Đề thi chọn HSG huyện lớp 8 - Môn thi: Toán

Nội dung text: Đề thi chọn HSG huyện lớp 8 - Môn thi: Toán

1. PHÒNG GD HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC :2016-2017 Môn thi: Toán Câu 1. (2 điểm) a b Cho a b 0 thỏa mãn 3a2 3b2 10ab. Tính giá trị của biểu thức P a b Câu 2. (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: A 12 22 32 42 9992 10002 Câu 3. (1,5 điểm) Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ? Câu 4. (1,5 điểm) 21n 4 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số tối giản 14n 3 Câu 5. (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 2006 x 2007 2006 Câu 6. (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có AB CD. Qua A và B kẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I. Gọi E là giao điểm của AK và BD, F là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng: a) EF / / AB b) AB2 CD.EF
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 2 a b a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 4ab 1 Xét P2 a b 2 a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 16ab 4 1 Vì a b 0 P 0 P 2 Câu 2. Ta có: A 12 22 32 42 9992 10002 1 2 1 2 3 4 3 4 999 1000 999 1000 1 2 3 4 999 1000 500.1001 500500 Câu 3. Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng 5a 1 , số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng 5b 2 (a,b ¢ ) Ta có tổng bình phương hai số đó là: 5a 1 2 5b 1 2 25a2 10a 1 25b2 10b 4 5 5a2 5b2 2a 2b 1 5 Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5 Câu 4. Gọi d UCLN 21n 4;14n 3 với d ¥ ,d 1 Ta có: 21n 4d và 14n 3d Khi đó 2 21n 4 d và 3 14n 3 d Hay 42n 8d và 42n 9d
3. 42n 9 42n 8 d hay 1d d 1 21n 4 Vậy phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n 14n 3 Câu 5. Ta có : P x 2006 x 2007 2006 x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007 Vậy min P 2007 2006 x 2007 Câu 6. A B E F D K I C a) Ta có: AB//CD nên theo hệ quả Ta let ta có: AF AB AE AB (1) (2) FC IC EK DK Mặt khác ta có: Tứ giác ABCK là hình bình hành (do AB / /CD,BC / / AK) nên AB = CK (3) Tứ giác ABID là hình bình hành (do AB / /CD,BI / / AD) nên AB DI(4) Từ (3) (4) suy ra CK DI IC DK 5
4. AF AE Từ (1) (2) (5) suy ra EF / /DC EF / / AB FC EK b) Ta có: AB // CD AB AF (*) (Do AB DI nên AB CI DI CI CD) CI CF Mặt khác AEF : AKC(EF / /KC) AF EF AF EF mà KC AB AC KC AC AB AB EF Từ (*) và ( ) suy ra hay AB2 EF.CD (đpcm). CD AB