻ VT 4k 2  4 mod8 Do b lẻ b 1;3;5;7 mod8 b2 1 mod8 Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 p 1;3;5;7 mod8 p2 1 mod8 VP b2 p2  0 mod8 (mâu thuẫn) k2 Từ * và a4 2 Từ 1 và 2 kết hợp với 3,4 1 a12 (đpcm). 1 2x 1 2y 2. Ta có: 1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y 2x 2xy 1 x 2y 2xy 1 x y xy 3xy 2x 2y 1 M x2 y2 xy x y 2 3xy x y 2 2x 2y 1 x y 2 2 x y 1 x y 1 2 Mà x, y là các số hữu tỷ khác 1 M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm). Bài 3. (4 điểm).
4. 1. Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn : x y 4 40x 1 2. Giải phương trình : 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Lời giải 1. Vì x; y N * x y 4 40x 1 40x 40y 40 x y x y 3 40 x y 4 Do đó: 2 x y 4 Mặt khác: 40x 1 là số lẻ nên x y 4 là số lẻ x y là số lẻ Ta có: 2 x y 4 , x y là số lẻ x y 3 Từ đó: x; y 2;1 ; 1;2  Thử lại chỉ có cặp số x; y 2;1 thỏa mãn bài toán . Vậy x 2; y 1. 2. Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 9 x 1 2 3x 8 144 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5, 3x 8 t 5, ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 2 25 t 2 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 4 Với t 3 3x 3 3 x 0 Với t 3 3x 3 3 x 2 1 Với t 4 3x 3 4 x 3 7 Với t 4 3x 3 4 x 3 1 7  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 2; ;  . 3 3  Bài 4. Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Trên cạnh AB lấy M 0 MB MA và trên cạnh BC lấy N sao cho M· ON 90 . Gọi E là giao điểm của AN với DC , gọi K là giao điểm của ON với BE . 1. Chứng minh MON vuông cân 2. Chứng minh: MN //BE và CK  BE KC KN CN 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H . Chứng minh: 1 . KB KH BH Lời giải
5. E K B C N H M O A D 1. Chứng minh MON vuông cân Xét AOM và BON , có: O· AM O· BN( 45) OA OB ( tính chất hình vuông) ·AOM = B· ON ( cùng phụ với B· OM ) Suy ra AOM BON (g.c.g) OM ON Xét MON có OM ON (cmt) và M· ON 90 (gt) Suy ra MON vuông cân tại O (đpcm). 2. Chứng minh: MN //BE Do AOM BON (cmt) nên AM BN AB BM BC CN BM CN AM BN BN AN Suy ra , mà (hệ quả định lí Tales). BM CN CN EN AM AN Nên MN //BE (định lí Tales đảo) (đpcm). BM EN +) Chứng minh: CK  BE Do MN //BE (cmt) nên M· NO = B· KO 45 (2 góc đồng vị) Mà B· CO 45 B· KO B· CO 45 hay B· KN O· CN BNK đồng dạng với ONC theo trường hợp góc – góc. BN KN BN ON hay ON CN KN CN BON đồng dạng với KCN theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. · · · CKN OBN 45 (vì OBN 45 ) Khi đó B· KC B· KO C· KN 45 45 90
6. Vậy C(đpcm).K  BE KC KN CN 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H . Chứng minh: 1 . KB KH BH Ta có: KH //OM (gt), OM  OK KH  OK hay KH  NK . Suy ra C· KH N· KH C· KN 90 45 45 KC là phân giác của N· KH Mà CK  BE (cmt) suy ra KB là phân giác ngoài tại đỉnh K của NKH . KN CN BN (tính chất đường phân giác của tam giác) (1) KH CH BH Tương tự ta có KN là phân giác trong và KH là phân giác ngoài của BKC KC CN CH (tính chất đường phân giác của tam giác) (2) KB BN BH KN KC BN CH KC KN CN BN CH CN Từ (1) và (2) suy ra: KH KB BH KB KH BH BH KC KN CN BH 1 (đpcm). KB KH BH BH Bài 6. (2 điểm) Cho 2 số không âm a;b thỏa mãn a 2 b2 a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2020 a b S 2019 . a 1 b 1 Lời giải Ta có: a 2 1 2a, b2 1 2b a 2 b2 2 2 a b Mà a 2 b2 a b a b 2 1 1 4 Mặt khác với x, y là 2 số dương ta có: x y x y a b 1 1 1 1 4 Do đó: 0 1 1 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 a b 2 2020 2020 a b a b Suy ra: 1 2019 2019 1 S 2020 a 1 b 1 a 1 b 1 Dấu “=” xảy ra khi và khi a b 1. Vậy giá trị lớn nhất của S là 2020, xảy ra khi a b 1 . HẾT