Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi - Môn: Toán 8

1. PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS HƯƠNG CANH MÔN: TOÁN 8 Năm học : 2017-2018 Câu 1. Giải các phương trình sau: a)2x4 x3 22x2 15x 36 0 x 2 x 42 x 121 b) 3 2009 1969 1890 Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x y 0 và x3 7y y3 7x Câu 3. x2 8x 7 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 1 b) Cho a b c 3.Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A, có BC a không đổi. Gọi I là trung điểm của BC.Lấy P AB và Q AC sao cho P· IQ ·ABC . Vẽ IK  AC K AC a) Chứng minh rằng tích BP.CQ không đổi. b) Chứng minh rằng PI là tia phân giác của góc B· PQ , QI là tia phân giác của P· QC c) Gọi chu vi tam giác APQ là b, chứng minh rằng b 2.AK . Tính b theo a khi B· AC 600 Câu 5. a) Chứng minh rằng 321 224 68 1 chia hết cho 1930 b) Cho a,b,c là 3 số thỏa mãn a b c ab bc ca abc . Chứng minh rằng: a2009 b2009 c2009 a b c 2009
2. ĐÁP ÁN Câu 1. PT x 3 2x3 7x2 x 12 0 a) x 3 x 4 2x2 x 3 0 Do 2x2 x 3 0 với mọi x nên phương trình có tập nghiệm S 3; 4 x 2 x 42 x 121 b) PT 1 1 1 0 2009 1969 1890 x 2011 x 2011 x 2011 0 2009 1969 1890 x 2011 0 x 2011 Câu 2. PT x y x2 xy y2 7 x y x y x2 xy y2 7 0 x2 xy y2 7 0(Vi x y) x y 2 7 3xy 0 xy 2 Vì x y 0 nên xy 2 , do đó x 2; y 1 Câu 3. 2 x2 8x 7 2x2 8x 8 x2 1 2 x 2 a) P 1 1 P 1 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 min 2 x2 8x 7 9x2 9 8x2 8x 2 2 2x 1 1 P 9 9 P 9 x x2 1 x2 1 x2 1 max 2 b) Ta có: a 1 2 a2 a 1 0 a4 a3 a 1 0 1 Tương tự cũng có: b4 b3 b 1 0 2 c4 c3 c 1 0 (3) Cộng 1 ; 2 ; 3 ta được: a4 a3 a 1 b4 b3 b 1 c4 c3 c 1 0
3. a4 b4 c4 a3 b3 c3 a b c 3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 0 a4 b4 c4 a3 b3 c3 (Dfcm) Câu 4. A P M 2 Q 1 2 1 K N C B I · µ µ a) Theo tính chất góc ngoài tam giác thì PIC B P1 Mặt khác , P· IC P· IQ Q· IC Bµ Q· IC. µ · Suy ra P1 QIC BPI : CIQ BP CI a2 BP.CQ BI.CI không đổi BI CQ 4 PI BP PI BP b) Từ BPI : CIQ BPI : IPQ Pµ Pµ QI CI QI BI 1 2 Do đó PI là tia phân giác của B· PQ
4. Chứng minh tương tự , cũng có QI là tia phân giác P· QC c) Kẻ IM  PQ M PQ ,IN  AB N AB . Vì PI,QI, AI là các tia phân giác và ABC cân tại A nên suy ra IM IN IK, AN AK,PM PN,QK QM Có b AP PQ AQ AP PM QM AQ AP PN AQ QK AN AK 2.AK CI a Nếu B· AC 600 thì AB BC CA a và CK 2 4 a 3a Suy ra b 2.AK 2. AC CK 2. a (đơn vị dài) 4 2 Câu 5. a) Đặt a 37 ,b 28,c 1 3 . Ta có: 3 3 321 224 68 1 37 28 1 3 3.37. 28 . 1 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca Mà a b c 37 28 1 3 1930 nên suy ra đpcm. b) Ta có: a b c ab bc ca abc a b b c c a nên từ đề bài suy ra a b b c c a 0 Không mất tính tổng quát , giả sử a b 0 thì a b , suy ra a2009 b2009 , do đó: a2009 b2009 c2009 c2009 a b c 2009