Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán 7

1. ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ HSG TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi :26/3/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1. (4,0 điểm). 13 2 8 19 23 a) Tính: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 15 15 60 24 b) So sánh: 1620 và 2100 Bài 2. (3,0 điểm). 1 1 a) Tìm x biết: 2x 7 1 2 2 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 1.3n 4.3n 13.35 Bài 3. (4,5 điểm). 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c x y z t b) Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số x y z x y t y z t x z t tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 . Bài 4. (6,5 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) B· AM = A· CM và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân. 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. Bài 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1 x 1 , 1 y 1 , 1 z 1. Chứng minh rằng đa thức x2 y4 z6 có giá trị không lớn hơn 2. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Bài 1. 4,0 đ 7 47 47 + Biến đổi: A : 5 60 24 1,0 a) 2,0 đ 7 2 = 0,50 5 5 = 1 0,50 + Biến đổi: 1620 24.20 280 0,5 80 100 b) 2,0 đ + Có 2 2 vì (1 2x 7 1 0,5 2 2 0,5 a) 2,0 đ => 2x 7 1 hoặc 2x 7 1 => xhoặc 4 x 3 0,5 Vậy x 4 hoặc x 3 . 0,5 n 1 5 + Biến đổi được 3 .(3 4) 13.3 0,25 n 6 => 3 3 0,25 b) 1,0 đ => n = 6 KL: Vậy n = 6 0,25 0,25 Bài 3. 4,5 đ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d + Biến đổi: a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 0,5 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 0,25 a) a b c d (2,5 đ) + Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4 0,25 + Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) 1,0 => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 0,25 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d 0 Q = - 4 khi a + b + c + d = 0 0,25
3. x x + Ta có: x y z x y y y x y t x y z z 0,1 b) y z t z t t t (2,0 đ) x z t z t x y z t M M 0) mà 210 = 1024 B· AM ·ACM 2,75 đ 0,25 * Chứng minh: BH = AI. · · · + Chỉ ra: BAH ACI (cùng phụ DAC ) 0,5 + Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) 0,75 => BH = AI (2 cạnh tương ứng) 0,25 b) Tam giác MHI vuông cân. + Chứng minh được AM  BC 0,25 + Chứng minh được AM = MC 0,25 + Chứng minh được H· AM I·CM 0,25 1.b/ + Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c) 0,25 2,0 đ => HM = MI (*) 0,25 + Do HAM = ICM => H· MA I·MC => H· MB I·MA (do ·AMB ·AMC 900 0,25 + Lập luận được: H· MI 900 ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) => MHI vuông cân 0,25
4. A 0,25 2) 1,5đ B E H D C + Chứng minh được : ·AEC ·ABC B· AE H· AD D· AC B· AE E· AH H· AD D· AC E· AC 0,25 µ · · (Vì B và HAC cùng phụ với BAH ) 0,25 Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*) + Tương tự chứng minh được AB = BD ( ) 0,50 + Từ (*) và ( ) => AB + AC = BD + EC = ED + BC 0,25 +) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0 => z = - x - y 0 0,25 +) Vì , , 1 z 1 = > 2 4 6 0,50 Bài 5. 1 x 1 1 y 1 x y z x y z => x2 y4 z6 x y z 0,25 2,0 đ => x2 y4 z6 2z 0,25 +) 1 z 1 và z 0 => x2 y4 z6 2 0,50 KL: Vậy x2 y4 z6 2 0,25 Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.